Taller 4 · Principios de Dinámica

Coordenadas normal y tangencial

Toda la idea cabe en una frase: la aceleración se parte en la que cambia la rapidez y la que cambia la dirección. De ahí sale que un carro a rapidez constante en una curva sí tiene aceleración — que es lo que más se pregunta y lo que más se falla.

De dónde sale esto. Hibbeler, Dinámica 12.ª ed., sección 12.7 y Ejemplos 12.14, 12.15 y 12.16, que se desarrollan aquí completos; Beer, Johnston & Cornwell 9.ª ed., sección 11.13. Corresponde a la semana 1 del programa (coordenadas tangencial y normal) y entra en el Parcial 1. Los tres resultados fueron verificados numéricamente.

1 Las dos componentes

Cuando la partícula va por un camino conocido, conviene montar los ejes sobre ella: uno a lo largo del camino (tangencial) y otro perpendicular apuntando hacia adentro de la curva (normal).

\[\begin{gathered} \vec v = v\,\hat e_t \\[6pt] \vec a = \dot v\,\hat e_t + \frac{v^2}{\rho}\,\hat e_n \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(\vec v\): vector velocidad de la partícula m/s
\(v\): rapidez: el tamaño de la velocidad, lo que marca el velocímetro m/s
\(\vec a\): vector aceleración m/s²
\(\dot v\): qué tan rápido cambia la rapidez (la derivada de \(v\) respecto al tiempo). Es la componente tangencial, \(a_t\) m/s²
\(\rho\): radio de curvatura del camino en ese punto (se lee «ro») m
\(v^2/\rho\): componente normal de la aceleración, \(a_n\) m/s²
\(\hat e_t\): vector unitario tangente: apunta hacia donde va la partícula sin unidad
\(\hat e_n\): vector unitario normal: perpendicular al camino, hacia el lado cóncavo sin unidad

Fíjate en la velocidad: solo tiene componente tangencial. Eso no es una simplificación, es la definición — la velocidad siempre es tangente a la trayectoria. Si algo se mueve, va hacia donde va el camino.

\(\dot v\,\hat e_t\) Componente tangencial Cuánto está cambiando el número del velocímetro. Positiva si acelera, negativa si frena, cero si va a rapidez constante. Siempre a lo largo del camino.

\(\dfrac{v^2}{\rho}\,\hat e_n\) Componente normal (centrípeta) Cuánto está cambiando la dirección. Siempre apunta hacia el lado cóncavo de la curva, hacia el centro. Nunca puede ser negativa, y nunca apunta hacia afuera.

Y como son perpendiculares…

La magnitud total no es la suma:

\[|\vec a| = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}\]

Si \(a_t = 2\ \text{m/s}^2\) y \(a_n = 5\ \text{m/s}^2\), sumar \(2 + 5\) y responder \(7\ \text{m/s}^2\) es uno de los errores más frecuentes del tema. Son componentes perpendiculares, van con Pitágoras: \(\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29} = 5{,}39\ \text{m/s}^2\).

Qué significa cada símbolo

\(a_t\): componente tangencial de la aceleración, \(a_t = \dot v\). Puede ser positiva, negativa o cero m/s²
\(a_n\): componente normal de la aceleración, \(a_n = v^2/\rho\). Nunca es negativa m/s²
\(|\vec a|\): magnitud (tamaño) de la aceleración total m/s²

2 El simulador de la carretera

Mueve el punto por la carretera y cambia si el carro acelera o frena. El carro pasa por ese punto a \(v = 12\ \text{m/s}\). Fíjate en tres cosas:

La flecha roja (\(a_n\)) siempre mira hacia adentro de la curva, pase lo que pase.
Donde la curva es más cerrada, \(\rho\) es chico y \(a_n\) se dispara.
En el punto de inflexión —donde la carretera cambia de curvarse para un lado a curvarse para el otro— \(\rho\) se vuelve gigantesco y \(a_n \approx 0\): ahí el camino es momentáneamente recto.

\(\vec v\), velocidad\(a_t\), tangencial\(a_n\), normal (hacia el centro)\(\vec a\), la total (punteada)círculo punteado: el que «calca» la curva, de radio \(\rho\)

En este punto

\(\rho\) (radio de curvatura)—

\(v\) (rapidez)—

\(a_t = \dot v\)—

\(a_n = v^2/\rho\)—

\(|\vec a|\) total—

Posición

El carro está

Qué significa cada símbolo del simulador

\(\rho\): radio del círculo punteado en el punto donde está el carro m
\(v\): rapidez del carro al pasar por ese punto; aquí siempre 12 m/s
\(\dot v\): lo que escoges con los botones: \(+3\) si acelera, \(0\) si va parejo, \(-3\) si frena m/s²
\(a_t,\ a_n\): componentes tangencial (morada) y normal (roja) de la aceleración m/s²
\(|\vec a|\): tamaño de la aceleración total (naranja punteada), \(\sqrt{a_t^2 + a_n^2}\) m/s²
\(\hat e_t,\ \hat e_n\): los dos ejes en ese punto, dibujados aparte en la esquina para que no se tapen con las flechas sin unidad

Qué es \(\rho\), sin fórmulas

Párate en un punto de la curva y pregúntate: “¿de qué tamaño tendría que ser un círculo para que, en este pedacito, se confunda con mi curva?” El radio de ese círculo es \(\rho\). Por eso se llama círculo osculador — de osculare, besar: es el círculo que besa la curva.

Curva cerrada → círculo chiquito → \(\rho\) chico → \(a_n\) grande. Un tramo casi recto → el círculo se hace enorme → \(a_n\) casi cero.

3 ¿De dónde sale el \(v^2/\rho\)?

Sale de lo mismo que en polares: \(\hat e_t\) gira. Un vector unitario que gira tiene derivada, y esa derivada es perpendicular a él mismo.

En un pedacito de camino de largo \(\Delta s\), la tangente rota un ángulo \(\Delta\varphi\). Y por la geometría del círculo osculador (arco = radio × ángulo), esos dos están amarrados: \(\Delta s = \rho\,\Delta\varphi\).

Paso 1. La aceleración es la derivada de la velocidad, y la velocidad es un producto (\(v\) por \(\hat e_t\)), así que va la regla del producto:

\[\begin{gathered} \vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\,(v\,\hat e_t)}{dt} \\[6pt] \vec a = \dot v\,\hat e_t + v\,\frac{d\hat e_t}{dt} \end{gathered}\]

Paso 2. La derivada de un unitario que gira es perpendicular a él, y mide lo mismo que su rapidez de giro \(\dot\varphi\):

\[\frac{d\hat e_t}{dt} = \dot\varphi\,\hat e_n\]

Paso 3. Falta \(\dot\varphi\). Divide \(\Delta s = \rho\,\Delta\varphi\) entre el tiempo \(\Delta t\) que pasó; como \(\Delta s/\Delta t\) es la rapidez \(v\):

\[\begin{gathered} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \rho\,\frac{\Delta\varphi}{\Delta t} \\[6pt] v = \rho\,\dot\varphi \\[6pt] \dot\varphi = \frac{v}{\rho} \end{gathered}\]

Paso 4. Reemplazas el paso 3 en el 2, y el 2 en el 1:

\[\begin{gathered} \vec a = \dot v\,\hat e_t + v\left(\frac{v}{\rho}\right)\hat e_n \\[6pt] \vec a = \dot v\,\hat e_t + \frac{v^2}{\rho}\,\hat e_n \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(\Delta s\): largo del pedacito de camino que recorre la partícula m
\(\Delta\varphi\): ángulo que giró la tangente en ese pedacito rad
\(\Delta t\): tiempo que tardó en recorrerlo s
\(\dot\varphi\): rapidez con que gira la tangente (y con ella \(\hat e_t\)) rad/s
\(\rho\): radio del círculo osculador en ese punto m

La conexión que vale la pena ver

Es exactamente el mismo argumento que \(\dfrac{d\hat e_r}{dt} = \dot\theta\,\hat e_\theta\) en polares. En los dos casos: un vector unitario que gira tiene derivada perpendicular a él mismo, y de largo igual a la rapidez de giro.

Si entendiste uno, entendiste el otro. No son dos temas.

¿Cuándo n–t y r–θ son lo mismo?

Solo cuando la trayectoria es un círculo con el origen en el centro. Ahí \(r = \rho\) es constante, \(\dot r = \ddot r = 0\), y las fórmulas colapsan:

\[\begin{gathered} \text{polares:}\quad \vec v = r\dot\theta\,\hat e_\theta \\[3pt] \text{n–t:}\quad \vec v = v\,\hat e_t \\[10pt] \text{polares:}\quad \vec a = -r\dot\theta^2\,\hat e_r + r\ddot\theta\,\hat e_\theta \\[3pt] \text{n–t:}\quad \vec a = \frac{v^2}{\rho}\,\hat e_n + \dot v\,\hat e_t \end{gathered}\]

Se emparejan término a término: \(v = r\dot\theta\) y \(\hat e_t = \hat e_\theta\); \(\dot v = r\ddot\theta\); y \(\dfrac{v^2}{\rho} = \dfrac{(r\dot\theta)^2}{r} = r\dot\theta^2\), con \(\hat e_n = -\hat e_r\) porque la normal mira hacia el centro y \(\hat e_r\) mira hacia afuera. De ahí el signo menos de polares.

En cualquier otro caso son distintas. En un pasador que se aleja por una ranura recta, \(\hat e_\theta\) apunta para un lado y \(\hat e_t\) para otro.

Qué significa cada símbolo

\(r\): distancia del origen a la partícula m
\(\dot r,\ \ddot r\): primera y segunda derivada de \(r\) respecto al tiempo m/s y m/s²
\(\dot\theta,\ \ddot\theta\): velocidad angular y aceleración angular de la línea que va del origen a la partícula rad/s y rad/s²
\(\hat e_r,\ \hat e_\theta\): unitarios de polares: radial (hacia afuera) y transversal sin unidad

4 Cómo sacar \(\rho\)

A veces te dan \(\rho\) de una (una curva de carretera, una pista circular). Otras veces te dan la forma del camino y te toca calcularlo.

Si te dan…	\(\rho\) vale	Ojo con
Un círculo de radio \(R\)	\(\rho = R\)	Es constante en todo el recorrido.
\(y = f(x)\)	\(\rho = \dfrac{\left[1 + (y')^2\right]^{3/2}}{\|y''\|}\)	Evalúa \(y'\) y \(y''\) en el punto pedido, no en general.
Una recta	\(\rho \to \infty\)	\(a_n = 0\). Todo el movimiento es rectilíneo.

Qué significa cada símbolo

\(R\): radio del círculo que recorre la partícula m
\(y = f(x)\): ecuación del camino, con \(x\) y \(y\) en metros m
\(y'\): primera derivada, \(dy/dx\): la pendiente del camino en ese punto sin unidad
\(y''\): segunda derivada, \(d^2y/dx^2\): qué tan rápido cambia la pendiente 1/m
\(\rho\): radio de curvatura en ese punto m

El truco del valor absoluto

El \(|y''|\) va en valor absoluto porque \(\rho\) es una distancia y no puede ser negativa. El signo de \(y''\) no se pierde: es el que te dice hacia qué lado apunta \(\hat e_n\) — hacia arriba si \(y'' \gt 0\) (curva cóncava hacia arriba, como un valle), hacia abajo si \(y'' \lt 0\) (como una loma).

Ejemplo 12.14 del Hibbeler.

Enunciado

Un esquiador baja por una trayectoria parabólica \(y = \dfrac{x^2}{20}\) (con \(x\) y \(y\) en metros). Al llegar al punto A, en \(x = 10\ \text{m}\), su rapidez es de 6 m/s y va aumentando a 2 m/s². Determine la dirección de la velocidad y la dirección y magnitud de la aceleración en ese instante.

Ruta de solución Te dan la forma del camino, la rapidez y qué tan rápido cambia esa rapidez. Primero saca la pendiente \(y'\) en \(x = 10\ \text{m}\): con ella tienes el ángulo de la velocidad, porque la velocidad siempre es tangente. Después calcula \(\rho\) con la fórmula de la tabla, evaluada en ese mismo punto. Con \(\rho\) ya puedes sacar \(a_n = v^2/\rho\); la otra componente, \(a_t = 2\ \text{m/s}^2\), te la regala el enunciado. Al final las juntas con Pitágoras, porque son perpendiculares, y das la dirección.

Respuestas

\(v = 6\ \text{m/s}\) a 45° \(\rho = 28{,}28\ \text{m}\) \(|\vec a| = 2{,}37\ \text{m/s}^2\)

Truco para no confundir las dos componentes La \(t\) mueve la aguja; la \(n\) mueve la nariz. La componente tangencial \(a_t\) es la que cambia el número que marca la aguja del velocímetro (la rapidez). La componente normal \(a_n\) es la que hace girar la nariz del carro hacia el centro de la curva (la dirección). Compruébalo con el esquiador: su aguja sube 2 m/s cada segundo, así que \(a_t = 2\ \text{m/s}^2\); y su nariz va girando sobre una curva con \(\rho = 28{,}28\ \text{m}\), así que \(a_n = 6^2/28{,}28 = 1{,}27\ \text{m/s}^2\). Y resuelve la duda de siempre: si el enunciado dice «rapidez constante», la aguja no se mueve (\(a_t = 0\)), pero en una curva la nariz sí gira, así que \(a_n\) no es cero.

5 Dos problemas más del libro

Estos dos muestran los dos sabores que caen: uno donde la incógnita es el tiempo y otro donde hay que integrar antes de poder usar las fórmulas de n–t.

Respuestas

12.15 · \(t = 4{,}87\ \text{s}\), \(v = 34{,}1\ \text{ft/s}\) 12.16 · \(|\vec a| = 5{,}36\ \text{m/s}^2\)

6 Los errores que cuestan el punto

1 · Poner \(a_n\) hacia afuera

No existe la “fuerza centrífuga” en la cinemática. La aceleración normal apunta hacia el centro, siempre. Lo que tú sientes empujándote hacia afuera en una curva es tu propia inercia, no una aceleración del carro.

2 · Creer que “rapidez constante” significa “sin aceleración”

Si el camino es curvo, \(\dot v = 0\) pero \(a_n = v^2/\rho \neq 0\). Hay aceleración aunque el velocímetro no se mueva, porque la dirección sí está cambiando. Compruébalo en el simulador: pon “a rapidez constante” y mira que la flecha roja sigue ahí.

3 · Sumar \(a_t\) y \(a_n\) como números

Son perpendiculares: \(|\vec a| = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}\).

4 · Confundir \(\rho\) con \(r\)

\(r\) es la distancia al origen que tú escogiste; \(\rho\) es el radio del círculo que mejor se acuesta sobre la curva en ese punto. Solo son iguales en movimiento circular con el origen en el centro.

Chequeo de diez segundos

Antes de entregar, mira el dibujo y pregúntate: ¿mi flecha \(a_n\) apunta hacia el lado cóncavo? Si apunta hacia afuera, tienes un signo al revés y todavía estás a tiempo.

7 Ponte a prueba

8 La hoja de ruta

Confirma que es n–t: hay un camino conocido y curvo, y te hablan de rapidez o de radio de curvatura.
Consigue \(\rho\): te lo dan, o sale de \(\rho = \dfrac{\left[1+(y')^2\right]^{3/2}}{|y''|}\).
Consigue \(v\) en ese instante. Si te dan \(a_t\) en función del tiempo, integra primero.
\(a_t = \dot v\) a lo largo del camino; \(a_n = v^2/\rho\) hacia el centro.
\(|\vec a| = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}\). Nunca los sumes directo.
Dibuja las dos flechas y comprueba que la normal apunta hacia adentro.

Si solo te llevas dos frases

1. La velocidad siempre es tangente; la aceleración casi nunca lo es.

2. Rapidez constante no es aceleración cero: en una curva siempre queda \(v^2/\rho\) apuntando hacia adentro.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

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