Taller 10 de 13 · Principios de Dinámica
Trabajo y energía
Cuando el problema relaciona velocidades con distancias y no te importa el tiempo, resolver con \sum F = ma e integrar es dar un rodeo. El principio de trabajo y energía salta directo de una velocidad a otra.
De dónde sale esto. Hibbeler Dinámica 12.ª ed., capítulo 14; Beer & Johnston 9.ª ed., cap. 13.1 a 13.9. Semana 8 del programa: «Principio del trabajo y la energía. Potencia y eficiencia. Fuerzas conservativas y energía potencial». Entra en el Parcial 2.
1 El principio
Truco
«¿Tiempo? Impulso. ¿Distancia? Energía. ¿Aceleración o fuerza en un instante? Newton.» Mira qué relaciona el enunciado: si da o pide una distancia recorrida junto con velocidades, este taller; si da o pide un tiempo, el siguiente; si pide la aceleración o una fuerza en un punto, el taller 9. Se verifica en el ejemplo de abajo: los dos caminos dan lo mismo, pero el de energía es más corto.
T_1 + \textstyle\sum U_{1\to2} = T_2
Energía cinética inicial + trabajo de todas las fuerzas = energía cinética final.
Qué significa cada símbolo
- T_1,\ T_2
- energía cinética en el punto inicial (1) y en el final (2) · J
- \sum U_{1\to2}
- suma de los trabajos de todas las fuerzas mientras el cuerpo va de 1 a 2, cada uno con su signo · J
T = \tfrac12 m v^2
Qué significa cada símbolo
- T
- energía cinética; nunca es negativa · J = N·m
- m
- masa del cuerpo · kg
- v
- rapidez del cuerpo en ese punto · m/s
Es una ecuación escalar: no hay componentes, no hay direcciones. Esa es su gran ventaja frente a \sum F = ma.
El trabajo de cada tipo de fuerza
- Fuerza constante: U = F\,d\cos\theta, con \theta el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.
- Peso: U = -W\,\Delta h. Negativo al subir, positivo al bajar. Solo depende de la altura, no del camino.
- Resorte: U = -\left(\tfrac12 ks_2^2 - \tfrac12 ks_1^2\right).
- Fricción (sobre una superficie quieta, que es el caso de todos estos problemas): U = -f\,d, con d la distancia recorrida. Siempre negativo, y siempre depende del camino recorrido.
Qué significa cada símbolo
- U
- trabajo de la fuerza: positivo si ayuda al movimiento, negativo si se opone · J
- F
- magnitud de la fuerza constante · N
- d
- distancia recorrida por el cuerpo · m
- \theta
- ángulo entre la fuerza y el desplazamiento · ° o rad
- W
- peso del cuerpo, \(W = mg\) · N
- \Delta h
- cambio de altura, positivo cuando el cuerpo sube · m
- k
- rigidez del resorte · N/m
- s_1,\ s_2
- deformación del resorte al inicio y al final, medida desde su longitud natural · m
- f
- fuerza de fricción · N
Las que no trabajan
Una fuerza perpendicular al movimiento no hace trabajo: \cos 90^\circ = 0. Eso excluye a la normal y a la tensión de una cuerda en movimiento circular. Incluirlas es sumar ceros; olvidar que son cero y buscarles un trabajo es perder el tiempo.
2 Míralo primero: a dónde se va la energía
Un bloque de 2\ \text{kg} se suelta quieto en una rampa de 30^\circ. Baja 2\ \text{m} rozando contra la rampa y luego comprime un resorte de k = 400\ \text{N/m} hasta detenerse. Mueve la posición del bloque (o suéltalo) y mira las barras: la energía cambia de forma, pero el total no cambia nunca.
velocidad vresortenivel cero de alturaaltura h
1,20 m
0,20
Dónde está la energía
Cinética T—
Gravitatoria V_g—
Elástica V_e—
Se la llevó la fricción—
Suma de las cuatro—
En esta posición
Rapidez v—
Altura h—
Resorte comprimido x—
Qué significa cada símbolo
- s
- distancia que el bloque ha recorrido sobre la rampa desde donde se soltó · m
- T = \tfrac12 mv^2
- energía cinética: la que tiene por ir moviéndose · J
- V_g = mgh
- energía potencial gravitatoria: la que tiene por estar a una altura \(h\) sobre el nivel cero · J
- V_e = \tfrac12 kx^2
- energía potencial elástica: la que guarda el resorte comprimido una distancia \(x\) · J
- \mu N s
- energía que se lleva la fricción (se vuelve calor); es su trabajo \(U_f = -\mu N s\) cambiado de signo, con \(N = mg\cos 30^\circ\) · J
- Con fricción cero, la altura se vuelve velocidad y después resorte, y nada se pierde: eso es la conservación de la energía de la sección siguiente.
- Sube la fricción. La barra roja crece con cada metro recorrido y nunca devuelve nada. Por eso el bloque llega más lento al resorte y lo comprime menos.
- El nivel cero de altura se elige. Aquí se puso en el punto más bajo al que llega el bloque sin fricción, para que ninguna barra salga negativa. Con otro nivel cambiarían los números de V_g, pero no las diferencias, que es lo único que importa.
3 Conservativas y conservación de la energía
Una fuerza es conservativa si su trabajo no depende del camino, solo de los puntos inicial y final. El peso y el resorte lo son; la fricción, no. Para las conservativas se define una energía potencial:
V_g = Wy \qquad\qquad V_e = \tfrac12 ks^2
Qué significa cada símbolo
- V_g
- energía potencial gravitacional · J
- W
- peso del cuerpo · N
- y
- altura del cuerpo sobre el nivel de referencia que tú escoges, positiva hacia arriba (es la \(h\) del simulador: \(Wy = mgh\)) · m
- V_e
- energía potencial elástica del resorte; nunca es negativa · J
- k
- rigidez del resorte · N/m
- s
- deformación del resorte (estirado o comprimido) desde su longitud natural · m
Y si todas las fuerzas que trabajan son conservativas, la energía total se conserva:
T_1 + V_1 = T_2 + V_2
Qué significa cada símbolo
- T_1,\ T_2
- energía cinética al inicio y al final · J
- V_1,\ V_2
- energía potencial total al inicio y al final, \(V = V_g + V_e\) · J
Cuándo se puede conservar
En cuanto hay fricción esa ecuación deja de valer y hay que volver a T_1 + \sum U_{1\to2} = T_2, metiendo el trabajo de la fricción con su signo negativo. Mirar si hay fricción antes de elegir la ecuación ahorra rehacer el problema.
Potencia y eficiencia
\begin{gathered}P = \dfrac{dU}{dt} = \vec F \cdot \vec v\\[6pt] \varepsilon = \dfrac{P_{\text{sal}}}{P_{\text{ent}}}\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
- P
- potencia: trabajo hecho por segundo · W = J/s
- dU,\ dt
- un trabajo muy pequeño y el tiempo muy corto en que se hace · J y s
- \vec F \cdot \vec v
- producto punto de la fuerza y la velocidad: solo cuenta la parte de la fuerza que va en la dirección del movimiento · N·m/s = W
- \varepsilon
- eficiencia: qué fracción de la potencia que entra sale como potencia útil; nunca pasa de 1 (en una máquina real siempre es menor, porque algo se pierde en calor) · sin unidad
- P_{\text{sal}},\ P_{\text{ent}}
- potencia de salida (útil) y potencia de entrada · W
4 Ejemplo: bloque con fricción
Enunciado. Un bloque de 10\ \text{kg} parte del reposo y se empuja con una fuerza horizontal de 100\ \text{N} a lo largo de 5\ \text{m} sobre un piso horizontal. El coeficiente de fricción es \mu_k = 0{,}2. ¿Con qué velocidad llega?
Ruta
Hay distancia y velocidades, sin tiempo: trabajo y energía. Calcular T_1, el trabajo de cada fuerza con su signo (la fricción necesita antes la normal) y despejar v_2 de T_2.
Energía cinética inicial: parte del reposo.
T_1 = \tfrac12(10)(0)^2 = 0\ \text{J}
Trabajo de la fuerza aplicada: va en la dirección del movimiento, así que el ángulo es 0^\circ y el coseno vale 1.
U_F = F\,d\cos 0^\circ = (100)(5)(1) = 500\ \text{J}
La normal, que hace falta para la fricción. En vertical no hay aceleración, y la fuerza aplicada es horizontal, así que no la altera.
\begin{gathered}\sum F_y = 0: \quad N - mg = 0\\ N = 10(9{,}81) = 98{,}1\ \text{N}\end{gathered}
La fuerza de fricción.
f = \mu_k N = 0{,}2(98{,}1) = 19{,}62\ \text{N}
Trabajo de la fricción: siempre negativo, porque va en contra del movimiento.
U_f = -f\,d = -(19{,}62)(5) = -98{,}1\ \text{J}
Aplicamos el principio. Peso y normal no trabajan: son perpendiculares al movimiento.
\begin{gathered}T_1 + U_F + U_f = T_2\\ 0 + 500 - 98{,}1 = \tfrac12(10)\,v_2^2\end{gathered}
Hacemos la resta y despejamos v_2^2 dividiendo entre 5.
\begin{gathered}401{,}9 = 5\,v_2^2\\ v_2^2 = \dfrac{401{,}9}{5} = 80{,}38\ \text{m}^2/\text{s}^2\end{gathered}
Sacamos la raíz cuadrada. Resultado.
\boxed{\ v_2 = \sqrt{80{,}38} = 8{,}97\ \text{m/s}\ }
Qué significa cada símbolo
- T_1,\ T_2
- energía cinética al arrancar y al llegar · J
- U_F
- trabajo de la fuerza de empuje · J
- U_f
- trabajo de la fricción · J
- N
- fuerza normal del piso · N
- f
- fuerza de fricción · N
- v_2
- rapidez al final de los 5 m · m/s
Chequeo
Sin fricción, los 500\ \text{J} enteros serían cinética: v = \sqrt{2(500)/10} = 10{,}0\ \text{m/s}. Con fricción tiene que salir menos, y los 8{,}97\ \text{m/s} lo cumplen.
Por qué este camino es más corto
Con \sum F = ma habrías tenido que hallar primero a = \dfrac{100 - 19{,}62}{10} = 8{,}04\ \text{m/s}^2 y luego usar v^2 = 2a\,d = 2(8{,}04)(5) = 80{,}38\ \text{m}^2/\text{s}^2, que da los mismos 8{,}97\ \text{m/s}: dos pasos en vez de uno, y con una ecuación vectorial en vez de escalar. Elegir bien la herramienta es la mitad del examen.
5 Ahora tú
Responde las 6 preguntas para cerrar el taller.
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