Taller 13 de 13 · Principios de Dinámica
Vibraciones
Lo último del programa y lo que entra en el examen final. Un sistema que se aparta de su equilibrio y vuelve, una y otra vez. Todo sale de una sola ecuación diferencial, y de reconocer su forma.
De dónde sale esto. Hibbeler Dinámica 12.ª ed., capítulo 22; Beer & Johnston 9.ª ed., cap. 19. Semanas 13 a 15 del programa: «Movimiento armónico. Frecuencia natural. Vibración libre no amortiguada», «Amortiguamiento de Coulomb. Vibración armónica forzada. Desbalanceo rotatorio», «Vibración forzada viscosa amortiguada». Entra en el examen final.
1 Vibración libre no amortiguada
Masa y resorte, sin nada más. Aplicando \sum F = ma a la masa desplazada una distancia x (el resorte la jala de vuelta, por eso el signo menos), y luego pasando todo a un lado y dividiendo entre m:
\begin{gathered}-kx = m\ddot x\\[2pt] m\ddot x + kx = 0\\[2pt] \ddot x + \dfrac{k}{m}\,x = 0\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
- x
- desplazamiento de la masa, medido desde su posición de equilibrio · m
- \ddot x
- aceleración de la masa (segunda derivada de \(x\) respecto al tiempo) · m/s²
- k
- rigidez del resorte: cuánta fuerza hace por cada metro que se deforma · N/m
- m
- masa que vibra · kg
Esa es la ecuación del capítulo. Reconocerla es todo: cualquier sistema cuya ecuación tenga esa forma vibra armónicamente.
\begin{gathered}\omega_n = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\\[4pt] \tau = \dfrac{2\pi}{\omega_n} \qquad f = \dfrac{1}{\tau} = \dfrac{\omega_n}{2\pi}\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
- \omega_n
- frecuencia natural circular: lo que multiplica a \(x\) en la ecuación es \(\omega_n^2\) · rad/s
- \tau
- periodo: el tiempo que tarda una oscilación completa · s
- f
- frecuencia: cuántas oscilaciones completas hay en un segundo · Hz = 1/s
Y la solución es un movimiento armónico simple:
\begin{gathered}x(t) = A\,\text{sen}(\omega_n t) + B\cos(\omega_n t)\\[2pt] x(t) = C\,\text{sen}(\omega_n t + \phi)\end{gathered}
Son la misma solución escrita de dos maneras.
Qué significa cada símbolo
- x(t)
- posición de la masa en el instante \(t\) · m
- t
- tiempo · s
- A,\ B
- constantes que salen de las condiciones iniciales: \(B\) es la posición inicial y \(A\) es la velocidad inicial dividida entre \(\omega_n\) · m
- C
- amplitud: el máximo alejamiento del equilibrio, \(C = \sqrt{A^2 + B^2}\) · m
- \phi
- ángulo de fase: en qué punto del ciclo arranca el movimiento · rad
Por qué funciona un reloj de péndulo
La frecuencia natural \omega_n no depende de la amplitud: un péndulo oscila con el mismo periodo tanto si lo sueltas desde muy arriba como desde muy poco (para ángulos pequeños). Esa independencia es la que permitió construir relojes de péndulo.
Mide desde el equilibrio
Para un sistema colgado verticalmente, la deformación estática del resorte no aparece en la ecuación: se cancela con el peso al medir x desde la posición de equilibrio. Mide siempre desde ahí y la gravedad desaparece de la ecuación. Medir desde la longitud natural del resorte es un error clásico.
2 Con amortiguamiento viscoso
Si hay un amortiguador que ejerce una fuerza proporcional a la velocidad:
m\ddot x + c\dot x + kx = 0
Qué significa cada símbolo
- c
- coeficiente de amortiguamiento viscoso: fuerza del amortiguador por cada m/s de velocidad · N·s/m
- \dot x
- velocidad de la masa · m/s
- m,\ k,\ x,\ \ddot x
- masa, rigidez, desplazamiento y aceleración, los mismos de antes · kg, N/m, m y m/s²
El comportamiento depende de cuánto amortiguamiento haya, comparado con el crítico:
\begin{gathered}c_c = 2m\omega_n = 2\sqrt{km}\\[4pt] \zeta = \dfrac{c}{c_c}\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
- c_c
- amortiguamiento crítico: el valor de \(c\) que separa oscilar de no oscilar · N·s/m
- \omega_n
- frecuencia natural del sistema sin amortiguador · rad/s
- \zeta
- factor de amortiguamiento: cuánto amortiguamiento hay comparado con el crítico · sin unidad
- \zeta < 1, subamortiguado: oscila con amplitud que decae. Es el caso habitual.
- \zeta = 1, crítico: vuelve al equilibrio en el menor tiempo posible sin oscilar. Es lo que buscan los amortiguadores de un carro.
- \zeta > 1, sobreamortiguado: vuelve sin oscilar, pero despacio. Como una puerta con cierre hidráulico.
El decremento logarítmico que nombra el programa permite medir \zeta experimentalmente a partir de dos amplitudes sucesivas:
\delta = \ln\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}
Qué significa cada símbolo
- \delta
- decremento logarítmico · sin unidad
- x_1,\ x_2
- alturas de dos picos seguidos de la oscilación (uno y el siguiente, del mismo lado) · m
- \zeta
- factor de amortiguamiento; la fórmula vale para \(\zeta\) menor que 1 · sin unidad
3 Vibración forzada y resonancia
Si además hay una fuerza externa que oscila:
m\ddot x + c\dot x + kx = F_0\,\text{sen}(\omega t)
Qué significa cada símbolo
- F_0
- valor máximo de la fuerza externa · N
- \omega
- frecuencia circular con la que oscila la fuerza externa (no es la natural) · rad/s
- t
- tiempo · s
La amplitud de la respuesta depende de la relación entre la frecuencia de la fuerza y la natural del sistema. Para escribirlo corto, a esa relación se le llama r:
\begin{gathered}r = \dfrac{\omega}{\omega_n}\\[4pt] \text{MF} = \dfrac{1}{\sqrt{\left(1-r^2\right)^2 + \left(2\zeta r\right)^2}}\end{gathered}
Factor de magnificación: cuántas veces se amplifica la deformación estática.
Qué significa cada símbolo
- r
- relación de frecuencias: la de la fuerza dividida entre la natural · sin unidad
- \text{MF}
- factor de magnificación: la amplitud de la vibración dividida entre \(F_0/k\), que es lo que se deformaría el resorte si la fuerza \(F_0\) se aplicara quieta · sin unidad
- \zeta
- factor de amortiguamiento · sin unidad
Un número para ubicarte
Justo en r = 1 el primer paréntesis se anula y queda \text{MF} = \dfrac{1}{2\zeta}. Con un amortiguamiento pequeño, \zeta = 0{,}1, da \text{MF} = \dfrac{1}{2(0{,}1)} = 5: la masa se mueve cinco veces más de lo que la movería la misma fuerza aplicada sin oscilar.
Resonancia
Resonancia es cuando \omega \approx \omega_n. Sin amortiguamiento la amplitud crecería sin límite; con amortiguamiento se queda grande pero finita. Es la razón por la que una tropa rompe el paso al cruzar un puente, y por la que el desbalanceo rotatorio que nombra el programa es peligroso: una máquina desequilibrada se sacude a sí misma con la frecuencia a la que gira, y si esa frecuencia coincide con la natural del montaje, entra en resonancia.
4 Ejemplo: frecuencia natural
Enunciado. Un bloque de 4\ \text{kg} cuelga de un resorte de k = 400\ \text{N/m}. Encuentra la frecuencia natural y el periodo.
La frecuencia natural, directo de la fórmula. La gravedad no entra: medimos desde el equilibrio.
\omega_n = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{400}{4}} = \sqrt{100}
Resultado en radianes por segundo.
\boxed{\ \omega_n = 10\ \text{rad/s}\ }
El periodo: una vuelta completa son 2\pi radianes.
\tau = \dfrac{2\pi}{\omega_n} = \dfrac{2\pi}{10} = 0{,}628\ \text{s}
La frecuencia en hercios es el inverso del periodo.
f = \dfrac{1}{\tau} = \dfrac{1}{0{,}628} = 1{,}59\ \text{Hz}
Resultado.
\boxed{\begin{gathered}\tau = 0{,}628\ \text{s}\\ f = 1{,}59\ \text{Hz}\end{gathered}}
Qué significa cada símbolo
- m
- masa del bloque · kg
- k
- rigidez del resorte · N/m
- \omega_n
- frecuencia natural circular · rad/s
- \tau
- periodo · s
- f
- frecuencia · Hz
Dos cuentas más con los mismos datos
Lo que el resorte queda estirado con el bloque colgado y quieto es \dfrac{mg}{k} = \dfrac{4(9{,}81)}{400} = 0{,}0981\ \text{m}, casi 10 cm, y no aparece en ninguna de las cuentas de arriba: por eso se mide desde el equilibrio. Y el amortiguamiento crítico de este sistema sería c_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{400(4)} = 2(40) = 80\ \text{N}\cdot\text{s/m}.
La raíz cambia la intuición
Si el bloque tuviera el cuádruple de masa, \omega_n = \sqrt{\dfrac{400}{16}} = 5\ \text{rad/s}: se reduciría solo a la mitad, por la raíz cuadrada. Los sistemas más pesados vibran más lento, pero no proporcionalmente. Y para subir la frecuencia al doble hace falta un resorte cuatro veces más rígido: \sqrt{\dfrac{1600}{4}} = 20\ \text{rad/s}.
5 Ahora tú
Responde las 6 preguntas para cerrar el taller.
← Volver a Dinámica