Taller 11 de 13 · Principios de Dinámica
Impulso y cantidad de movimiento
La tercera herramienta, y la que se usa cuando aparece el tiempo: fuerzas que actúan durante un intervalo, choques, explosiones. Además trae el único principio que permite resolver un choque sin saber nada de las fuerzas que actuaron dentro.
De dónde sale esto. Hibbeler Dinámica 12.ª ed., capítulo 15; Beer & Johnston 9.ª ed., cap. 13.10 a 13.15. Semana 8 del programa: «Principio de impulso y cantidad de movimiento lineal y angular. Conservación de la cantidad de movimiento lineal y angular». Entra en el Parcial 2.
1 El principio
m\vec v_1 + \textstyle\sum \int_{t_1}^{t_2}\vec F\,dt = m\vec v_2
Qué significa cada símbolo
- m
- masa del cuerpo · kg
- \vec v_1,\ \vec v_2
- velocidad al inicio y al final del intervalo · m/s
- m\vec v
- cantidad de movimiento: masa por velocidad · kg·m/s
- \int_{t_1}^{t_2}\vec F\,dt
- impulso de una fuerza: el área bajo su curva fuerza-tiempo · N·s
- t_1,\ t_2
- instante en que empieza y en que termina el intervalo · s
A diferencia del de energía, esta ecuación sí es vectorial: hay que separarla en componentes. A cambio, maneja el tiempo directamente.
Cuál de las tres
Las tres herramientas del curso, y cuándo usar cada una:
- \sum F = ma: cuando piden la aceleración o una fuerza en un instante.
- Trabajo y energía: cuando relacionan velocidades con distancias.
- Impulso y cantidad de movimiento: cuando relacionan velocidades con tiempos, o hay un choque.
2 Míralo primero: dos bloques que chocan
Dos bloques van sobre la misma línea: A a la izquierda y B a la derecha. Las velocidades son positivas hacia la derecha y negativas hacia la izquierda. Elige masas, velocidades y qué tanto rebotan (el coeficiente de restitución e, que se explica en la sección siguiente: 1 es rebote perfecto, 0 es quedar pegados), y compara el antes con el después.
bloque Abloque Bvelocidad (misma escala antes y después)
4,0 kg
2,0 kg
+6,0 m/s
−2,0 m/s
0,50
Velocidades después
De A, (v_A)_2—
De B, (v_B)_2—
Cantidad de movimiento · se conserva siempre
Antes—
Después—
Energía cinética · solo si e = 1
Antes—
Después—
Se pierde—
Qué significa cada símbolo
- m_A,\ m_B
- masas de los dos bloques · kg
- (v_A)_1,\ (v_B)_1
- velocidades justo antes del choque, con su signo · m/s
- (v_A)_2,\ (v_B)_2
- velocidades justo después del choque, con su signo · m/s
- e
- coeficiente de restitución: velocidad con que se separan dividida entre velocidad con que se acercaban · sin unidad
- m_A v_A + m_B v_B
- cantidad de movimiento total del sistema · kg·m/s
- T = \tfrac12 m_A v_A^2 + \tfrac12 m_B v_B^2
- energía cinética total del sistema · J
- Mueve e de 0 a 1. La cantidad de movimiento no se mueve ni un decimal. La energía cinética perdida sí: es máxima con e = 0 y solo llega a cero con e = 1.
- Pon masas iguales y e = 1. Los bloques intercambian sus velocidades.
- Pon a A muy pesado contra B liviano y B quieto. A casi no se entera del golpe y B sale disparado: con e = 1, a casi el doble de la velocidad de A.
3 Conservación en choques
Si sobre un sistema de partículas no actúan fuerzas externas en una dirección, la cantidad de movimiento total en esa dirección se conserva:
\textstyle\sum m_i\vec v_{i,1} = \textstyle\sum m_i\vec v_{i,2}
Qué significa cada símbolo
- m_i
- masa de cada cuerpo del sistema (\(i\) = A, B, …) · kg
- \vec v_{i,1}
- velocidad de ese cuerpo justo antes del choque · m/s
- \vec v_{i,2}
- velocidad de ese cuerpo justo después del choque · m/s
Durante un choque, las fuerzas internas son enormes pero duran poquísimo; las externas (peso, fricción) son despreciables en comparación. Por eso se puede aplicar aunque el sistema no esté aislado del todo.
El coeficiente de restitución
e = \dfrac{(v_B)_2 - (v_A)_2}{(v_A)_1 - (v_B)_1}
Velocidad de separación dividida por velocidad de aproximación.
Qué significa cada símbolo
- e
- coeficiente de restitución: qué tanto rebotan los cuerpos; va de 0 a 1 · sin unidad
- (v_A)_1,\ (v_B)_1
- velocidades de A y de B antes del choque, con su signo sobre la línea del choque · m/s
- (v_A)_2,\ (v_B)_2
- velocidades de A y de B después del choque, con el mismo convenio de signos · m/s
- e = 1: choque perfectamente elástico. También se conserva la energía cinética.
- e = 0: choque plástico. Los cuerpos quedan pegados y salen con la misma velocidad.
- 0 < e < 1: el caso real. Se pierde energía, pero la cantidad de movimiento se conserva igual.
Lo que se conserva y lo que no
En un choque entre dos cuerpos libres la cantidad de movimiento total se conserva, pero la energía cinética solo si e=1. Son cosas distintas y el enunciado juega con ello. Con dos incógnitas necesitas dos ecuaciones: la de conservación y la de restitución. Y si uno de los cuerpos está pegado a un apoyo (una pared, un pasador), el apoyo da un impulso externo y la cantidad de movimiento lineal ya no se conserva.
Truco
«Arriba se separan, abajo se acercan.» En e, el numerador es la velocidad con que se separan después ((v_B)_2 - (v_A)_2) y el denominador la velocidad con que se acercaban antes ((v_A)_1 - (v_B)_1). Se comprueba sola: si escribiste bien el orden, los dos salen positivos y e queda entre 0 y 1; si te da negativa, invertiste una resta.
4 Ejemplo: impulso de una fuerza constante
Ruta
Hay un tiempo, así que impulso. Todo va sobre una línea: escoge el sentido del movimiento como positivo, calcula la cantidad de movimiento inicial, el impulso como área bajo F contra t con su signo, y despeja v_2.
Enunciado. Un cuerpo de 2\ \text{kg} se mueve a 3\ \text{m/s}. Se le aplica una fuerza de 10\ \text{N} en la misma dirección durante 4\ \text{s}. ¿Cuál es su velocidad final?
Todo ocurre sobre una sola línea, así que basta una componente. La cantidad de movimiento inicial:
m v_1 = 2(3) = 6\ \text{kg}\cdot\text{m/s}
El impulso. Como la fuerza es constante, la integral es fuerza por tiempo (el área de un rectángulo).
\int_{t_1}^{t_2} F\,dt = F\,(t_2 - t_1) = 10(4) = 40\ \text{N}\cdot\text{s}
Aplicamos el principio. El impulso va a favor del movimiento, por eso suma.
\begin{gathered}m v_1 + \int F\,dt = m v_2\\ 6 + 40 = 2\,v_2\end{gathered}
Sumamos y dividimos entre la masa.
46 = 2\,v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = \dfrac{46}{2}
Resultado.
\boxed{\ v_2 = 23\ \text{m/s}\ }
Qué significa cada símbolo
- m v_1
- cantidad de movimiento inicial · kg·m/s
- F
- fuerza aplicada, constante · N
- t_2 - t_1
- tiempo durante el que actúa la fuerza · s
- v_2
- velocidad final · m/s
Cuándo gana el impulso
Compruébalo con F = ma: a = \dfrac{10}{2} = 5\ \text{m/s}^2, y v = 3 + 5(4) = 23\ \text{m/s} ✓. Aquí las dos vías cuestan lo mismo porque la fuerza es constante. La ventaja del impulso aparece cuando la fuerza varía con el tiempo: entonces basta con el área bajo la curva de F contra t, sin resolver la aceleración instante por instante.
Chequeo
El cambio de cantidad de movimiento tiene que ser igual al impulso: m(v_2 - v_1) = 2(23 - 3) = 40\ \text{N}\cdot\text{s} ✓. Y como la fuerza empuja a favor, v_2 tiene que salir mayor que los 3\ \text{m/s} iniciales: si te diera menos, el impulso entró con el signo cambiado.
5 Ahora tú
Responde las 6 preguntas para cerrar el taller.
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