El origen del sistema y el movimiento vinculado
Este taller tiene dos mitades y las dos valen oro. La primera es de dónde mides — la decisión que todo el mundo salta y que después cobra en forma de signos al revés. La segunda son las poleas: por qué aparece ese factor 2 y por qué el bloque que cuelga se mueve más rápido que todo lo demás.
1 El origen: la decisión que todos saltan
Si el origen te queda claro, dejas de equivocarte de signo para siempre — en poleas, en caída libre, en proyectiles y en cuerpo rígido. Por eso va de primero.
Qué es un origen, en serio
Una posición no es un número. “El bloque está en 30” no significa nada. Lo que sí significa algo es: “el bloque está 30 pulgadas por debajo del techo, midiendo hacia abajo”. Un número de posición solo existe cuando tú aportas dos cosas:
Las dos las escoges tú, antes de saber la respuesta. No las escoge el problema. Por eso son libres — pero una vez escogidas, son ley hasta el final del ejercicio.
Compruébalo tú mismo
Abajo puedes mover el origen y voltear la flecha del positivo. Mira las tres cosas que cambian y la única que no:
- Los números de posición cambian. Obvio: estás midiendo desde otro lado.
- La constante del cable (esa suma de la derecha) cambia de valor.
- Los signos de \(v\) y \(a\) se voltean si volteas la flecha.
- La frase final no cambia nunca. B siempre termina 16 in más arriba y subiendo a 18 in/s. Siempre.
| Cuerpo | \(x\) (in) | \(v\) (in/s) |
|---|---|---|
| A | — | — |
| D | — | — |
| B | — | — |
- \(O\)
- el origen: la línea naranja, donde la coordenada vale cero —
- \(x_A,\ x_D,\ x_B\)
- posición del collarín A, de la polea móvil D y del bloque B, medidas desde \(O\) en el sentido de la flecha \(+\). El problema viene en pulgadas (1 in = 2,54 cm = 0,0254 m) in
- \(v\)
- velocidad de cada cuerpo; positiva si va en el sentido de la flecha \(+\) in/s
- \(x_A + 2x_D + x_B\)
- la suma del cable: si el origen está quieto, da siempre el mismo número in
- \(t\)
- tiempo desde que arranca A s
—
Lo que te acaba de mostrar el simulador
1 · Dónde pongas el origen no importa. Con el techo la constante del cable vale 93,50 in; con la línea de en medio vale 13,50; con el piso vale −146,50. Son constantes distintas, pero todas son constantes — y una constante, al derivar, se vuelve cero igual de bien. Por eso el origen se cancela solo.
2 · Hacia dónde apuntes tampoco importa. Si volteas la flecha, cada número cambia de signo… pero todos a la vez. La frase “B sube 16 in” sale idéntica, porque tú interpretas el signo con tu propia flecha.
3 · Poner el origen en D sí rompe todo. Con D como origen la suma \(x_A + 2x_D + x_B\) deja de ser constante. Y si no es constante, no puedes derivarla e igualarla a cero. Ahí se te cayó el método entero.
Medir \(x_B\) hacia arriba “porque es que B sube”. No. Tú todavía no sabes para dónde va B — eso es justo lo que te están preguntando. Escoges la flecha a ciegas, resuelves, y dejas que el signo te lo diga. Si te sale negativo, escribes “sube”. Fin.
El otro error gemelo: usar flecha hacia abajo para A y hacia arriba para B en el mismo problema. Si haces eso, la ecuación del cable ya no es \(x_A + 2x_D + x_B = L\), sino otra con signos mezclados — y casi nadie la escribe bien bajo presión.
Dos renglones, antes de cualquier ecuación:
Te toma quince segundos y te blinda todos los signos del punto. El calificador además lo agradece, porque puede seguir tu razonamiento.
Es exactamente lo mismo. En caída libre, si tomas \(y\) positivo hacia arriba, entonces \(a = -9{,}81\ \text{m/s}^2\); si lo tomas hacia abajo, \(a = +9{,}81\ \text{m/s}^2\). No hay una “correcta”: hay una declarada.
En proyectiles el origen casi siempre va en el punto de lanzamiento, porque así \(x_0 = y_0 = 0\) y te ahorras dos términos en cada ecuación. Escoger bien el origen no cambia la física — te cambia la cantidad de aritmética.
2 El enunciado, en cristiano
El collarín A arranca quieto y baja con aceleración constante. Cuando pasa por la marca L ya va a 12 in/s, y de K a L hay 8 pulgadas. Al mismo tiempo, la polea móvil D baja a 3 in/s constantes.
La pregunta: en el instante en que A pasa por L, ¿cuánto subió o bajó el bloque B, y con qué velocidad y aceleración va?
Dale a Play. No trates de entender las fórmulas todavía: solo mira quién sube, quién baja, y quién va más rápido.
| Cuerpo | \(x\) (in) | \(v\) (in/s) | \(a\) (in/s²) |
|---|---|---|---|
| A | — | — | — |
| D | — | — | — |
| B | — | — | — |
3 Contar los tramos: de aquí sale el “2”
El cable tiene una longitud fija. Vamos a escribir esa longitud sumando pedazo por pedazo. Solo nos interesan los pedazos cuyo largo cambia cuando algo se mueve: lo que da vuelta sobre las poleas siempre mide lo mismo, así que se va como constante.
Dale a los cuatro botones en orden y mira cómo se arma la ecuación:
Todavía no has contado ningún tramo. Empieza por el 1.
- \(x_A\)
- distancia del origen (el techo) al collarín A, hacia abajo in
- \(x_D\)
- distancia del origen al centro de la polea móvil D, hacia abajo in
- \(x_B\)
- distancia del origen al bloque B, hacia abajo in
- \(L\)
- largo de la parte del cable que puede cambiar de tramo a tramo; es constante (aquí 93,50 in) in
El coeficiente de cada cuerpo es el número de tramos de cable que llegan a él. A la polea D llegan dos tramos (el que baja de C y el que sube a E), por eso lleva \(2x_D\). A A le llega uno y a B le llega uno, por eso van solos.
Si en un parcial ves una polea móvil con tres tramos colgando, el coeficiente es 3. Así de directo.
4 Derivar: la parte fácil que nadie cree
Ya tienes \(x_A + 2x_D + x_B = L\). Como \(L\) es un número fijo, al derivar respecto al tiempo el lado derecho se vuelve cero y los coeficientes se quedan quietos:
El primer renglón es el de posiciones; el segundo sale de derivarlo una vez (velocidades) y el tercero de derivarlo otra vez (aceleraciones).
- \(x_A,\ x_D,\ x_B\)
- posición de cada cuerpo, medida desde el origen y con el mismo sentido positivo in
- \(L\)
- la constante del cable: la suma que no cambia mientras el cable no se estire in
- \(v_A,\ v_D,\ v_B\)
- velocidad de cada cuerpo: la derivada de su posición. Positiva si va en el sentido de la flecha in/s
- \(a_A,\ a_D,\ a_B\)
- aceleración de cada cuerpo: la derivada de su velocidad in/s²
¿Por qué los coeficientes «se quedan quietos»? Porque son números: la derivada de \(2\,x_D\) es \(2\,\dot x_D = 2\,v_D\). Y la derivada de una constante como \(L\) es cero.
Esas tres líneas son todo el problema. Lo demás es aritmética de bachillerato. Y fíjate que también vale para los desplazamientos, porque la relación es lineal:
- \(\Delta x_A,\ \Delta x_D,\ \Delta x_B\)
- desplazamiento de cada cuerpo: posición final menos posición inicial. Sale de restar la ecuación del cable en dos instantes (\(L - L = 0\)) in
5 Ahora sí: la solución completa
Cinco pasos. Ábrelos de uno en uno e intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
B sube 16 in \(v_B = 18\ \text{in/s}\) ↑ \(a_B = 9\ \text{in/s}^2\) ↑
Los tres negativos del cálculo significan lo mismo: contra la convención que escogimos, que era “positivo hacia abajo”.
6 Otros aparejos que caen
El método es siempre el mismo; lo único que cambia es cuántos tramos llegan a cada cuerpo. Aquí están los que más aparecen.
| Montaje | Ecuación de restricción | Qué significa |
|---|---|---|
| Polea fija sola | \(x_A + x_B = L\) | Lo que baja A lo sube B, uno a uno. \(v_B = -v_A\). |
| Una polea móvil | \(x_A + 2x_D + x_B = L\) | El caso de este taller. Dos tramos llegan a D. |
| Aparejo de 3 tramos | \(x_A + 3x_B = L\) | B se mueve tres veces más despacio que A, pero con tres veces más fuerza. Es un polipasto. |
| Actuador con 4 tramos (Parcial 2020-II) |
\(x_A + 4x_B = \text{cte}\) | \(v_A = 4v_B\). Si B sube a 2 m/s, A se mueve a \(4 \times 2 = 8\) m/s. |
Pon el dedo en el cuerpo y cuenta cuántos pedazos de cable verticales tocan ese cuerpo o su polea. Ese número es el coeficiente. No cuentes el cable que da la vuelta por encima de una polea fija: ese tramo no cambia de largo.
Y si hay dos cables distintos (dos cuerdas independientes), escribes dos ecuaciones, una por cable, y las resuelves juntas.
Ese parcial combina las dos cosas: primero usas \(x_A + 4x_B = \text{cte}\) para sacar la velocidad de A a partir de la de B, y después metes esa velocidad en el análisis de coordenadas polares del actuador.
O sea: poleas y polares en el mismo punto. Por eso conviene tener este taller y el Taller 1 frescos al mismo tiempo.
7 Ponte a prueba
8 La hoja de ruta
- Marca el origen en algo que no se mueva (casi siempre el techo) y decide positivo hacia abajo para todos. Escríbelo.
- Dibuja una flecha desde el origen hasta cada cuerpo que se mueva y nómbrala \(x_A\), \(x_B\), \(x_D\)…
- Cuenta cuántos tramos de cable llegan a cada cuerpo. Ese número es su coeficiente. Escribe la suma igualada a \(L\).
- Deriva una vez para velocidades y otra para aceleraciones. El \(L\) se vuelve 0.
- Mete los datos, despeja, y traduce el signo a una frase: “sube” o “baja”.
- Chequeo de 10 segundos: suma \(v_A + 2v_D + v_B\) con tus números. Si no da cero, hay un error y todavía estás a tiempo. Aquí: \(12 + 2(3) + (-18) = 0\) ✓
1. El origen lo escoges tú, pero tiene que estar quieto — y una vez escogido, es ley.
2. Un signo negativo no es un error: es la respuesta diciéndote “al revés de tu flecha”.
3. El cable no se estira. Esa frase, escrita como ecuación, es el problema entero.
Responde las siete preguntas para cerrar el taller.
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