Estática · Laboratorio

Mueve los vectores tú

En los otros talleres los vectores están puestos por mí y solo se pueden mirar. Aquí mandas tú: escribes las componentes o agarras la punta con el dedo, y todo lo demás —la magnitud, los ángulos directores, el producto punto, el producto cruz, el momento— se recalcula solo. Es para traer los números de tu ejercicio y ver qué forma tienen antes de hacer la cuenta.

1 Un vector y sus ángulos

Agarra la bolita naranja de la punta y muévela, o escribe las componentes abajo. Gira la vista arrastrando el fondo: la profundidad no cambia al arrastrar la punta, así que para moverla «hacia el fondo» primero se gira.

Los ángulos directores Son los tres ángulos que el vector forma con cada eje. Sus cosenos son las componentes del vector unitario, y por eso siempre se cumple \( \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 \). Muévelo y comprueba que la suma de la última casilla no se despega de 1 por mucho que lo retuerzas.

Qué significa cada símbolo

\(\vec{F}\): el vector que mueves, escrito con sus tres componentes \((F_x;\ F_y;\ F_z)\) la unidad de tu enunciado; si es una fuerza, N
\(|\vec{F}|\): magnitud: el largo de la flecha, \(\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}\) la misma unidad de \(\vec{F}\)
\(\hat{u}\): vector unitario: \(\vec{F}\) dividido por su magnitud; mide 1 y solo guarda la dirección sin unidad
\(\alpha,\ \beta,\ \gamma\): ángulos directores: los que forma \(\vec{F}\) con los ejes \(x\), \(y\) y \(z\), en ese orden; \(\cos\alpha = F_x/|\vec{F}|\), y lo mismo con \(y\) y \(z\) grados (el SI usa rad)

2 Dos vectores: punto, cruz y ángulo

Ahora hay dos. El naranja y el celeste se mueven los dos; el morado es su producto cruz, que aparece solo y siempre perpendicular a los otros dos. Ponlos paralelos y mira cómo el morado se encoge hasta desaparecer.

Qué significa cada símbolo

\(\vec{A},\ \vec{B}\): los dos vectores que mueves: naranja y celeste la unidad de tu enunciado
\(\vec{A}\cdot\vec{B}\): producto punto: el número \(A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z\) unidad de \(\vec{A}\) por unidad de \(\vec{B}\)
\(\theta\): ángulo entre \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\), de \(\cos\theta = \dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}|\,|\vec{B}|}\) grados (el SI usa rad)
\(\vec{A}\times\vec{B}\): producto cruz: el vector morado, perpendicular a los dos unidad de \(\vec{A}\) por unidad de \(\vec{B}\)
\(|\vec{A}\times\vec{B}|\): su magnitud, \(|\vec{A}|\,|\vec{B}|\sin\theta\): el área del paralelogramo que forman \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) la misma unidad del producto cruz

Para qué sirve cada uno El producto punto devuelve un número y contesta «¿cuánto de este vector va en la dirección de aquel?» — es lo que usas para proyectar una fuerza sobre un cable. El producto cruz devuelve un vector perpendicular a los dos y contesta «¿cuánto hace girar?» — es el momento. Si los confundes en el parcial, el resultado ni siquiera tiene las unidades correctas.

3 El momento de una fuerza

Aquí el naranja es la fuerza \( \vec{F} \) y el celeste es el brazo \( \vec{r} \), que va del punto donde tomas momentos hasta donde se aplica la fuerza. El morado es \( \vec{M}_O = \vec{r} \times \vec{F} \).

Prueba esto: deja la fuerza quieta y alarga el brazo. El momento crece. Ahora gira la fuerza hasta ponerla en la misma línea del brazo: el momento se va a cero, aunque la fuerza siga siendo igual de grande. Esa es la idea que se pregunta en el parcial.

Qué significa cada símbolo

\(O\): el punto respecto al cual tomas momentos; aquí es el origen de los ejes
\(\vec{r}\): vector de posición: va de \(O\) al punto donde se aplica la fuerza m
\(\vec{F}\): la fuerza N
\(\vec{M}_O\): momento de \(\vec{F}\) respecto a \(O\): el vector morado, \(\vec{r}\times\vec{F}\) N·m
\(d\): brazo perpendicular: distancia de \(O\) a la línea de acción de la fuerza, \(d = |\vec{M}_O|/|\vec{F}|\) m

Los números de las casillas no llevan unidad porque dependen de tu enunciado: si escribes \(\vec{r}\) en metros y \(\vec{F}\) en newtons, el momento sale en N·m y el brazo \(d\) en metros.

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