Taller 1 · Principios de Dinámica

Coordenadas polares, desarmadas

Revisé los seis parciales que hay en la carpeta del curso. En todos, el punto 1 es el mismo problema: un pasador metido en la ranura de un brazo que pivota. Si dominas este molde, tienes el primer punto asegurado — y aquí lo vas a ver deducido desde cero, no memorizado.

De dónde sale esto. Hibbeler, Dinámica 12.ª ed., sección 12.8 (coordenadas cilíndricas); Beer, Johnston & Cornwell 9.ª ed., sección 11.14. Los problemas resueltos son los puntos 1 de los Parciales 1 de 2020-II, 2021-II, 2022-I, 2022-II y 2024-II del curso, con los números de las soluciones del profesor. Todos verificados numéricamente, y por dos caminos independientes cuando fue posible.

1 Cuándo usar polares (y por qué)

Un punto moviéndose en un plano se puede describir de tres maneras. No son tres físicas distintas: es la misma velocidad y la misma aceleración, escritas sobre tres pares de flechas diferentes.

La diferencia que nadie te dice explícito: en x–y los ejes están clavados al piso y no se mueven nunca. En n–t y en r–\theta los ejes van montados en la partícula y giran con ella. De ahí salen todos los términos “raros”.

Sistema	Úsalo cuando…	Velocidad	Aceleración
x — y	El movimiento es recto, o es un proyectil, o te dan x(t) y y(t) directo.	\vec v = \dot x\,\hat\imath + \dot y\,\hat\jmath	\vec a = \ddot x\,\hat\imath + \ddot y\,\hat\jmath
n — t	Va por un camino conocido y curvo y te hablan de rapidez o de radio de curvatura.	\vec v = v\,\hat e_t	\vec a = \dot v\,\hat e_t + \dfrac{v^2}{\rho}\,\hat e_n
r — \theta	Hay un punto pivote y algo que gira alrededor de él mientras se aleja o se acerca: pasadores en ranuras, brazos telescópicos, radares, levas.	\vec v = \dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta	\begin{gathered}\vec a = (\ddot r - r\dot\theta^2)\,\hat e_r \\ {}+ (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat e_\theta\end{gathered}

Qué significa cada símbolo

\dot x,\ \ddot x: el punto encima es «derivada respecto al tiempo»: un punto es la velocidad, dos puntos es la aceleración m/s, m/s²
\hat\imath,\ \hat\jmath: flechas de largo 1 de los ejes x y y; están fijas sin unidad
v: rapidez: el tamaño de la velocidad m/s
\hat e_t,\ \hat e_n: flechas de largo 1 tangente a la trayectoria y normal a ella (hacia el centro de la curva) sin unidad
\rho: radio de curvatura de la trayectoria en ese punto m
r: distancia del pivote O a la partícula m
\theta: ángulo del brazo, medido desde una línea fija rad
\dot\theta,\ \ddot\theta: velocidad angular y aceleración angular del brazo rad/s, rad/s²
\hat e_r,\ \hat e_\theta: flechas de largo 1: una a lo largo del brazo (alejándose de O) y otra perpendicular (hacia donde \theta crece) sin unidad

La señal de alarma de cada uno Si el enunciado dice “\rho” o “radio de curvatura” → es n–t. Si ves un pasador en una ranura, o un brazo que pivota en O, o te dan r(\theta) o r(t) → es r–\theta, sin dudarlo. Si el cuerpo vuela por el aire o va en línea recta → x–y.

Dos confusiones que cuestan el punto

\hat e_\theta no es \hat e_t. Los dos son “tangenciales”, pero \hat e_t es tangente a la trayectoria y \hat e_\theta es perpendicular al radio. Solo coinciden si la trayectoria es un círculo centrado en O. En un pasador dentro de una ranura recta no coinciden.

\rho no es r. r es la distancia al origen que tú escogiste; \rho es el radio del círculo que mejor se acuesta sobre la curva ahí.

2 Por qué polares se siente raro: los ejes giran

Si polares se te hace difícil no es porque seas malo para esto. Es porque nadie te explica de dónde salen los términos y te los hacen memorizar. Aquí los vas a ver aparecer.

Los dos vectores unitarios

Párate en la partícula. \hat e_r apunta desde el origen hacia ti. \hat e_\theta es perpendicular, apuntando hacia donde \theta crece. En componentes —que es como conviene escribirlos siempre:

\begin{gathered} \hat e_r = (\cos\theta,\ \operatorname{sen}\theta) \\[5pt] \hat e_\theta = (-\operatorname{sen}\theta,\ \cos\theta) \end{gathered}

Qué significa cada símbolo

\hat e_r: unitario radial: va del origen O hacia la partícula sin unidad
\hat e_\theta: unitario transversal: perpendicular a \hat e_r, hacia donde \theta crece sin unidad
\theta: ángulo entre el eje x (horizontal) y el radio, positivo en sentido antihorario rad
(\ ,\ ): componentes: la primera sobre x (horizontal) y la segunda sobre y (vertical) sin unidad

Aquí está toda la diferencia con x–y

En x–y, \hat\imath y \hat\jmath son los mismos a toda hora. En polares no: si \theta cambia, tus dos flechas cambian de dirección. Y una flecha que cambia tiene derivada.

Baja el \Delta\theta y mira qué pasa con la flecha amarilla, que es el cambio de \hat e_r:

Lo que mide el dibujo

\Delta\theta (en radianes)—

largo de \Delta\hat e_r—

|\Delta\hat e_r| \div \Delta\theta—

ángulo con \hat e_\theta—

Ángulo \theta

\Delta\theta

Qué significa cada símbolo

\Delta\theta: cuánto giró el radio entre las dos posiciones rad
\Delta\hat e_r: la flecha amarilla: \hat e_r(\theta+\Delta\theta) - \hat e_r(\theta); su largo exacto es 2\operatorname{sen}(\Delta\theta/2) sin unidad
|\Delta\hat e_r| \div \Delta\theta: qué tan parecido es ese largo al ángulo girado; se acerca a 1 cuando \Delta\theta se achica sin unidad
\text{ángulo con } \hat e_\theta: lo que le falta a la flecha amarilla para quedar paralela a \hat e_\theta; vale \Delta\theta/2 grados

Lo que acabas de comprobar

Cuando \Delta\theta se hace diminuto, la flecha amarilla queda paralela a \hat e_\theta y su largo se vuelve igual a \Delta\theta (en radianes). O sea, \Delta\hat e_r \approx \Delta\theta\,\hat e_\theta. Divide por el tiempo \Delta t que tardó ese giro y queda la derivada:

\begin{gathered} \dfrac{d\hat e_r}{dt} = \dot\theta\,\hat e_\theta \\[5pt] \dfrac{d\hat e_\theta}{dt} = -\dot\theta\,\hat e_r \end{gathered}

Qué significa cada símbolo

\dfrac{d\hat e_r}{dt}: qué tan rápido cambia de dirección la flecha radial 1/s
\dot\theta: velocidad angular: qué tan rápido cambia \theta (\dot\theta = d\theta/dt) rad/s
t: tiempo s

El mismo resultado, con cuentas. Deriva las componentes de arriba con la regla de la cadena (\theta depende del tiempo, así que cada derivada lleva un \dot\theta):

\begin{gathered} \dfrac{d\hat e_r}{dt} = (-\operatorname{sen}\theta\,\dot\theta,\ \cos\theta\,\dot\theta) \\[5pt] \dfrac{d\hat e_r}{dt} = \dot\theta\,(-\operatorname{sen}\theta,\ \cos\theta) = \dot\theta\,\hat e_\theta \\[5pt] \dfrac{d\hat e_\theta}{dt} = (-\cos\theta\,\dot\theta,\ -\operatorname{sen}\theta\,\dot\theta) \\[5pt] \dfrac{d\hat e_\theta}{dt} = -\dot\theta\,(\cos\theta,\ \operatorname{sen}\theta) = -\dot\theta\,\hat e_r \end{gathered}

Las dos fórmulas de polares salen solo de aquí. No hay nada más que memorizar.

De ahí sale la velocidad, en dos renglones

La posición es facilísima: estás a una distancia r en la dirección \hat e_r. Derivas, pero son dos cosas las que cambian — el número r y la flecha \hat e_r. Regla del producto:

\begin{gathered} \vec r = r\,\hat e_r \\[5pt] \vec v = \dfrac{d(r\,\hat e_r)}{dt} \\[5pt] \qquad{}= \underbrace{\dot r\,\hat e_r}_{\text{cambia el número}} + \underbrace{r\,\dfrac{d\hat e_r}{dt}}_{\text{cambia la flecha}} \\[5pt] \text{y como } \dfrac{d\hat e_r}{dt} = \dot\theta\,\hat e_\theta: \\[5pt] \vec v = \dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta \end{gathered}

Qué significa cada símbolo

\vec r: vector posición: del pivote O a la partícula m
r: distancia del pivote a la partícula (el tamaño de \vec r) m
\vec v: velocidad de la partícula m/s
\dot r: componente radial v_r: qué tan rápido cambia la distancia al pivote m/s
r\dot\theta: componente transversal v_\theta: velocidad «de lado» por el giro m/s
\dot\theta: velocidad angular del radio (del brazo) rad/s

Léelo en español \dot r es qué tan rápido te alejas del pivote. r\dot\theta es qué tan rápido giras alrededor de él — y es mayor cuanto más lejos estés, igual que en un carrusel: en el borde vas más rápido que en el centro con la misma \dot\theta.

3 La aceleración: de dónde sale cada término

Volvemos a derivar, ahora la velocidad. Hazlo conmigo despacio, porque aquí está el famoso 2 que nadie sabe de dónde sale.

\vec v = \dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta

Derivas cada sumando con la regla del producto. El primer sumando es un producto de dos cosas (\dot r y \hat e_r), así que da dos pedazos:

\begin{gathered} \dfrac{d(\dot r\,\hat e_r)}{dt} = \ddot r\,\hat e_r + \dot r\,\dfrac{d\hat e_r}{dt} \\[5pt] \dfrac{d(\dot r\,\hat e_r)}{dt} = \ddot r\,\hat e_r + \dot r\dot\theta\,\hat e_\theta \end{gathered}

El segundo sumando es un producto de tres cosas (r, \dot\theta y \hat e_\theta), así que da tres pedazos; en el último usas d\hat e_\theta/dt = -\dot\theta\,\hat e_r:

\begin{gathered} \dfrac{d(r\dot\theta\,\hat e_\theta)}{dt} = \dot r\dot\theta\,\hat e_\theta + r\ddot\theta\,\hat e_\theta + r\dot\theta\,\dfrac{d\hat e_\theta}{dt} \\[5pt] \dfrac{d(r\dot\theta\,\hat e_\theta)}{dt} = (\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\,\hat e_\theta - r\dot\theta^2\,\hat e_r \end{gathered}

Ahora juntas por dirección todo lo que quedó:

\begin{gathered} \text{sobre } \hat e_r:\quad \ddot r - r\dot\theta^2 \\[5pt] \text{sobre } \hat e_\theta:\quad \dot r\dot\theta + \dot r\dot\theta + r\ddot\theta \\[5pt] \dot r\dot\theta + \dot r\dot\theta + r\ddot\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta \end{gathered}

Ahí está el 2

El término \dot r\dot\theta aparece dos veces, y cada vez por un motivo distinto:

La primera viene de que la flecha \hat e_r gira mientras tú te alejas por ella. La segunda viene de que r crece, y como la velocidad transversal es r\dot\theta, al crecer r esa velocidad tiene que crecer también.

Dos efectos distintos, del mismo tamaño, apuntando para el mismo lado. Por eso 2\dot r\dot\theta. No es un 2 arbitrario.

\begin{gathered}\vec a = (\ddot r - r\dot\theta^2)\,\hat e_r \\[4pt] {}+ (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat e_\theta\end{gathered}

Qué significa cada símbolo

\vec a: aceleración de la partícula m/s²
a_r = \ddot r - r\dot\theta^2: componente radial de la aceleración (lo que acompaña a \hat e_r) m/s²
a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta: componente transversal de la aceleración (lo que acompaña a \hat e_\theta) m/s²
r: distancia del pivote a la partícula m
\dot r: qué tan rápido cambia esa distancia m/s
\ddot r: qué tan rápido cambia \dot r m/s²
\dot\theta: velocidad angular del brazo rad/s
\ddot\theta: aceleración angular del brazo rad/s²

Los cuatro términos, uno por uno

\ddot r El obvio Estás cambiando qué tan rápido te alejas o te acercas al pivote. Si el brazo telescópico se estira cada vez más rápido, esto es positivo.

-\,r\dot\theta^2 Centrípeto Es el mismo v^2/\rho de siempre, disfrazado: si vas girando, algo tiene que jalarte hacia el centro. Por eso el signo menos — apunta hacia adentro. Existe aunque r no cambie nada.

r\ddot\theta Angular El brazo gira cada vez más rápido (o frena su giro). Cuanto más lejos estés del pivote, más te tira — igual que el extremo de una puerta que se abre de golpe.

2\dot r\dot\theta Coriolis · el que todos olvidan Aparece solo cuando te mueves radialmente MIENTRAS el brazo gira. Al alejarte, tu velocidad transversal r\dot\theta tiene que crecer (porque r creció) aunque \dot\theta no cambie. Ese “tiene que crecer” es una aceleración. Si \dot r = 0 o \dot\theta = 0, este término desaparece.

Cómo sentir Coriolis Imagínate caminando en línea recta desde el centro de un carrusel hacia el borde, mientras el carrusel gira. Aunque tú creas que vas derecho, cada paso hacia afuera te exige ir más rápido de lado para seguirle el paso al carrusel. Esa exigencia creciente es 2\dot r\dot\theta, y necesita las dos cosas pasando a la vez.

Cuánto cuesta olvidarlo

En el Parcial de 2024-II, el Coriolis vale 2\dot r\dot\theta = 33{,}33\ \text{in/s}^2 y la a_\theta completa vale apenas -3{,}46\ \text{in/s}^2. Si lo olvidas escribes \ddot\theta = a_\theta/r = -3{,}464/10{,}392 = -0{,}333\ \text{rad/s}^2 en vez de -3{,}541\ \text{rad/s}^2.

En el de 2022-II es peor: a_\theta es puro Coriolis. La respuesta correcta es \ddot\theta = 0 y si lo olvidas te da -64{,}95\ \text{rad/s}^2. De cero a sesenta y cinco.

4 La geometría: cómo sacar r

Esta es la parte que hace sentir el parcial “imposible”. No lo es: hay cuatro montajes y siempre es uno de ellos. Lo que cambia de un parcial a otro no son las fórmulas —esas son las mismas siempre—, sino por dónde está obligado a moverse el pasador.

Guía vertical a distancia d

r = \dfrac{d}{\cos\theta}

Parcial 2024-II · d = 9 in

Guía horizontal a altura h

r = \dfrac{h}{\operatorname{sen}\theta}

Parcial 2020-II (variante)

Manivela OA y eslabón ranurado en C

r = 2L\cos\theta

Parcial 2022-II · L = 200 mm

r te lo dan (o te dan r(t))

r = 0{,}650\ \text{m} o r = 2t^2

Parciales 2020-II y 2021-II

Qué significa cada símbolo

r: distancia del pivote al pasador, medida a lo largo de la ranura m
\theta: ángulo del brazo ranurado con la horizontal rad
d: distancia horizontal del pivote O a la guía vertical m
h: altura de la guía horizontal sobre el pivote O m
L: largo de la manivela OA, igual a la distancia OC entre los dos pivotes m
\varphi: ángulo de la manivela: el que forman OA y OC en el pivote O rad

Cómo se saca cada una, sin memorizar

Las tres primeras salen de un triángulo rectángulo o de uno isósceles. Nada más.

Guía vertical · r = d/\cos\theta El pasador está sobre una línea vertical a distancia d del pivote. Ese d es el cateto adyacente a \theta, y r es la hipotenusa: \cos\theta = d/r, y despejando, r = d/\cos\theta.

Guía horizontal · r = h/\operatorname{sen}\theta Lo mismo, volteado: h es el cateto opuesto, así que \operatorname{sen}\theta = h/r, y despejando, r = h/\operatorname{sen}\theta.

Manivela y eslabón ranurado · r = 2L\cos\theta

Aquí OA = OC = L, o sea que el triángulo OAC es isósceles. Baja la altura desde O al punto medio de AC: te queda un triángulo rectángulo de hipotenusa L y ángulo \theta, cuyo cateto adyacente es media base, L\cos\theta. La base completa es el doble: r = AC = 2L\cos\theta.

Y hay un regalo escondido. En un triángulo isósceles los dos ángulos de la base son iguales (los dos valen \theta), y los tres ángulos suman 180°: \theta + \theta + \varphi = 180^\circ. Entonces \varphi = 180^\circ - 2\theta, donde \varphi es el ángulo de la manivela. Derivando, \dot\varphi = -2\dot\theta: el eslabón gira exactamente a la mitad de la velocidad angular de la manivela. Y si la manivela gira a velocidad constante (\ddot\varphi = 0), \ddot\theta = 0 obligatoriamente.

El chequeo que vale oro

Una vez tengas r(\theta), puedes sacar \dot r por otro camino (la regla de la cadena) y confirmar que no te equivocaste:

\dot r = \dfrac{dr}{d\theta}\,\dot\theta

Qué significa cada símbolo

\dfrac{dr}{d\theta}: cuánto cambia r por cada radián que gira el brazo; sale de derivar la fórmula de la geometría m/rad
\dot\theta: velocidad angular del brazo rad/s
\dot r: qué tan rápido cambia r m/s

Con la guía vertical, r = d\,(\cos\theta)^{-1}. Se deriva con la regla de la cadena: baja el exponente, y se multiplica por la derivada de \cos\theta, que es -\operatorname{sen}\theta:

\begin{gathered} \dfrac{dr}{d\theta} = d\,(-1)(\cos\theta)^{-2}(-\operatorname{sen}\theta) \\[5pt] \qquad{}= \dfrac{d\,\operatorname{sen}\theta}{\cos^2\theta} \\[5pt] \dfrac{dr}{d\theta} = \dfrac{9\,(0{,}5)}{(0{,}8660)^2} = \dfrac{4{,}5}{0{,}75} = 6{,}00\ \text{in/rad} \\[5pt] \dot r = (6{,}00)(1{,}667) = 10{,}00\ \text{in/s} \end{gathered}

Esos son los números de 2024-II (d = 9\ \text{in}, \theta = 30^\circ, \dot\theta = 1{,}667\ \text{rad/s}), y da el mismo \dot r = 10{,}00\ \text{in/s} que sale proyectando en la sección 7. Si los dos caminos coinciden, tu geometría está bien.

5 El simulador del pasador

Un pasador metido en la ranura de un brazo que pivota en O, empujado por un actuador que solo se mueve verticalmente. Es exactamente la figura del Parcial de 2024-II. Mueve el ángulo y observa cómo esa velocidad vertical se reparte entre \hat e_r y \hat e_\theta:

Datos y resultados

\theta—

r = 9/\cos\theta—

v_C (dato)20,00 in/s ↑

\dot r = v_C\,\operatorname{sen}\theta—

r\dot\theta = v_C\cos\theta—

\dot\theta = (r\dot\theta)/r—

Ángulo del brazo

Qué significa cada símbolo

\theta: ángulo del brazo con la horizontal (el tablero lo muestra en grados) rad
r: distancia de O al pasador C, en pulgadas como en el parcial (1 in = 0,0254 m) in
v_C: velocidad del actuador y del pasador: vertical, hacia arriba (flecha verde) in/s
\dot r: la parte de v_C que cae sobre \hat e_r: aleja el pasador de O (flecha amarilla) in/s
r\dot\theta: la parte de v_C que cae sobre \hat e_\theta: hace girar el brazo (flecha morada) in/s
\dot\theta: velocidad angular del brazo rad/s

El paso donde se cae el 70 % del curso

Proyectar mal. Fíjate: \vec v_C es vertical, y \hat e_\theta forma con la vertical un ángulo de \theta (no de 90^\circ - \theta). Por eso v_\theta = v_C\cos\theta y v_r = v_C\,\operatorname{sen}\theta.

La forma infalible de no equivocarte: no memorices seno ni coseno. Escribe los vectores en componentes y haz el producto punto (primera por primera, más segunda por segunda):

\begin{gathered} \hat e_r = (\cos\theta,\ \operatorname{sen}\theta) \\[5pt] \hat e_\theta = (-\operatorname{sen}\theta,\ \cos\theta) \\[5pt] \vec v_C = (0,\ 20)\ \text{in/s} \\[5pt] v_r = \vec v_C\cdot\hat e_r \\[5pt] \qquad{}= 0\cdot\cos\theta + 20\,\operatorname{sen}\theta \\[5pt] \qquad{}= 20\,\operatorname{sen}\theta \\[5pt] v_\theta = \vec v_C\cdot\hat e_\theta \\[5pt] \qquad{}= 0\cdot(-\operatorname{sen}\theta) + 20\cos\theta \\[5pt] \qquad{}= 20\cos\theta \end{gathered}

Treinta segundos más, cero riesgo. Yo lo haría así en el parcial.

6 Traductor de enunciados

Media batalla del parcial es entender qué símbolo vale cero. Los enunciados usan siempre las mismas frases; aquí están traducidas.

Si el enunciado dice…	Significa	Y entonces…
“a velocidad constante” (el actuador o el bloque)	\vec a = \vec 0	a_r = 0 y a_\theta = 0. Ojo: eso no significa \ddot\theta = 0.
“gira a velocidad angular constante”	\ddot\theta = 0	El término r\ddot\theta desaparece, pero 2\dot r\dot\theta sigue vivo.
“desacelera a razón de 4 in/s²” (yendo hacia arriba)	a = -4\ \text{in/s}^2	El signo menos es contra el movimiento, no contra tu eje.
“el collarín se desliza por el brazo con rapidez constante”	\ddot r = 0	Distinto de a_r = 0, porque a_r = \ddot r - r\dot\theta^2.
“parte del reposo en el centro”	r(0) = 0,\ \ \dot r(0) = 0	Son las constantes de integración de r, no las de \theta.
“determine la velocidad y aceleración absolutas”	\|\vec v\| y \|\vec a\| totales	\|\vec v\| = \sqrt{\dot r^2 + (r\dot\theta)^2} \|\vec a\| = \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2}
“halle \dot\theta y \ddot\theta del brazo”	\omega y \alpha del eslabón	Son lo mismo: velocidad y aceleración angular del brazo ranurado.

Qué significa cada símbolo

|\vec v|: rapidez total: Pitágoras con las dos componentes, que son perpendiculares m/s
|\vec a|: tamaño de la aceleración total m/s²
\omega: otra letra para la velocidad angular \dot\theta rad/s
\alpha: otra letra para la aceleración angular \ddot\theta rad/s²

¿Y el sentido de \hat e_\theta? ¿Y si \dot\theta me da negativo?

\hat e_\theta apunta hacia donde \theta crece. Si mides \theta desde la horizontal hacia arriba, \hat e_\theta apunta en sentido antihorario — es \hat e_r rotado 90°. Por eso \hat e_\theta = (-\operatorname{sen}\theta,\ \cos\theta).

Un \dot\theta negativo significa que el brazo gira en sentido horario — \theta está disminuyendo. No es un error. Y un \ddot\theta negativo con \dot\theta positivo significa que gira antihorario pero frenando.

7 Parcial 2024-II, resuelto

Enunciado El actuador lineal CE se mueve verticalmente hacia arriba con velocidad v_C = 20\ \text{in/s} y desaceleración a_C = -4\ \text{in/s}^2 en el instante en que \theta = 30^\circ. El pasador C se conecta a la ranura del brazo AOD. La distancia horizontal de O a la línea del actuador es 9 in. Determine \dot\theta y \ddot\theta del brazo.

Sube al simulador de arriba y ponlo en \theta = 30^\circ: es exactamente esta figura.

Respuestas

\dot\theta = 1{,}667\ \text{rad/s} \ddot\theta = -3{,}541\ \text{rad/s}^2 \ddot r = 26{,}868\ \text{in/s}^2

El brazo gira antihorario a 1,667 rad/s, pero ese giro se está frenando a 3,541 rad/s² — eso significa el signo menos.

Los cuatro pasos, para memorizar

Geometría. Saca r en ese instante, y escribe \hat e_r y \hat e_\theta en componentes.
Proyecta la velocidad dada sobre \hat e_r y \hat e_\theta. Iguala: v_r = \dot r y v_\theta = r\dot\theta. De ahí sale \dot\theta (y te quedas con \dot r).
Proyecta la aceleración dada sobre \hat e_r y \hat e_\theta.
Iguala a las fórmulas y despeja \ddot\theta. El término 2\dot r\dot\theta ya lo tienes del paso 2 — no lo olvides.

8 Parcial 2022-II: cuando la respuesta es cero

Lo pongo porque es el que más enseña: la respuesta de \ddot\theta es cero, y si olvidas Coriolis te da -64{,}95\ \text{rad/s}^2.

Enunciado La manivela OA gira en sentido horario a velocidad angular constante de 15\ \text{rad/s}. El pasador A se desliza dentro de la ranura del eslabón CB, que pivota en C. Se tiene OA = OC = 200\ \text{mm}. Para \theta = 30^\circ, determine la velocidad y la aceleración angular del eslabón ranurado CB.

La manivela (naranja) lleva al pasador A por un círculo de radio L alrededor de O. El eslabón ranurado pivota en C, y ahí se miden r = CA y \theta. En verde, la velocidad de A (perpendicular a la manivela, en sentido horario); en rojo, su aceleración (apunta hacia O). \hat e_r va de C hacia A y \hat e_\theta apunta hacia donde \theta crece.

Respuestas

\dot\theta = 7{,}50\ \text{rad/s} \ddot\theta = 0\ \text{rad/s}^2 \ddot r = -19{,}486\ \text{m/s}^2

Por qué este problema es una joya

Fíjate: a_\theta = -22{,}50\ \text{m/s}^2 y el término de Coriolis 2\dot r\dot\theta vale exactamente -22{,}50\ \text{m/s}^2. Se cancelan, y queda r\ddot\theta = 0.

Si lo omites, le echas los -22{,}50 al término r\ddot\theta y concluyes \ddot\theta = -64{,}95\ \text{rad/s}^2. Estarías reportando una aceleración angular enorme donde no hay ninguna.

Y lo bonito: la geometría te lo confirma sin cuentas. Como \varphi = 180^\circ - 2\theta, derivando dos veces queda \ddot\theta = -\ddot\varphi/2, y la manivela gira a velocidad constante (\ddot\varphi = 0). Tenía que dar cero.

9 Parcial 2021-II: te dan r(t) y θ(t)

Es la versión fácil del tema, y aparece con la misma frecuencia. Aquí no hay que proyectar nada: solo integrar bien y meter en la fórmula.

Enunciado Un bloque se mueve por la ranura de una plataforma con \dot r = 4t (en m/s, con t en segundos). La plataforma gira con aceleración angular constante \ddot\theta = 1\ \text{rad/s}^2. El bloque arranca desde el reposo en el centro. Halle la velocidad y la aceleración absolutas en t = 1\ \text{s}, sabiendo que en ese instante \dot\theta = 5\ \text{rad/s}.

Respuestas

|\vec v| = 10{,}77\ \text{m/s} |\vec a| = 62{,}29\ \text{m/s}^2

La trampa de este tipo de problema Las constantes de integración. Te dan \ddot\theta y un valor de \dot\theta en t = 1\ \text{s}, no en t = 0. Si integras y pones la constante en cero, te da \dot\theta(1) = 1\ \text{rad/s} en vez de 5 rad/s y todo lo demás sale mal. Regla: cada vez que integres, escribe la constante con nombre y después úsala con el dato que te dieron.

10 Los cinco parciales, de un vistazo

Míralos juntos y vas a ver lo que yo vi: es el mismo problema cinco veces, con otra geometría cada año.

Parcial	Montaje	r en ese instante	Te dan	Respuesta
2020-II	Actuador hidráulico + poleas; A sobre guía horizontal	0{,}650\ \text{m} (dato)	v_A = 8\ \text{m/s} a_A = 4\ \text{m/s}^2	\dot\theta = 5{,}20\ \text{rad/s} \ddot\theta = 118{,}6\ \text{rad/s}^2
2021-II	Plataforma giratoria; te dan \dot r(t) y \ddot\theta	r = 2t^2 \to 2\ \text{m}	\dot r = 4t,\ \ \ddot\theta = 1\ \text{rad/s}^2 \dot\theta(1) = 5\ \text{rad/s}	\|\vec v\| = 10{,}77\ \text{m/s} \|\vec a\| = 62{,}29\ \text{m/s}^2
2022-I	Cilindro neumático empuja pasador en barra ranurada	0{,}300\ \text{m}	v_A = 2\ \text{m/s} constante	\dot\theta = 3{,}333\ \text{rad/s} \ddot\theta = -38{,}49\ \text{rad/s}^2
2022-II	Manivela OA + eslabón ranurado CB	2L\cos\theta = 0{,}3464\ \text{m}	\omega_{OA} = 15\ \text{rad/s} constante	\dot\theta = 7{,}50\ \text{rad/s} \ddot\theta = 0\ \text{rad/s}^2
2024-II	Actuador vertical; pasador en ranura del brazo AOD	9/\cos\theta = 10{,}392\ \text{in}	v_C = 20\ \text{in/s} a_C = -4\ \text{in/s}^2	\dot\theta = 1{,}667\ \text{rad/s} \ddot\theta = -3{,}541\ \text{rad/s}^2

Así de difícil es de verdad — ni un pelo más

Mira lo que nunca te piden: no te piden deducir las fórmulas, no te dan trayectorias raras, no mezclan polares con energía, no te hacen resolver ecuaciones diferenciales. Y la geometría siempre se resuelve con un triángulo.

Si un taller te está costando el triple que esto, el taller está mal calibrado — no tú.

Dónde SÍ se pierde el punto

1. Sacar mal r de la figura. 2. Proyectar con seno donde va coseno. 3. Olvidar 2\dot r\dot\theta.

Eso es todo. Tres cosas. Y las tres se blindan escribiendo \hat e_r y \hat e_\theta en componentes y usando producto punto, en vez de mirar el dibujo y adivinar.

11 Ahora tú: práctica con pistas

Un problema nuevo, del mismo nivel exacto del parcial. Resuélvelo tú. Las pistas se abren de una en una: ábrelas solo cuando te trabes.

El problema

Un pasador P se desliza dentro de la ranura recta de un brazo que pivota en O. Al mismo tiempo, P está obligado a moverse sobre una guía horizontal que pasa 0{,}40\ \text{m} por encima de O.

En el instante en que \theta = 55^\circ, el pasador se mueve hacia la derecha con rapidez constante de 1{,}20\ \text{m/s}. Determine \dot\theta y \ddot\theta del brazo.

Tu hoja de respuesta

\dot r?

\dot\theta?

\ddot\theta?

Inténtalo primero en papel. Cuando tengas un número, ábrelo aquí para comparar.

Solución completa

1 · Geometría. La guía está a h = 0{,}40\ \text{m} sobre O, y h es el cateto opuesto a \theta:

\begin{gathered} \operatorname{sen}\theta = \dfrac{h}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \dfrac{h}{\operatorname{sen}\theta} \\[5pt] r = \dfrac{0{,}40}{\operatorname{sen} 55^\circ} = \dfrac{0{,}40}{0{,}8192} = 0{,}4883\ \text{m} \\[5pt] \hat e_r = (\cos 55^\circ,\ \operatorname{sen} 55^\circ) \\[5pt] \qquad{}= (0{,}5736,\ 0{,}8192) \\[5pt] \hat e_\theta = (-\operatorname{sen} 55^\circ,\ \cos 55^\circ) \\[5pt] \qquad{}= (-0{,}8192,\ 0{,}5736) \end{gathered}

2 · Velocidades. El pasador va horizontal, hacia la derecha: \vec v_P = (1{,}20,\ 0)\ \text{m/s}. Producto punto con cada unitario:

\begin{gathered} \dot r = \vec v_P\cdot\hat e_r \\[5pt] \qquad{}= 1{,}20\,(0{,}5736) + 0\,(0{,}8192) \\[5pt] \qquad{}= 0{,}6883\ \text{m/s} \\[5pt] r\dot\theta = \vec v_P\cdot\hat e_\theta \\[5pt] \qquad{}= 1{,}20\,(-0{,}8192) + 0\,(0{,}5736) \\[5pt] \qquad{}= -0{,}9830\ \text{m/s} \\[5pt] \dot\theta = \dfrac{r\dot\theta}{r} = \dfrac{-0{,}9830}{0{,}4883} = -2{,}013\ \text{rad/s} \end{gathered}

3 · Aceleraciones. Rapidez constante y línea recta: la aceleración del pasador es cero.

\vec a_P = (0,\ 0) \quad\Rightarrow\quad a_r = 0, \quad a_\theta = 0

4 · Despejar \ddot\theta. De la componente transversal:

\begin{gathered} a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta \\[5pt] 0 = (0{,}4883)\,\ddot\theta + 2\,(0{,}6883)(-2{,}013) \\[5pt] 0 = (0{,}4883)\,\ddot\theta - 2{,}7711 \\[5pt] \ddot\theta = \dfrac{2{,}7711}{0{,}4883} = +5{,}675\ \text{rad/s}^2 \end{gathered}

\dot\theta = -2{,}013\ \text{rad/s} \ddot\theta = +5{,}675\ \text{rad/s}^2

En palabras: el brazo gira en sentido horario a 2,013 rad/s, y como \ddot\theta tiene el signo contrario al de \dot\theta, ese giro se está frenando.

Las dos trampas de este problema

El signo de \dot\theta. Te dio negativo, y está bien: el pasador va hacia la derecha por una línea que está encima de O, así que el brazo se va acostando — \theta disminuye. Gira en sentido horario.

\ddot\theta es puro Coriolis. El pasador no tiene aceleración, así que a_\theta = 0. Si olvidas el 2\dot r\dot\theta concluyes \ddot\theta = 0… y la respuesta real es 5,675 rad/s². Aceleración cero del pasador no significa aceleración angular cero del brazo.

El chequeo por el otro camino

Con r = h\,(\operatorname{sen}\theta)^{-1}, la regla de la cadena da dr/d\theta = h\,(-1)(\operatorname{sen}\theta)^{-2}\cos\theta. Entonces:

\begin{gathered} \dot r = \dfrac{dr}{d\theta}\,\dot\theta = -\dfrac{h\cos\theta}{\operatorname{sen}^2\theta}\,\dot\theta \\[5pt] \dfrac{dr}{d\theta} = -\dfrac{0{,}40\,(0{,}5736)}{(0{,}8192)^2} \\[5pt] \qquad{}= -\dfrac{0{,}2294}{0{,}6710} = -0{,}3419\ \text{m/rad} \\[5pt] \dot r = (-0{,}3419)(-2{,}013) = 0{,}6883\ \text{m/s} \end{gathered}

Coincide con lo que sacaste proyectando. Geometría confirmada.

12 Ponte a prueba

13 La receta para el día del parcial

Dibuja \hat e_r y \hat e_\theta en el pasador, no en el origen.
Saca r con trigonometría simple de la figura, en ese instante.
Escribe \hat e_r = (\cos\theta,\ \operatorname{sen}\theta), \hat e_\theta = (-\operatorname{sen}\theta,\ \cos\theta) y el vector dado en componentes. Proyecta con producto punto.
v_r = \dot r, v_\theta = r\dot\theta → despeja \dot\theta. Guarda \dot r.
a_r = \ddot r - r\dot\theta^2, a_\theta = r\ddot\theta + \underline{2\dot r\dot\theta} → despeja \ddot\theta. Subraya el Coriolis.
Si te sobra tiempo, comprueba \dot r por la regla de la cadena.

Si solo te llevas tres frases

1. Los ejes giran, y de eso salen todos los términos raros.

2. El 2 del Coriolis no es arbitrario: son dos efectos distintos del mismo tamaño.

3. El término que se te va a olvidar es 2\dot r\dot\theta.

Responde las ocho preguntas para cerrar el taller.

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