Taller 13 · Estática

Cortante y momento flector: lo que pasa dentro de la viga

Las reacciones dicen qué le pasa a la viga por fuera. Para saber dónde se va a partir hay que mirar adentro: cortarla en cualquier punto y preguntar qué fuerza y qué momento tiene que hacer un lado sobre el otro para que nada se mueva. Dibujar eso a lo largo de toda la viga son los diagramas de cortante y de momento.

⏱ 75 minutos

De dónde sale esto. Beer & Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros: Estática, 9.ª ed., secciones 7.1 a 7.6 (fuerzas internas en elementos, vigas, fuerza cortante y momento flector, diagramas, relaciones entre carga, cortante y momento). Problema: punto 2 del examen final de 2018-II (viga con voladizo), con la solución oficial. Verificado por dos caminos: las expresiones por tramos contra una integración numérica de \(dV/dx = -w\) y \(dM/dx = V\), comprobando que \(M\) cierra en cero al final de la viga.

En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

Es el punto 2 del Parcial 4 (examen final) en los dos que traen solución: «La viga con un voladizo se carga mediante una fuerza distribuida de \(10\ \text{kN/m}\), una puntual de \(20\ \text{kN}\) y un momento puntual de \(25\ \text{kN}\cdot\text{m}\). (a) Halle las funciones de fuerza cortante y momento flector para el tramo A–D… (b) realice los diagramas… indicando los máximos globales» (2018-II), y lo mismo con \(7\ \text{kN/m}\), \(20\ \text{kN}\) y \(55\ \text{kN}\cdot\text{m}\) en 2019-II. Dos cosas se califican: las funciones de un tramo y los diagramas completos con sus valores.

Ruta

Reacciones (taller 7).
Diagrama de \(V\) de izquierda a derecha: cada fuerza puntual es un salto; cada carga distribuida, una pendiente.
Diagrama de \(M\): en cada punto, \(M\) es el área acumulada de \(V\). Un par puntual es un salto.
Donde \(V\) cruza por cero, \(M\) tiene un máximo o un mínimo. \(M\) tiene que cerrar en cero al final.

Lo que te llevas

\(V\) es la suma de las fuerzas a la izquierda del corte; \(M\), la suma de sus momentos respecto al corte.

2 El simulador: desliza el corte

Primero el objeto. La viga del examen final de 2018-II es la viga I principal del muelle de la cooperativa: se apoya en dos pilotes (un pasador en \(A\) y un rodillo en \(B\)); en la punta del voladizo, \(C\), cuelga una lancha izada de \(20\ \text{kN}\); de \(A\) a \(D\) hay cajas de pescado que pesan \(10\ \text{kN}\) por cada metro; y en \(x = 9{,}5\ \text{m}\) el freno de un malacate atornillado a la viga le aplica un par de \(25\ \text{kN}\cdot\text{m}\).

arrastra para girar

La viga cortada donde está el deslizador. La parte derecha se ve tenue: se tapa, y \(V\) (verde) y \(M\) (morado) son lo que esa parte le hace a la izquierda en la cara del corte.

Debajo, la misma viga con sus dos diagramas. Desliza el corte (la línea rosada): la parte de la viga a su izquierda se ilumina, y los puntos rosados marcan el valor de \(V\) y de \(M\) en ese punto.

cargas reacciones cortante V momento M el corte

Arriba, la viga con sus cargas y reacciones. En el medio, el cortante \(V\) en \(\text{kN}\). Abajo, el momento flector \(M\) en \(\text{kN}\cdot\text{m}\). El eje horizontal es la posición \(x\) en metros, medida desde el extremo izquierdo \(C\).

Posición del corte 5,000 m

Qué tienes que notar

Lleva el corte a \(x = 6{,}875\ \text{m}\): \(V\) vale cero y \(M\) está en su punto más alto, \(45{,}70\ \text{kN}\cdot\text{m}\). Pásalo por el apoyo \(A\), en \(x = 2{,}5\ \text{m}\): \(V\) salta de \(-20\ \text{kN}\) a \(+43{,}75\ \text{kN}\), exactamente los \(63{,}75\ \text{kN}\) de la reacción. Pásalo por \(x = 9{,}5\ \text{m}\): \(M\) cae de golpe \(25\ \text{kN}\cdot\text{m}\), el valor del par. \(V\) no se entera del par.

3 Cortar, y la convención de signos

\(V\) y \(M\) positivos en las dos caras del corte. Sobre la cara de la parte izquierda, \(V\) va hacia abajo y \(M\) es antihorario. Sobre la cara de la parte derecha van al revés, porque son acción y reacción.

\[ \begin{gathered} V(x) = \sum F_{\uparrow} \ \text{a la izquierda del corte} \\[4pt] M(x) = \sum M_{\circlearrowright} \ \text{de esas fuerzas} \\ \text{respecto al corte} \end{gathered} \]

Qué significa cada símbolo

\(V(x)\): fuerza cortante en la sección \(x\): las fuerzas hacia arriba a la izquierda del corte suman, las que van hacia abajo restan kN
\(M(x)\): momento flector en \(x\): positivo si dobla la viga «en sonrisa» (cóncava hacia arriba) kN·m
\(x\): posición del corte, medida desde el extremo izquierdo m
\(\sum F_{\uparrow}\): suma de fuerzas tomando positivo hacia arriba kN
\(\sum M_{\circlearrowright}\): suma de momentos respecto al corte tomando positivo el sentido horario kN·m

Mnemotecnia «\(M\) positivo hace sonreír a la viga; lo que sube a la izquierda sube a \(V\).» Una fuerza hacia arriba a la izquierda del corte da \(V\) positiva y, respecto al corte, un momento horario que dobla la viga en sonrisa: \(M\) positivo. Es la convención de la solución oficial.

4 Las relaciones que hacen el trabajo

\[ \dfrac{dV}{dx} = -w \qquad\qquad \dfrac{dM}{dx} = V \]

Qué significa cada símbolo

\(w\): carga distribuida, positiva hacia abajo kN/m
\(dV/dx\): pendiente del diagrama de cortante: cuánto cambia \(V\) por cada metro kN/m
\(dM/dx\): pendiente del diagrama de momento: cuánto cambia \(M\) por cada metro kN
\(V\): cortante en ese punto kN

Leídas al revés (integrando), dicen lo mismo con áreas: entre dos puntos \(x_1\) y \(x_2\) sin fuerzas ni pares puntuales,

\[ \begin{gathered} V(x_2) - V(x_1) = -\int_{x_1}^{x_2} w\,dx \\[4pt] M(x_2) - M(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} V\,dx \end{gathered} \]

Qué significa cada símbolo

\(\int_{x_1}^{x_2} w\,dx\): área bajo la carga distribuida entre los dos puntos: la carga total de ese pedazo kN
\(\int_{x_1}^{x_2} V\,dx\): área bajo el diagrama de cortante entre los dos puntos; cuenta negativa si \(V\) es negativo kN·m

En la viga hay…	El diagrama de \(V\)…	El diagrama de \(M\)…
nada (tramo sin carga)	es horizontal	es una recta inclinada
carga uniforme \(w\)	baja en línea recta, con pendiente \(-w\)	es una parábola
fuerza puntual hacia arriba	salta hacia arriba ese valor	cambia de pendiente (un pico)
par puntual	no cambia	salta el valor del par

Frase del método por áreas

\(M\) es el área de \(V\). Fuerza: salta \(V\). Par: salta \(M\). Donde \(V\) vale cero, \(M\) hace cumbre.

El cambio de \(M\) entre dos puntos es el área bajo \(V\) entre ellos. Se comprueba al final: sumando todas las áreas (y los saltos de los pares), \(M\) tiene que volver a cero en el extremo.

El signo del salto de un par

Con esta convención, un par antihorario aplicado sobre la viga hace bajar a \(M\) al pasar por él, y uno horario lo hace subir. En 2018-II el par de \(25\ \text{kN}\cdot\text{m}\) es antihorario: \(M\) pasa de \(31{,}25\ \text{kN}\cdot\text{m}\) a \(6{,}25\ \text{kN}\cdot\text{m}\). Si lo subes, \(M\) no cierra en cero en \(B\) y ya sabes dónde está el error.

5 Problema del examen final, resuelto

Final de 2018-II, punto 2: la viga con voladizo

La viga del muelle. Es la viga I del simulador: la lancha izada en la punta, las cajas de pescado, el malacate atornillado y los dos pilotes. Gírala y ubica cada carga antes de leer los números.

arrastra para girar

El origen está en el extremo izquierdo \(C\). Hay una fuerza de \(20\ \text{kN}\) hacia abajo en \(C\) (\(x = 0\), la lancha); un pasador \(A\) en \(x = 2{,}5\ \text{m}\); una carga uniforme de \(10\ \text{kN/m}\) desde \(A\) hasta \(D\) (\(x = 7{,}5\ \text{m}\)); un par antihorario de \(25\ \text{kN}\cdot\text{m}\) en \(x = 9{,}5\ \text{m}\); y un rodillo \(B\) en \(x = 10{,}5\ \text{m}\). (a) Halla las funciones \(V(x)\) y \(M(x)\) en el tramo \(A\)–\(D\). (b) Dibuja los diagramas completos con sus máximos.

La viga con sus cotas en metros. \(C\) es el extremo libre del voladizo; \(A\) y \(B\) son los apoyos.

Frase del método por corte

Corta, tapa la derecha y suma lo de la izquierda.

\(V\) es lo que sube a la izquierda menos lo que baja; \(M\), cada fuerza de la izquierda por su brazo hasta el corte. Es la misma idea de «Corta, tapa, jala, gira y suma» de las armaduras (taller 9), ahora adentro de una viga.

La misma solución, escrita como en el examen:

Chequeo Áreas de \(V\), en \(\text{kN}\cdot\text{m}\): \(-50\) (de \(C\) a \(A\)), \(+95{,}70\) (de \(A\) al cruce por cero), \(-1{,}95\) (del cruce a \(D\)), \(-12{,}5\) (de \(D\) al par) y \(-6{,}25\) (del par a \(B\)), más el salto de \(-25\) del par. Sumadas dan cero \(\checkmark\):

\[ \begin{gathered} -50 + 95{,}70 - 1{,}95 - 12{,}5 \\ {}- 25 - 6{,}25 = 0 \end{gathered} \]

Son las áreas \(A_1\) a \(A_4\) que marca la solución oficial (\(50\); \(95{,}7\); \(1{,}95\); \(18{,}75\)); la última junta \(12{,}5 + 6{,}25\).

6 Las funciones de un tramo, sin perderse

Para escribir \(V(x)\) y \(M(x)\) en un tramo hay dos caminos. Por corte: pon el corte en un \(x\) genérico del tramo y suma lo de la izquierda (es el último paso del problema de arriba). Por integración: integra \(-w\) y saca la constante con un valor conocido.

La parte de la viga a la izquierda de un corte en \(x\), dentro del tramo \(A\)–\(D\). De la carga distribuida solo entra el pedazo de largo \(x - 2{,}5\), que suma \(10(x - 2{,}5)\ \text{kN}\).

La carga distribuida solo cuenta hasta el corte

En el tramo \(A\)–\(D\), a la izquierda del corte hay \(10(x - 2{,}5)\ \text{kN}\) de carga distribuida, no los \(50\ \text{kN}\) completos, y su resultante está a \((x - 2{,}5)/2\) del corte. Poner los \(50\ \text{kN}\) enteros es el error más común de este paso: da \(V = -20 + 63{,}75 - 50 = -6{,}25\ \text{kN}\) en todo el tramo.

El mismo tramo, por integración

Chequeo de las funciones Deriva: \(dM/dx = -10x + 68{,}75 = V\) \(\checkmark\) y \(dV/dx = -10 = -w\) \(\checkmark\). Evalúa en los extremos del tramo: \(M(2{,}5) = -50\ \text{kN}\cdot\text{m}\) y \(M(7{,}5) = 43{,}75\ \text{kN}\cdot\text{m}\), los valores del diagrama.

7 Ahora tú

8 Ponte a prueba

9 La receta para el día del parcial

Reacciones. Reemplaza cada carga distribuida por su resultante solo para este paso.
\(V\) de izquierda a derecha: empieza en 0, salta con cada fuerza, baja con pendiente \(-w\) bajo cada carga distribuida. Termina en 0.
Marca dónde \(V = 0\): \(x = x_0 + V_0/w\), con \(x_0\) el inicio de la carga distribuida y \(V_0\) el cortante ahí.
\(M\) por áreas de \(V\), tramo por tramo; salta en cada par. Termina en 0.
Formas: \(V\) horizontal da \(M\) recta; \(V\) recta da \(M\) parábola. Máximos de \(M\) donde \(V = 0\) y en los saltos.
Funciones del tramo pedido: corte en \(x\) genérico o integración con una condición conocida. Deriva para chequear.

Si solo te llevas tres frases

1. «\(M\) es el área acumulada de \(V\): donde \(V\) cruza por cero, \(M\) tiene su máximo.»

2. «\(M\) positivo hace sonreír a la viga.»

3. Los dos diagramas empiezan y terminan en cero.

Responde las diez preguntas para cerrar el taller.

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