Mis apuntes, resueltos como el profe

Referencia → controlador → planta → salida. La función de transferencia relaciona entrada y salida en sistemas lineales, con condiciones iniciales cero. En Laplace vemos el espectro (valores propios), que da estabilidad y comportamiento.

Masa-resorte: M\ddot y+b\dot y+ky=u(t). Con k/M=2 y b/M=3: s^2+3s+2=0, raíces -2 y -1.

Y=G(U-YH)=GU-GYH\Rightarrow Y+YGH=GU\Rightarrow Y(1+GH)=GU

\dfrac{Y}{U}=\dfrac{G}{1+GH} → función de transferencia de lazo cerrado.

E(s)=R(s)-H(s)Y(s) (señal de error). Con H=1: E=R-Y, Y=GE ⇒ E=\dfrac{R}{1+G}.

Teorema del valor final: e_{ss}=\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{s\to0}sE(s).

Con H\ne1: E=R-H\,G\,E\Rightarrow E=\dfrac{R}{1+GH}.

a) Ante un escalón unitario, encuentre E(s). b) Encuentre K que garantice e_{ss}<2\% (si es posible).

E=\dfrac{1}{1+\frac{K}{(s+1)(s+3)}\cdot\frac{1}{s+1}}\cdot\dfrac1s,   e_{ss}=\dfrac{3}{3+K}=0{,}02\Rightarrow K=147

Un bloque K antes del sumador: E=KR-Y=KR-GE\Rightarrow E=\dfrac{KR}{1+G}.

Ej: G=\dfrac{1}{s+1}, R=\dfrac1s, K=10: E=\dfrac{10(s+1)}{s+2}\cdot\dfrac1s, e_{ss}=\dfrac{10}{2}=5.

1.er orden: \dfrac{Y}{R}=\dfrac{1}{\tau s+1} ⇔ un integrador \tfrac{1}{\tau s} con realimentación unitaria. En t=\tau llega al 63{,}2\%; para t\ge4\tau queda dentro del 2\%.

2.º orden: \dfrac{Y}{R}=\dfrac{K}{s^2+ps+K}\ \leftrightarrow\ \dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

T_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}, M_{pt}=1+e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}, \%PO=100\,e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}, T_s=4\tau=\dfrac{4}{\zeta\omega_n}, T_r=\dfrac{\pi-\cos^{-1}\zeta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} (solo \zeta<1).

a) e_{ss} ante rampa. b) K con sobrepaso cero ante escalón pero la respuesta más rápida posible.

E=R-YKs-Y; lazo interno \dfrac{100}{s^2+100Ks}; E=\dfrac{s^2+100Ks}{s^2+100Ks+100}\cdot\dfrac{1}{s^2}, e_{ss}=K.

\omega_n=10, 2\zeta\omega_n=100K\Rightarrow\zeta=5K … (terminar)

Variaciones de parámetros, del modelo (G+\Delta G) y del ambiente.

S=\dfrac{\Delta T/T}{\Delta G/G}\ \to\ S_G^T=\dfrac{\partial T}{\partial G}\cdot\dfrac{G}{T}; con respecto a H: S_H^T=\dfrac{\partial T}{\partial H}\cdot\dfrac{H}{T}; con respecto a un parámetro: S_\alpha^T=S_G^T\,S_\alpha^G.

Con T=\dfrac{G}{1+GH}: S_G^T=\dfrac{1}{1+GH}.

Un sistema es estable si ante una entrada acotada la salida es acotada. Todo el lado izquierdo (cuadrantes 2 y 3) es estable; si hay un solo polo en los cuadrantes 1 o 4, se vuelve inestable. Un polo en j\omega: marginalmente estable; más de uno repetido en j\omega: inestable. «Todo lo que se mueva y no pare: inestable.»

T(s)=\dfrac{K\prod(s+z_i)}{s^N\prod(s+p_k)\prod\left[s^2+2\alpha_ns+(\alpha_n^2+\omega_n^2)\right]}; \Delta(s) = denominador, sus raíces son los polos.

\Delta(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0=0

b_{n-1}=\dfrac{-1}{a_{n-1}}\begin{vmatrix}a_n&a_{n-2}\\a_{n-1}&a_{n-3}\end{vmatrix},   b_{n-3}=\dfrac{-1}{a_{n-1}}\begin{vmatrix}a_n&a_{n-4}\\a_{n-1}&a_{n-5}\end{vmatrix},   c_{n-1}=\dfrac{-1}{b_{n-1}}\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n-3}\\b_{n-1}&b_{n-3}\end{vmatrix}

El número de raíces con parte real positiva es igual al número de cambios de signo de la primera columna. NO DEBE HABER CAMBIOS EN LA PRIMERA COLUMNA DE SIGNOS.

1) Ningún elemento de la primera columna es cero. 2) Hay un cero en la primera columna, pero los otros elementos de la fila no son cero. 3) Hay una fila de ceros. 4) Como el 3, pero con raíces repetidas en el eje j\omega. «4 casos, pero usaremos 3.»

Encuentre los intervalos de K y a que garanticen que el lazo cerrado sea estable.

\Delta(s)=s^4+6s^3+11s^2+(6+K)s+Ka; b_1=\dfrac{60-K}{6}, c_1=\dfrac{b_1(K+6)-6Ka}{b_1}. K<60, Ka>0, a<\dfrac{(60-K)(K+6)}{36K}; si K=1, a<11{,}47.

G_c(s)=K_P+\dfrac{K_I}{s}+K_Ds, U=G_cE; en el tiempo: u(t)=K_Pe(t)+K_I\int e\,dt+K_D\dfrac{de}{dt}. Forma estándar: G_c=K_c\left(1+\dfrac{1}{\tau_Is}+\tau_Ds\right).

Proporcional: responde al tamaño (y signo) del error presente. Integral: acumula el pasado, lleva e_{ss} a cero pero aumenta un poco las oscilaciones. Derivativa: predice el futuro, se anticipa \tau_D al error.