Los métodos del profe: síntesis directa, Padé e IMC
Los talleres 18 y 19 sintonizan con polos y con tablas. En clase el profe fue más allá: le dices al lazo cómo quieres que responda y despejas el controlador. Si la planta tiene retardo, lo vuelves fracción con Padé. Si tiene un cero malo, lo dejas en paz. Este taller recorre esos métodos con los mismos ejemplos de los apuntes.
⏱ 80 minutosAl verificar los ejemplos encontramos tres detalles que no cuadran. No los copiamos: los explicamos donde aparecen (secciones 4, 6 y 7). Pregúntale al profe si en el parcial quiere su versión. Las tres son de transcripción, no de método.
1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Hay dos familias de métodos. Las tablas (Ziegler-Nichols, Cohen-Coon, Lambda) solo piden dos o tres números medidos. Los métodos por modelo (síntesis directa, IMC) piden G(s), pero a cambio tú escoges la respuesta exacta del lazo.
- Escribe la respuesta que quieres en lazo cerrado: T_d(s)=\dfrac{1}{\alpha s+1} (o la de segundo orden).
- Si G tiene retardo, cámbialo por Padé. Si tiene ceros en el semiplano derecho, ponlos también en T_d.
- Despeja: C=\dfrac{T_d}{G\,(1-T_d)}.
- Revisa que C sea realizable (no más ceros que polos) y escríbelo como PID.
- Escoge \alpha (o \tau_c) con la especificación y simula con la planta real.
| Si tienes… | Usa | Taller |
|---|---|---|
| G(s) sin retardo y una especificación | síntesis directa o polos | 25 · 18 |
| G(s) con retardo o cero malo | Padé + síntesis directa, o IMC | 25 |
| solo la curva de reacción | ZN, Cohen-Coon, Lambda | 19 · 25 |
| G(s) sin retardo, sin especificación | Routh → K_{cr} → ZN | 19 · 25 |
| la planta y nada de modelo | ensayo y error | 25 |
2 El simulador: tú pides la respuesta, el método despeja el PID
Escoge la planta y mueve la perilla. La curva gris punteada es lo que pediste (T_d); la verde es lo que sale al simular con la planta real (con su retardo de verdad, no con Padé). Debajo ves las ganancias que despejó el método.
1) Motor: con \alpha=0{,}25 el lazo llega en un segundo, como pide el ejemplo de clase. Baja \alpha a 0,1: más rápido, pero K_p crece como 1/\alpha. 2) Retardo con Padé: con \alpha=2 no hay sobreimpulso; con \alpha=0{,}5 la planta real (retardo verdadero) se pasa. Padé es una aproximación y se nota cuando pides mucho. 3) Fíjate en la caída inicial en las plantas con retardo: es la fase no mínima que pusiste en T_d a propósito.
3 Síntesis directa: la idea en una línea
El lazo cerrado con realimentación unitaria es T=\dfrac{CG}{1+CG}. Si sabes qué T quieres, despejas C:
- T_d(s)
- la función de transferencia en lazo cerrado que tú pides (la «d» es de deseada)
- \alpha
- la constante de tiempo que pides en lazo cerrado; con T_d=1/(\alpha s+1) el tiempo de establecimiento (2 %) es 4\alpha [s]
- \beta
- el cero de fase no mínima que copias de la planta en T_d [s]
Con T_d=\dfrac{1}{\alpha s+1} el término \dfrac{T_d}{1-T_d} es \dfrac{1}{\alpha s}: un integrador. Por eso el método casi siempre da un PI o un PID.
Los ejemplos de clase
| Planta | C=\dfrac{1}{G\,\alpha s} | Forma |
|---|---|---|
| \dfrac{K}{(\tau_1s+1)(\tau_2s+1)} | \dfrac{\tau_1+\tau_2}{K\alpha}+\dfrac{1}{K\alpha s}+\dfrac{\tau_1\tau_2}{K\alpha}s | PID |
| \dfrac{10}{s(s+1)}, t_s\le1 | \alpha=\tfrac14\Rightarrow C=\tfrac25 s+\tfrac25 | PD |
| \dfrac{1}{(s+1)(0{,}5s+1)(0{,}25s+1)} | \dfrac{s^2}{8\alpha}+\dfrac{7s}{8\alpha}+\dfrac{1{,}75}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha s} | ¡tiene s^2! |
En la tercera planta C tiene un término en s^2: más ceros que polos, no se puede construir. Pasa siempre que T_d tiene menos grado relativo que G. La solución de clase: pedir T_d de segundo orden, T_d=\dfrac{1}{(\alpha_2 s+1)(\alpha_3 s+1)}, que sube el grado relativo de T_d y le quita una s a C. Regla: grado relativo de T_d ≥ grado relativo de G.
4 Fase no mínima: el cero que no se puede cancelar
Un cero en el semiplano derecho (como el s-1 de G=\dfrac{s-1}{s(s+1)}) hace que la salida arranque al revés antes de ir a donde debe. Si haces síntesis directa con T_d=1/(\alpha s+1), el 1/G pone ese cero como polo del controlador:
La cancelación \dfrac{s-1}{s-1} solo existe en el papel. Cualquier error mínimo en el modelo deja ese polo inestable vivo dentro del lazo. Eso es lo que en clase se llamó «no realizable».
Si la planta no puede evitar arrancar al revés, el lazo tampoco. Así que lo pides:
con \beta igual al de la planta. Ahora 1/G y T_d tienen el mismo 1-\beta s y se cancelan en la fórmula, no en el lazo.
5 Padé: el retardo convertido en fracción
La síntesis directa necesita 1/G, y 1/e^{-\theta s}=e^{\theta s} es un adelanto: ver el futuro. Imposible. Padé cambia el retardo por una fracción que se le parece:
Tiene un cero en s=+2/\theta: Padé convierte el retardo en fase no mínima. Por eso el método de la sección 4 es el que se usa con retardos.
El ejemplo de clase, con la fórmula correcta
G=\dfrac{5e^{-2s}}{s+1}. Con Padé (\theta=2): G\approx\dfrac{5(1-s)}{(s+1)^2}, así que \beta=1. Diseña con T_d=\dfrac{1-s}{\alpha s+1}.
En los apuntes aparece primero C=\dfrac{1}{G}\,T_d=\dfrac15\dfrac{(s+1)^2}{\alpha s+1}, con la nota al margen «no sirve porque no conserva grado relativo» y luego «hubiera usado C=\dfrac{T_d}{G(1-T_d)}». Exacto: \tfrac{1}{G}T_d olvida el 1-T_d y deja dos ceros contra un polo. Con la fórmula completa sale un PID ideal, sin s^2.
6 IMC: control por modelo interno
IMC es la síntesis directa vista de otra forma. El controlador lleva dentro una copia del modelo \tilde G y solo reacciona a la diferencia entre la planta real y el modelo. Tres pasos:
- Descompón el modelo: \tilde G=\tilde G_+\,\tilde G_-. En \tilde G_+ va lo que no se puede invertir (retardo, ceros en el semiplano derecho), con ganancia 1. En \tilde G_-, el resto.
- Invierte solo la parte buena y filtra: G_q=\dfrac{F}{\tilde G_-}, con F=\dfrac{1}{(\tau_c s+1)^r} y r suficiente para que G_q sea propia.
- Pasa a lazo clásico: G_c=\dfrac{G_q}{1-G_q\tilde G}. A veces sale un PID exacto; otras, un PID con filtro.
- \tilde G
- el modelo de la planta (la tilde dice «lo que creo que es la planta»)
- \tau_c
- la constante de tiempo del filtro: la perilla de velocidad, como \alpha [s]
- r
- el orden del filtro: el mínimo para que G_q no tenga más ceros que polos
| Para escoger \tau_c (apuntes) | Qué significa |
|---|---|
| \tau_c/\theta\gt 0{,}8 y \tau_c\gt 0{,}1\tau | no pedir más rápido que el retardo |
| \tau\gt\tau_c\gt\theta | entre el retardo y la planta |
| \tau_c=\theta | la elección de los ejemplos |
Variantes del filtro de los apuntes: \dfrac{r\tau_c s+1}{(\tau_c s+1)^r} cuando la referencia es una rampa, y \dfrac{\gamma s+1}{(\tau_c s+1)^r} para rechazar mejor perturbaciones.
Ejemplo 1 · \tilde G=\dfrac{1}{s+1}, \tau_c=0{,}2
Ejemplo 2 · \tilde G=\dfrac{e^{-2s}}{4s+1} con Padé, \tau_c=\theta=2
En los apuntes el denominador quedó 2s^2+4s+1-1-s y luego s^2+3s, y al final se soltó el factor \tfrac{1}{s+3} para dar G_c=2s+\tfrac52+\tfrac{1}{2s}. Pero -(1-s)=-1+s: el denominador es 2s^2+4s=2s(s+2). El resultado correcto es un PID con filtro, con ganancias que son la mitad de las de los apuntes. Simulado con el retardo real, el correcto no se pasa (t_s\approx10{,}5\ \text{s}).
7 Las tablas del profe: Ziegler-Nichols, ensayo y error, Cohen-Coon
Cuando no hay modelo o no hay tiempo, tablas. Este simulador compara las del profe en los dos ejemplos de clase.
Ziegler-Nichols en lazo cerrado (tabla de clase)
| K_c | \tau_I | \tau_D | |
|---|---|---|---|
| P | K_{cr}/2 | — | — |
| PI | K_{cr}/2{,}2 | P_{cr}/1{,}2 | — |
| PID | K_{cr}/1{,}7 | P_{cr}/2 | P_{cr}/8 |
En los apuntes la fila PI dice \tau_I=P_{cr}. La tabla original de Ziegler y Nichols (y Dorf, y el Taller 19) dice P_{cr}/1{,}2. La diferencia en la respuesta es pequeña (65 % contra 71 % de sobreimpulso en el ejemplo), pero si te lo preguntan de memoria, confirma con el profe cuál usa. K_{cr}/2{,}2=0{,}45K_{cr} y K_{cr}/1{,}7\approx0{,}59K_{cr} son las mismas constantes de siempre escritas como división.
G=\dfrac{1}{(s+1)(0{,}5s+1)(0{,}2s+1)}. Encuentra K_{cr}, P_{cr} y el PI.
El contraejemplo de clase: G=\dfrac{10}{s^2+2s+10}. La ecuación característica s^2+2s+10+10K=0 tiene todos los coeficientes positivos para cualquier K\gt 0: nunca oscila sostenido. No hay K_{cr}. Pasa con toda planta de orden 1 o 2 sin retardo. Ahí usas otro método.
Ensayo prueba y error (en la planta, sin modelo)
- Arranca con K_c pequeño, \tau_D pequeño y \tau_I grande (casi un P puro).
- Duplica K_c hasta que oscile sostenido: ese es K_{cu}. Deja K_c=K_{cu}/2.
- Divide \tau_I entre 2 hasta que vuelva a oscilar: \tau_I^*. Deja \tau_I=2\tau_I^*.
- Sube \tau_D hasta que oscile: \tau_D^*. Deja \tau_D=\tau_D^*/3.
Curva de reacción: ZN y Cohen-Coon
Con la curva medida (K, \theta retardo, \tau constante de tiempo; en el Taller 19 se llaman K, L, T):
| K_c | \tau_I | \tau_D | |
|---|---|---|---|
| ZN PI | \dfrac{0{,}9\,\tau}{K\theta} | 3{,}33\,\theta | — |
| ZN PID | \dfrac{1{,}2\,\tau}{K\theta} | 2\theta | 0{,}5\theta |
| Cohen-Coon PID | \dfrac{\tau}{K\theta}\left(\dfrac43+\dfrac{\theta}{4\tau}\right) | \theta\,\dfrac{32+6\theta/\tau}{13+8\theta/\tau} | \dfrac{4\theta}{11+2\theta/\tau} |
| Lambda PI | \dfrac{\tau}{K(\lambda+\theta)} | \tau | — |
En los apuntes quedó \tau_I=\theta(32+6\theta/\tau), sin denominador. Así, con \theta=0{,}25 daría \tau_I=8{,}4\ \text{s}: un integral casi muerto. La fórmula de Cohen y Coon lleva el /(13+8\theta/\tau), y da 0{,}558\ \text{s}.
8 Anti-windup: cuánto vale Tt
Cuando el actuador se satura, el integral sigue sumando error y luego hay que «descargarlo»: el sobreimpulso enorme del Taller 23. El esquema de clase es el back-calculation o tracking: la diferencia entre lo que pidió el controlador y lo que salió del actuador se devuelve al integrador.
| Controlador | T_t (apuntes) |
|---|---|
| PI | T_t=\tau_I |
| PID | T_t=\sqrt{\tau_I\,\tau_D} |
T_t pequeño descarga rápido, pero si es demasiado pequeño el ruido o un pico de error sacan al integrador de su sitio. Es un compromiso, y el Taller 23 lo mueve con un deslizador.
9 Problemas resueltos
Síntesis directa con Padé: el ejercicio de los apuntes
G=\dfrac{2e^{-2s}}{5s+1}. Usa T_d=\dfrac{1-\beta s}{\alpha s+1} y verifica que el controlador conserva el grado relativo.
Síntesis directa para el motor
G=\dfrac{10}{s(s+1)}. Diseña para t_s\le1\ \text{s} con T_d=\dfrac{1}{\alpha s+1}.
10 Ahora tú
11 Ponte a prueba
12 La receta para el día del parcial
- ¿Retardo? Padé: e^{-\theta s}\approx\dfrac{1-\frac{\theta}{2}s}{1+\frac{\theta}{2}s}. Ahora tienes un cero malo con \beta=\theta/2.
- ¿Cero malo? Va en T_d: T_d=\dfrac{1-\beta s}{\alpha s+1}. Nunca lo canceles.
- Despeja con la fórmula completa: C=\dfrac{T_d}{G(1-T_d)}. No con T_d/G.
- Revisa el grado relativo: si C tiene s^2 suelto, pide T_d de segundo orden.
- Escribe C como PID: K_p es el coeficiente de s^0, K_i el de 1/s y K_d el de s.
- \alpha o \tau_c: con t_s=4\alpha, o \tau_c=\theta si hay retardo.
- Si te piden ZN en lazo cerrado: primero confirma con Routh que existe K_{cr}.
1. «Pide la respuesta, despeja el controlador.»
2. «El cero malo no se cancela: se pide.»