Taller 3 · Principios de Dinámica

Movimiento curvilíneo x–y y proyectiles

Hay una sola idea en todo el tema, y es tan buena que parece trampa: el movimiento horizontal y el vertical no se enteran el uno del otro. Son dos problemas de línea recta que comparten nada más que el reloj.

De dónde sale esto. Beer, Johnston & Cornwell 9.ª ed., secciones 11.9 a 11.11 y Problema Resuelto 11.7; Hibbeler, Dinámica 12.ª ed., sección 12.6 y Ejemplos 12.11 y 12.12. Es la semana 1 del programa (movimiento curvo plano, coordenadas X-Y, movimiento parabólico) y ya cayó como punto 2 del Parcial 1. Los tres problemas están verificados numéricamente.

1 La idea que lo resuelve todo

Un proyectil en el aire tiene una sola aceleración: la gravedad, que apunta hacia abajo. Nada empuja horizontalmente (estamos ignorando el aire). Entonces:

Dirección	Aceleración	Qué tipo de movimiento es
Horizontal (\(x\))	\(a_x = 0\)	Velocidad constante. \(x = x_0 + v_{0x}\,t\) y ya.
Vertical (\(y\))	\(a_y = -g\)	Aceleración constante. Valen las tres fórmulas del Taller 2.

Qué significa cada símbolo

\(a_x,\ a_y\): componentes horizontal y vertical de la aceleración m/s²
\(g\): aceleración de la gravedad, hacia abajo: 9,81 m/s² (en unidades inglesas, 32,2 ft/s²) m/s²
\(x_0\): posición horizontal de salida m
\(v_{0x}\): componente horizontal de la velocidad de salida m/s
\(t\): tiempo desde el lanzamiento s

Y aquí está el regalo

Como \(a_x\) y \(a_y\) no dependen la una de la otra, los dos movimientos son independientes. Puedes resolver el vertical sin mirar el horizontal, y viceversa.

Lo único que comparten es el tiempo. Por eso la estrategia de todo problema de proyectiles es siempre la misma: saca \(t\) de una dirección y mételo en la otra.

Míralo funcionar. Las dos sombras son las proyecciones del proyectil sobre cada eje: la de abajo avanza siempre igual, la de la izquierda sube, se frena, se detiene y vuelve a bajar. Ninguna de las dos sabe que la otra existe.

proyectil su velocidad \(\vec v\) sombra en \(x\) y su \(v_x\) sombra en \(y\) y su \(v_y\) camino ya recorrido

	en \(x\)	en \(y\)
pos.	—	—
vel.	—	—
acel.	0,00 m/s²	−9,81 m/s²

¿Qué cambia y qué no?

\(v_x\) · fija—

rapidez \(|\vec v|\) · varía—

ángulo de \(\vec v\) · varía—

\(t = 0{,}00\ \text{s}\)

Ángulo \(\theta\) 45°

Rapidez inicial \(v_0\) 22,0 m/s

Las tres cosas que confirma el simulador

1. \(v_x\) no cambia nunca. Ni al subir, ni en la cima, ni al caer.

2. En la cima \(v_y = 0\), pero la velocidad total no es cero: queda toda la horizontal. Por eso el proyectil no se queda quieto arriba.

3. La rapidez con que baja al mismo nivel es igual a la de subida. La trayectoria es simétrica… si sale y llega a la misma altura. Con un acantilado ya no lo es.

2 Las ecuaciones, y de dónde salen

No hay nada nuevo: son las fórmulas del Taller 2 aplicadas dos veces, una por eje.

Horizontal (\(a_x = 0\)): la velocidad no cambia, así que hay una sola fórmula.

\[\begin{gathered} v_x = v_0\cos\theta \quad (\text{constante}) \\[4pt] x = x_0 + (v_0\cos\theta)\,t \end{gathered}\]

Vertical (\(a_y = -g\)): las tres de aceleración constante.

\[\begin{gathered} v_y = v_0\operatorname{sen}\theta - g\,t \\[4pt] y = y_0 + (v_0\operatorname{sen}\theta)\,t - \tfrac12 g\,t^2 \\[4pt] v_y^2 = (v_0\operatorname{sen}\theta)^2 - 2g\,(y - y_0) \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(v_0\): rapidez de salida (magnitud de la velocidad inicial) m/s
\(\theta\): ángulo de salida, medido desde la horizontal hacia arriba ° o rad
\(x_0,\ y_0\): coordenadas del punto de salida m
\(x,\ y\): coordenadas del proyectil en el instante \(t\); \(y\) positivo hacia arriba m
\(v_x,\ v_y\): componentes horizontal y vertical de la velocidad en el instante \(t\) m/s
\(g\): aceleración de la gravedad, 9,81 m/s² m/s²
\(t\): tiempo desde el lanzamiento s

Lo que hay que entender, no memorizar

El bloque horizontal tiene una sola fórmula porque la velocidad es constante: distancia = velocidad × tiempo, como en primaria.

El vertical son las tres de aceleración constante, con \(a = -g\). Si tomaras \(y\) positivo hacia abajo, sería \(+g\). Como siempre: el signo lo pone tu flecha, no la naturaleza.

Descomponer la velocidad inicial

Todo empieza por partir \(v_0\) en sus dos pedazos. Con \(\theta\) medido desde la horizontal, el cateto pegado al ángulo lleva coseno y el de enfrente lleva seno:

\[v_{0x} = v_0\cos\theta \qquad v_{0y} = v_0\operatorname{sen}\theta\]

Si el objeto sale horizontalmente (como el saco del Ejemplo 12.11), entonces \(\theta = 0\) y queda \(v_{0y} = 0\): cae como si lo hubieras soltado, mientras avanza como si nada lo frenara.

Qué significa cada símbolo

\(v_{0x}\): componente horizontal de la velocidad de salida m/s
\(v_{0y}\): componente vertical de la velocidad de salida m/s

3 Beer 11.7 · el proyectil del acantilado

Enunciado

Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150 m con una velocidad inicial de 180 m/s a 30° con la horizontal. Ignorando la resistencia del aire, encuentre a) la distancia horizontal desde el cañón hasta el punto donde el proyectil golpea el suelo, y b) la elevación máxima sobre el suelo.

Respuestas

\(x = 3100\ \text{m}\) altura máxima \(= 563\ \text{m}\) sobre el suelo

Los dos errores que cuestan este punto

1 · Usar la fórmula del alcance. Esa fórmula solo vale si sale y llega a la misma altura:

\[R = \frac{v_0^2\operatorname{sen}2\theta}{g}\]

Aquí cae 150 m más abajo, así que no sirve. Resuelve la cuadrática y ya.

2 · Confundir “altura máxima sobre el cañón” con “sobre el suelo”. Son 412,8 m y 562,8 m. Lee bien qué te piden: el enunciado del Beer dice sobre el suelo.

Qué significa cada símbolo

\(R\): alcance: distancia horizontal entre la salida y la llegada, solo cuando están a la misma altura m
\(v_0\): rapidez de salida m/s
\(\theta\): ángulo de salida sobre la horizontal ° o rad
\(g\): aceleración de la gravedad m/s²

4 Dos problemas más del Hibbeler

Estos dos muestran las dos variantes que caen: una donde sale horizontal y otra donde la incógnita es la altura, no el alcance.

Respuestas

12.11 · \(t = 1{,}11\ \text{s}\), \(R = 13{,}3\ \text{m}\) 12.12 · \(h = 2{,}19\ \text{ft}\) por debajo de la salida

5 La estrategia, siempre la misma

Todo problema de proyectiles se resuelve con el mismo movimiento de pinza. Lo único que cambia es de cuál eje sacas el tiempo.

Si el dato que te amarra es…	Sacas \(t\) de…	Ejemplo
Una altura (llega al suelo, pasa por encima de algo)	la ecuación vertical	Beer 11.7 · Hibbeler 12.11
Una distancia horizontal (cae a 20 ft del tubo)	la ecuación horizontal, que es la más fácil	Hibbeler 12.12
Te piden la altura máxima	la condición \(v_y = 0\)	Beer 11.7 parte b

El truco de la ecuación horizontal

Cuando te dan una distancia horizontal \(x\) (medida desde la salida), sacar el tiempo es trivial. Una división:

\[t = \frac{x}{v_0\cos\theta}\]

Búscalo siempre primero: si el problema te da un dato en \(x\), ese es tu camino corto.

Y si te piden la velocidad al llegar

No olvides que tiene dos componentes: \(v_x\) (la de siempre, sin cambiar) y \(v_y\) (la que creció al caer). La rapidez sale por Pitágoras y el ángulo por la tangente; si \(v_y\) es negativa, el ángulo queda por debajo de la horizontal:

\[|\vec v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad \phi = \arctan\frac{|v_y|}{v_x}\]

Qué significa cada símbolo

\(|\vec v|\): rapidez: magnitud de la velocidad en ese instante m/s
\(v_x,\ v_y\): componentes de la velocidad en ese instante m/s
\(\phi\): ángulo de la velocidad con la horizontal ° o rad

6 Cuando no es un proyectil

No todo movimiento curvilíneo x–y es un proyectil. A veces te dan directamente las ecuaciones paramétricas del movimiento, \(x(t)\) y \(y(t)\), y solo hay que derivar cada una por separado.

\[\begin{gathered} \vec v = \dot x\,\hat\imath + \dot y\,\hat\jmath \qquad |\vec v| = \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2} \\[6pt] \vec a = \ddot x\,\hat\imath + \ddot y\,\hat\jmath \qquad |\vec a| = \sqrt{\ddot x^2 + \ddot y^2} \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(\dot x,\ \dot y\): primera derivada de \(x\) y de \(y\) respecto al tiempo: son \(v_x\) y \(v_y\) m/s
\(\ddot x,\ \ddot y\): segunda derivada de \(x\) y de \(y\) respecto al tiempo: son \(a_x\) y \(a_y\) m/s²
\(\hat\imath,\ \hat\jmath\): vectores unitarios en la dirección \(x\) y en la dirección \(y\) sin unidad
\(|\vec v|,\ |\vec a|\): magnitudes de la velocidad y de la aceleración m/s, m/s²

Un ejemplo corto

Si \(x = 4t\) y \(y = 2t^2\) (metros, segundos), halla la velocidad y la aceleración en \(t = 2\ \text{s}\). Derivas cada coordenada una vez:

\[\begin{gathered} \dot x = 4\ \text{m/s} \\[4pt] \dot y = 4t = 4(2) = 8\ \text{m/s} \\[4pt] |\vec v| = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} \\[4pt] |\vec v| = 8{,}94\ \text{m/s} \end{gathered}\]

Y derivas otra vez:

\[\begin{gathered} \ddot x = 0 \qquad \ddot y = 4\ \text{m/s}^2 \\[4pt] |\vec a| = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4{,}00\ \text{m/s}^2 \end{gathered}\]

Y si te pidieran el radio de curvatura \(\rho\) ahí, se saca con lo del Taller 4: la componente de \(\vec a\) perpendicular a \(\vec v\) (la normal, \(a_n\)) vale \(v^2/\rho\). Esa componente se obtiene con el producto cruz de las componentes:

\[\begin{gathered} a_n = \frac{|\dot x\,\ddot y - \dot y\,\ddot x|}{|\vec v|} \\[6pt] a_n = \frac{|4(4) - 8(0)|}{8{,}94} = \frac{16}{8{,}94} \\[6pt] a_n = 1{,}79\ \text{m/s}^2 \\[6pt] \rho = \frac{v^2}{a_n} = \frac{80}{1{,}79} = 44{,}7\ \text{m} \end{gathered}\]

Los temas se conectan.

Eliminar el tiempo para tener la trayectoria

Si te piden la ecuación de la trayectoria, despeja \(t\) de una y mételo en la otra. Del ejemplo: \(t = x/4\), entonces

\[y = 2\left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{2x^2}{16} = \frac{x^2}{8}\]

Una parábola — igual que la de cualquier proyectil.

7 Ponte a prueba

8 La hoja de ruta

Pon el origen en el punto de lanzamiento (te ahorra dos términos) y decide el sentido positivo de \(y\). Escríbelo.
Parte \(v_0\) en \(v_0\cos\theta\) y \(v_0\operatorname{sen}\theta\).
Escribe los dos bloques: horizontal (una fórmula) y vertical (tres).
Mira qué dato te amarra y saca el tiempo de esa dirección.
Mete el tiempo en el otro bloque y despeja lo que te piden.
Si te piden la velocidad al final, acuérdate de que tiene dos componentes.

Si solo te llevas dos frases

1. \(x\) e \(y\) son dos problemas independientes que solo comparten el reloj.

2. \(v_x\) nunca cambia. Si en algún paso te cambió, te equivocaste.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

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