Taller 12 de 13 · Principios de Dinámica
Cinética plana de cuerpo rígido
Un cuerpo con tamaño no solo se acelera: también gira. A las dos ecuaciones de fuerzas se les suma una de momentos, y aparece una magnitud nueva que es la hermana rotacional de la masa: el momento de inercia.
De dónde sale esto. Hibbeler Dinámica 12.ª ed., capítulos 17 y 18; Beer & Johnston 9.ª ed., cap. 16. Semanas 9 a 12 del programa: «Momento de inercia de masa. Ecuaciones de movimiento. Traslación. Rotación» y «Rotación alrededor de un eje fijo».
1 Las tres ecuaciones
\begin{gathered}\sum F_x = m(a_G)_x\\[4pt] \sum F_y = m(a_G)_y\\[4pt] \sum M_G = I_G\,\alpha\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
- \sum F_x,\ \sum F_y
- suma de las componentes de todas las fuerzas externas · N
- m
- masa del cuerpo · kg
- (a_G)_x,\ (a_G)_y
- componentes de la aceleración del centro de masa \(G\) · m/s²
- \sum M_G
- suma de los momentos de las fuerzas respecto al centro de masa · N·m
- I_G
- momento de inercia de masa respecto a un eje que pasa por \(G\), perpendicular al plano · kg·m²
- \alpha
- aceleración angular del cuerpo · rad/s²
El subíndice G importa: las fuerzas dan la aceleración del centro de masa, y los momentos se toman respecto al centro de masa.
La masa de la rotación
El momento de inercia de masa I_G = \int r^2\,dm mide la resistencia a cambiar de giro, igual que la masa mide la resistencia a cambiar de velocidad. Y como en Estática 12, lo que manda es la distancia al cuadrado: el material lejos del eje pesa mucho más en la cuenta. Por eso un patinador gira más rápido al recoger los brazos: su I_G baja y, como la cantidad de movimiento angular I_G\,\omega se conserva (nadie le da momento), \omega sube.
Qué significa cada símbolo
- dm
- un pedacito muy pequeño de la masa del cuerpo · kg
- r
- distancia de ese pedacito al eje de giro · m
Los que hay que saber
- Barra delgada de longitud L respecto a su centro: I_G = \tfrac{1}{12}mL^2
- Barra respecto a un extremo: I = \tfrac13 mL^2
- Disco o cilindro de radio R: I_G = \tfrac12 mR^2
- Aro delgado: I_G = mR^2. Toda la masa está a la misma distancia.
Y el teorema de ejes paralelos vuelve a aparecer, igual que en Estática:
I = I_G + m\,d^2
Qué significa cada símbolo
- I
- momento de inercia respecto al eje nuevo, paralelo al que pasa por \(G\) · kg·m²
- I_G
- momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa · kg·m²
- m
- masa del cuerpo · kg
- d
- distancia entre los dos ejes paralelos · m
2 Los tres casos de movimiento plano
- Traslación pura: \alpha = 0, todos los puntos con la misma aceleración. La ecuación de momentos queda \sum M_G = 0.
- Rotación alrededor de un eje fijo: el centro de masa describe un círculo. Conviene tomar momentos respecto al punto fijo O: \sum M_O = I_O\alpha.
- Movimiento plano general: traslación y rotación a la vez. Rodar sin deslizar es el caso típico, con la condición cinemática a_G = \alpha R.
Qué significa cada símbolo
- \sum M_O
- suma de momentos respecto al punto fijo \(O\) (el pasador) · N·m
- I_O
- momento de inercia respecto al eje que pasa por \(O\) · kg·m²
- a_G
- aceleración del centro de la rueda · m/s²
- \alpha
- aceleración angular · rad/s²
- R
- radio de la rueda · m
La ecuación que falta
En rodadura sin deslizamiento, a_G = \alpha R es una condición cinemática, no una ecuación de equilibrio: es la relación que falta para cerrar el sistema. Sin ella tienes tres ecuaciones y cuatro incógnitas (incluida la fricción) y no sale.
Truco
«¿Hay pasador? Momentos en el pasador. ¿No hay? Momentos en G.» En el pasador las dos reacciones tienen brazo cero y desaparecen de la ecuación, que queda con una sola incógnita, \alpha. Ojo: con \sum M_O = I_O\alpha el momento de inercia también va respecto a O, no respecto a G.
3 Ejemplo: barra que empieza a caer
Ruta
Eje fijo en O: momentos en el pasador para que sus reacciones no entren. El momento del peso con su brazo, I_O por ejes paralelos y despejar \alpha.
Enunciado. Una barra delgada de masa m y longitud L, articulada en un extremo O, se suelta desde la posición horizontal. Encuentra su aceleración angular en ese instante.
Rotación alrededor de un eje fijo: tomamos momentos en O, que elimina la reacción del pasador.
\sum M_O = I_O\,\alpha
La única fuerza que da momento en O es el peso. Actúa en el centro de masa, a L/2 del pasador, y como la barra está horizontal ese es justo su brazo.
mg\,\dfrac{L}{2} = I_O\,\alpha
El momento de inercia respecto al extremo, por ejes paralelos con d = L/2.
\begin{gathered}I_O = I_G + m\,d^2\\[4pt] I_O = \tfrac{1}{12}mL^2 + m\left(\dfrac{L}{2}\right)^2\\[4pt] I_O = \tfrac{1}{12}mL^2 + \tfrac{3}{12}mL^2\\[4pt] I_O = \tfrac{4}{12}mL^2 = \tfrac13 mL^2\end{gathered}
Sustituimos en la ecuación de momentos.
mg\,\dfrac{L}{2} = \tfrac13 mL^2\,\alpha
Dividimos los dos lados entre mL: la masa se cancela y sobra una sola L.
\dfrac{g}{2} = \dfrac{L}{3}\,\alpha
Multiplicamos por 3, dividimos entre L y queda despejada.
\boxed{\ \alpha = \dfrac{3g}{2L}\ }
Para ponerle un número: con una barra de L = 1\ \text{m}.
\alpha = \dfrac{3(9{,}81)}{2(1)} = 14{,}7\ \text{rad/s}^2
Qué significa cada símbolo
- m
- masa de la barra · kg
- L
- longitud de la barra · m
- g
- aceleración de la gravedad, \(9{,}81\) · m/s²
- I_O
- momento de inercia de la barra respecto al pasador · kg·m²
- \alpha
- aceleración angular de la barra en el instante en que se suelta · rad/s²
Un resultado que sorprende y se puede comprobar
El resultado no depende de la masa: una barra de plomo y una de madera caen con la misma aceleración angular. Y el extremo libre acelera \alpha L = \dfrac{3g}{2L}\,L = 1{,}5\,g = 14{,}7\ \text{m/s}^2: más que la gravedad. Eso se puede comprobar en casa: pon una moneda en el extremo de una regla articulada y suéltala; la regla se adelanta y la moneda queda atrás.
Chequeo
El centro de masa baja con a_G = \alpha\,\dfrac{L}{2} = \tfrac34\,g, menos que en caída libre, porque el pasador lo sostiene. Con \sum F_y = m\,a_G la reacción sale R = mg - \tfrac34 mg = \tfrac14 mg, hacia arriba y menor que el peso. Si te diera hacia abajo o mayor que mg, la \alpha está mal.