Movimiento rectilíneo
La base de absolutamente todo lo demás. Tres cantidades, una sola idea, y un árbol de decisión que te dice qué integral hacer cuando la aceleración no es constante — que es donde se pierde el punto.
1 Tres cantidades y una sola idea
Todo el movimiento rectilíneo se reduce a tres números que cambian con el tiempo, y a una relación entre ellos: cada uno es la rapidez con que cambia el anterior.
- \(x\)
- posición de la partícula sobre la recta, con signo m
- \(t\)
- tiempo s
- \(v\)
- velocidad: derivada de la posición respecto al tiempo m/s
- \(a\)
- aceleración: derivada de la velocidad respecto al tiempo m/s²
- \(dx,\ dv,\ dt\)
- cambios muy pequeños de posición, de velocidad y de tiempo m, m/s, s
Aceleración negativa NO significa “va frenando”. Significa que la aceleración apunta hacia el lado negativo de tu eje. Nada más.
Lo que decide si acelera o frena es si \(v\) y \(a\) tienen el mismo signo o no:
| Signos de \(v\) y \(a\) | Qué le pasa a la rapidez \(|v|\) |
|---|---|
| El mismo signo (\(v\,a \gt 0\)) | Aumenta: acelera. |
| Signos contrarios (\(v\,a \lt 0\)) | Disminuye: frena. |
Una pelota que sube tiene \(v \gt 0\) y \(a \lt 0\): frena. La misma pelota bajando tiene \(v \lt 0\) y \(a \lt 0\): acelera. Y \(a\) nunca cambió.
Velocidad es \(v\), con signo. Rapidez es \(|v|\), siempre positiva — es lo que marca el velocímetro. Cuando un enunciado dice “rapidez de 12 m/s” te está dando la magnitud, y tú le pones el signo según hacia dónde va.
2 El simulador de las tres gráficas
Este es el Problema Resuelto 11.1 del Beer, el más clásico de todos. Una partícula se mueve en línea recta con
- \(x\)
- posición de la partícula; el libro la da en pies ft (1 ft = 0,3048 m)
- \(t\)
- tiempo desde que arranca s
- \(40\)
- posición inicial, la que queda al poner \(t = 0\) ft
Mueve el tiempo y mira las tres gráficas a la vez. Fíjate en dos cosas que son toda la teoría: la pendiente de \(x\) es \(v\), y la pendiente de \(v\) es \(a\).
| valor | significa | |
|---|---|---|
| \(x\) | — | — |
| \(v\) | — | — |
| \(a\) | — | — |
Lo que te pregunta el Beer, y cómo sale
El enunciado pide: a) el instante en que la velocidad es cero; b) la posición y la distancia recorrida hasta ese instante; c) la aceleración en ese instante; d) la distancia recorrida entre \(t = 4\ \text{s}\) y \(t = 6\ \text{s}\).
\(t = 5\ \text{s}\) \(x = -60\ \text{ft}\) distancia \(= 100\ \text{ft}\) \(a = 18\ \text{ft/s}^2\) de \(t=4\) a \(t=6\ \text{s}\): \(18\ \text{ft}\)
3 Desplazamiento no es distancia recorrida
Si la partícula se devuelve en algún momento, estos dos números son distintos, y el parcial pregunta el que tú no calculaste.
- \(\Delta x\)
- desplazamiento: posición final menos posición inicial, con signo m
- \(s\)
- distancia recorrida: suma de los tramos en valor absoluto, nunca negativa m
- \(\Delta t\)
- tiempo que dura el intervalo s
- \(v_{\text{prom}}\)
- velocidad promedio, con signo m/s
- \(\text{rapidez}_{\text{prom}}\)
- rapidez promedio, siempre positiva m/s
- Busca los instantes donde \(v = 0\) dentro del intervalo. Ahí es donde la partícula se devuelve.
- Parte el intervalo en esos instantes.
- Calcula \(x\) en cada frontera.
- Suma los valores absolutos de cada tramo.
Ejemplo 12.5 del Hibbeler. Una partícula se mueve con \(v = (3t^2 - 6t)\ \text{m/s}\) y arranca en el origen. Halle la distancia recorrida en 3,5 s, la velocidad promedio y la rapidez promedio.
\(s = 14{,}1\ \text{m}\) \(v_{\text{prom}} = 1{,}75\ \text{m/s}\) \(\text{rapidez}_{\text{prom}} = 4{,}04\ \text{m/s}\)
4 El caso fácil: aceleración constante
Cuando \(a\) no cambia — caída libre, frenado uniforme, arranque parejo — valen las tres fórmulas que ya conoces. Lo único nuevo es saber cuál escoger.
| Fórmula | No aparece | Úsala cuando… |
|---|---|---|
| \(v = v_0 + a\,t\) | \(x\) | Te preguntan por el tiempo, o te dan el tiempo. |
| \(x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2\) | \(v\) | Quieres la posición en un instante dado. |
| \(v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0)\) | \(t\) | No te dan ni te piden el tiempo. Esta es la que más se olvida y la que más ahorra trabajo. |
- \(x_0\)
- posición en \(t = 0\) m
- \(v_0\)
- velocidad en \(t = 0\) m/s
- \(x,\ v\)
- posición y velocidad en el instante \(t\) m, m/s
- \(a\)
- aceleración, un número fijo en todo el intervalo m/s²
- \(t\)
- tiempo transcurrido desde el instante inicial s
Mira qué variable NO aparece en el problema — ni te la dan ni te la piden — y usa la fórmula donde esa variable no está. Si el problema no menciona el tiempo por ningún lado, es la tercera. Punto.
Usar estas fórmulas cuando \(a\) NO es constante. Si el enunciado dice \(a = 4s\) o \(a = -kv\), estas tres fórmulas no sirven y el punto se pierde entero. Antes de escribirlas, pregúntate siempre: ¿\(a\) es un número fijo?
Dos ejemplos del libro
5 El árbol de decisión
Esta sección es el corazón de todo el tema. Cuando \(a\) no es constante, hay que integrar — y qué integral hagas depende de qué depende la aceleración.
Las dos definiciones, y la tercera que las une
Las dos primeras las conoces. La tercera es la que casi nadie usa y la que más falta hace. Sale de la regla de la cadena. Primero multiplicas y divides por \(dx\):
Y como \(\dfrac{dx}{dt}\) es justamente la velocidad \(v\), la cambias:
Pasas el \(dx\) a multiplicar al otro lado y queda la forma que vas a usar todo el tiempo:
Sirve para relacionar velocidad con posición sin pasar por el tiempo. Es la versión general de \(v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x\). De hecho, si integras \(v\,dv = a\,dx\) con \(a\) constante, te sale exactamente esa fórmula:
- \(v\,dv\)
- la velocidad por su cambio pequeñito; al integrarlo da \(v^2/2\) m²/s²
- \(a\,dx\)
- la aceleración por el cambio pequeñito de posición m²/s²
- \(v_0,\ x_0\)
- velocidad y posición iniciales: son los límites de abajo de las integrales m/s, m
- \(\Delta x\)
- desplazamiento, \(x - x_0\) m
El árbol, para que lo uses en el parcial
Lee el enunciado, mira de qué depende \(a\), y haz clic:
Cada botón te muestra qué integral montar y por qué.
Si quieres relacionar \(v\) con \(x\), usa \(v\,dv = a\,dx\). Si quieres meter el tiempo, usa \(a = \dfrac{dv}{dt}\).
Y si \(a\) depende de \(v\), puedes ir por los dos caminos: escoge el que te pida el enunciado.
6 Caso \(a = f(t)\)
El más directo: separas e integras dos veces. Siempre con límites, nunca con “\(+C\)”, porque los límites te meten las condiciones iniciales solas.
Primera integral: de \(a = \dfrac{dv}{dt}\) despejas \(dv = a\,dt\) e integras. Te da \(v(t)\):
Segunda integral: de \(v = \dfrac{dx}{dt}\) despejas \(dx = v\,dt\) e integras. Te da \(x(t)\):
- \(f(t)\)
- la aceleración escrita como función del tiempo m/s²
- \(v_0,\ x_0\)
- velocidad y posición en \(t = 0\); son los límites de abajo m/s, m
- \(v,\ x\)
- velocidad y posición en el instante \(t\); son los límites de arriba m/s, m
Una partícula parte del reposo en \(x = 0\) con \(a = (6t - 4)\ \text{m/s}^2\). Halle \(x\) y \(v\) cuando \(t = 4\ \text{s}\).
Parte del reposo, así que \(v_0 = 0\); y arranca en \(x_0 = 0\). Primera integral, para la velocidad:
Segunda integral, para la posición:
Ahora reemplazas \(t = 4\ \text{s}\):
\(x = 32\ \text{m}\) \(v = 32\ \text{m/s}\)
Integrar y poner la constante en cero “porque parte del reposo”. Eso solo aplica a \(v\). Si además te dicen que arranca en \(x_0 = 5\ \text{m}\), la constante de la segunda integral es 5 m, no 0. Escribe los límites y no tienes que pensarlo.
7 Caso \(a = f(x)\) · la ecuación estrella
Aquí \(a = \dfrac{dv}{dt}\) no te sirve, porque en el lado derecho hay una \(x\) y en el izquierdo un \(t\): no puedes separar. Por eso existe \(v\,dv = a\,dx\). Integras y te da \(v(x)\):
Y si además te piden el tiempo, ese va después: de \(v = \dfrac{dx}{dt}\) despejas \(dt\) e integras con el \(v(x)\) que ya hallaste:
- \(f(x)\)
- la aceleración escrita como función de la posición m/s²
- \(v(x)\)
- la velocidad escrita como función de la posición m/s
- \(v_0,\ x_0\)
- velocidad y posición de partida (límites de abajo) m/s, m
- \(t\)
- tiempo que tarda en ir de \(x_0\) a \(x\) s
Ejemplo 12.4 del Hibbeler.
Una partícula metálica desciende por un fluido entre dos placas. Se libera desde el reposo en el punto medio C, \(s = 100\ \text{mm}\), y su aceleración es \(a = (4s)\ \text{m/s}^2\) con \(s\) en metros. Determine la velocidad cuando llega a la placa B, \(s = 200\ \text{mm}\), y el tiempo que tarda de C a B.
\(v_B = 0{,}346\ \text{m/s}\) \(t = 0{,}658\ \text{s}\)
Si en la expresión de \(a\) aparece la posición (\(s\), \(x\), \(y\)) y no el tiempo, es este caso. Ejemplos típicos: resortes, con \(a = -kx\); gravedad a gran altura, con \(a = -gR^2/r^2\); campos magnéticos.
8 Caso \(a = f(v)\)
Este tiene dos caminos, y escoger el correcto te ahorra media hoja. La pregunta que decides es: ¿lo que me piden lo quiero contra el tiempo o contra la posición?
| Si quieres… | Monta | Queda |
|---|---|---|
| \(v\) en función de \(t\) | \(a = \dfrac{dv}{dt}\) | \(\displaystyle \int_0^t dt = \int_{v_0}^{v} \frac{dv}{f(v)}\) |
| \(v\) en función de \(x\) | \(a = v\,\dfrac{dv}{dx}\) | \(\displaystyle \int_{x_0}^{x} dx = \int_{v_0}^{v} \frac{v\,dv}{f(v)}\) |
- \(f(v)\)
- la aceleración escrita como función de la velocidad m/s²
- \(v_0\)
- velocidad inicial (límite de abajo) m/s
- \(x_0\)
- posición inicial (límite de abajo) m
- \(k\)
- constante de frenado del fluido; en \(a = -kv\) 1/s, en \(a = -kv^2\) 1/m
Problema Resuelto 11.3 del Beer.
El freno de retroceso de un cañón es un émbolo dentro de un cilindro con aceite. Cuando el cañón retrocede con velocidad inicial \(v_0\), el aceite lo desacelera a una razón proporcional a su velocidad: \(a = -kv\). Exprese a) \(v\) en función de \(t\), b) \(x\) en función de \(t\), c) \(v\) en función de \(x\).
\(v = v_0\,e^{-kt}\) \(x = \dfrac{v_0}{k}\left(1 - e^{-kt}\right)\) \(v = v_0 - kx\)
Nunca se detiene… pero no llega lejos. Con \(v = v_0\,e^{-kt}\) la velocidad nunca es exactamente cero. Pero la posición tiende a \(v_0/k\): recorre una distancia finita en un tiempo infinito. Eso es justo lo que quieres de un freno.
La parte c) es lineal. \(v = v_0 - kx\) es una recta, y el Beer la usa como comprobación: si eliminas \(t\) entre a) y b), tiene que salirte eso mismo. Ese chequeo hazlo siempre que puedas.
Un caso muy de parcial es \(a = -kv^2\) (arrastre cuadrático, o una lancha frenando en el agua). Es el mismo procedimiento, solo que la integral da \(-1/v\) en vez de un logaritmo. Separas variables:
Integras con límites (recuerda que \(\int v^{-2}\,dv = -1/v\)):
Sumas las dos fracciones de la derecha y le das la vuelta:
9 Gráficas: pendientes y áreas
A veces el parcial no te da fórmulas sino un dibujo. La traducción es corta y conviene tenerla clavada.
| En la gráfica… | La pendiente es | El área bajo la curva es |
|---|---|---|
| \(x\) contra \(t\) | \(v\) | — (no significa nada útil) |
| \(v\) contra \(t\) | \(a\) | \(\Delta x\) (desplazamiento) |
| \(a\) contra \(t\) | — | \(\Delta v\) (cambio de velocidad) |
Bajar de gráfica = derivar = pendiente. Subir de gráfica = integrar = área.
- \(\Delta x\)
- desplazamiento entre \(t_1\) y \(t_2\): área (con signo) bajo la curva \(v\)–\(t\) m
- \(\Delta v\)
- cambio de velocidad entre \(t_1\) y \(t_2\): área (con signo) bajo la curva \(a\)–\(t\) m/s
- \(t_1,\ t_2\)
- instantes donde empieza y termina el intervalo s
El área bajo la curva \(v\)–\(t\) es el desplazamiento, con signo: el área por debajo del eje resta. Si te piden distancia recorrida, tienes que sumar las áreas en valor absoluto.
Es exactamente la misma distinción de la sección 3, dicha con dibujos.
Si la gráfica \(v\)–\(t\) está hecha de rectas, el área son triángulos y rectángulos. No integres: cuenta cuadritos. Es más rápido y te equivocas menos.
10 Lo mismo, pero girando
El programa lo llama “movimiento angular de una línea”. Suena a tema nuevo, pero es el mismo tema con otras letras.
| En línea recta | Girando | Significa |
|---|---|---|
| \(x\) | \(\theta\) | ángulo girado, en radianes (rad) |
| \(v = \dfrac{dx}{dt}\) | \(\omega = \dfrac{d\theta}{dt}\) | velocidad angular, en rad/s |
| \(a = \dfrac{dv}{dt}\) | \(\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}\) | aceleración angular, en rad/s² |
| \(v\,dv = a\,dx\) | \(\omega\,d\omega = \alpha\,d\theta\) | la ecuación estrella, versión angular |
Y por lo tanto, con \(\alpha\) constante valen las mismas tres fórmulas:
- \(\theta\)
- ángulo que ha girado la línea, medido desde una referencia fija rad
- \(\omega\)
- velocidad angular: qué tan rápido cambia \(\theta\) rad/s
- \(\alpha\)
- aceleración angular: qué tan rápido cambia \(\omega\) rad/s²
- \(\theta_0,\ \omega_0\)
- ángulo y velocidad angular en \(t = 0\) rad, rad/s
- \(R\)
- distancia de un punto al eje de giro; su velocidad es \(v = \omega R\) m
1 · Radianes, siempre. Si te dan revoluciones o grados, conviértelos antes de hacer nada. Una vuelta son \(2\pi\ \text{rad} \approx 6{,}283\ \text{rad}\). Y “600 rpm” son 600 vueltas en 60 s:
2 · No confundas \(\omega\) con \(v\). Un punto a distancia \(R\) del eje tiene \(v = \omega R\). La rueda entera tiene una sola \(\omega\), pero cada punto tiene su propia \(v\).
Porque en la Parte 3 del parcial, cuando llegues a cuerpo rígido, vas a necesitar \(\omega\) y \(\alpha\) todo el tiempo. Y si ya entendiste \(v\) y \(a\), ya entendiste esto — solo cambian las letras.
11 Ponte a prueba
12 La hoja de ruta
- Fija el origen y el sentido positivo. Escríbelos.
- Pregúntate: ¿\(a\) es constante? Si sí, escoge entre las tres fórmulas mirando cuál variable no aparece en el problema.
- Si no es constante, mira de qué depende: de \(t\), de \(x\), o de \(v\). Eso decide la integral.
- Integra con límites, nunca con “\(+C\)”. Los límites son las condiciones iniciales.
- Si te piden distancia recorrida, busca primero dónde \(v = 0\) y parte el intervalo ahí.
- Traduce el signo del resultado a una frase antes de entregar.
1. \(v\,dv = a\,dx\) existe y es la que salva los problemas donde no hay tiempo.
2. Aceleración negativa no es “frena”. Frena cuando \(v\) y \(a\) tienen signos contrarios.
3. Distancia recorrida ≠ desplazamiento en cuanto la partícula se devuelve.
Con esto ya tienes los cimientos. El siguiente paso es el movimiento curvilíneo — la misma idea, pero con vectores — y de ahí salen proyectiles, n–t y polares.
Responde las seis preguntas para cerrar el taller.
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