Taller 6 · Principios de Dinámica

Movimiento relativo

Una sola ecuación, y una idea que cuesta más de lo que parece: la velocidad depende de quién mira. El que va en el carro de al lado ve algo distinto del que está parado en el andén — y los dos tienen razón.

De dónde sale esto. Hibbeler, Dinámica 12.ª ed., sección 12.10 y Ejemplo 12.25; Beer, Johnston & Cornwell 9.ª ed., sección 11.12. Es la semana 3 del programa (movimiento relativo usando ejes móviles de referencia en traslación) y el programa dice explícitamente que el Parcial 1 “incluye movimiento relativo, coordenadas en traslación”. Los problemas del río y de los dos autos están construidos al nivel del curso y verificados numéricamente.

1 La ecuación, y qué significa cada pedazo

\[\vec v_B = \vec v_A + \vec v_{B/A}\]

En español: lo que ve el suelo es igual a lo que se mueve A más lo que A ve moverse a B.

\(\vec v_B\) Velocidad absoluta de B Medida desde el suelo — un marco fijo. Es la de siempre.

\(\vec v_A\) Velocidad absoluta de A También desde el suelo. A es el observador que se mueve.

\(\vec v_{B/A}\) Velocidad relativa Lo que ve alguien montado en A. Se lee “de B respecto a A”. Es lo que A creería que hace B si A se sintiera quieto.

Qué significa cada símbolo

\(\vec v_B\): velocidad de B medida desde el suelo (marco fijo). La flecha encima dice que es un vector: tiene magnitud y dirección m/s
\(\vec v_A\): velocidad de A medida desde el suelo m/s
\(\vec v_{B/A}\): velocidad de B medida por un observador que viaja con A. La barra «/» se lee «respecto a» m/s

De dónde sale: de sumar posiciones

La ecuación no es una regla aparte: sale de un dibujo. Para llegar del origen hasta B puedes ir directo, o ir primero hasta A y de ahí seguir hasta B. Las dos rutas terminan en el mismo sitio:

\[\vec r_B = \vec r_A + \vec r_{B/A}\]

Ahora derivas respecto al tiempo. La derivada de una posición es una velocidad, y la derivada de una velocidad es una aceleración. Derivando una vez y luego otra:

\[\begin{gathered} \vec v_B = \vec v_A + \vec v_{B/A} \\[6pt] \vec a_B = \vec a_A + \vec a_{B/A} \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(\vec r_B,\ \vec r_A\): posición de B y de A: la flecha que va del origen fijo (en el suelo) hasta cada cuerpo m
\(\vec r_{B/A}\): posición de B respecto a A: la flecha que va desde A hasta B m
\(\vec a_B,\ \vec a_A\): aceleración de B y de A medidas desde el suelo m/s²
\(\vec a_{B/A}\): aceleración de B medida por un observador que viaja con A m/s²

Las tres ecuaciones tienen la misma forma. Si te sabes una, te sabes las tres: solo cambias \(\vec r\) por \(\vec v\) o por \(\vec a\).

El truco de los subíndices La letra de la mitad se repite y «se cancela».

Escribe la velocidad de A como \(\vec v_{A/S}\) («de A respecto al suelo», con S de suelo). Entonces la ecuación queda así, y la A que aparece dos veces es la que hace de puente:

\[\vec v_{B/S} = \vec v_{B/A} + \vec v_{A/S}\]

Si lo que te piden es la relativa, la despejas pasando \(\vec v_A\) a restar. Y si cambias el orden de los subíndices, solo cambia el signo:

\[\begin{gathered} \vec v_{B/A} = \vec v_B - \vec v_A \\[6pt] \vec v_{A/B} = \vec v_A - \vec v_B = -\,\vec v_{B/A} \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(\vec v_{B/S},\ \vec v_{A/S}\): otra forma de escribir \(\vec v_B\) y \(\vec v_A\): velocidades respecto al suelo m/s
\(\vec v_{A/B}\): velocidad de A vista por alguien que viaja con B: misma magnitud que \(\vec v_{B/A}\), sentido contrario m/s

Ejemplo: si el tren ve al auto irse hacia atrás a 20 km/h, el auto ve al tren irse hacia adelante a 20 km/h. Misma magnitud, sentido contrario.

La condición que hay que respetar (y que abre el Taller 7)

Esta ecuación tan simple vale solo si el marco de A se traslada sin rotar. O sea: los ejes de A pueden moverse, pero tienen que apuntar siempre en la misma dirección.

Si el marco gira, aparecen términos extra — entre ellos el de Coriolis. Eso es exactamente lo que vas a ver en el Taller 7, y es el mismo \(2\,\dot r\,\dot\theta\) que ya conociste en polares (ahí \(\dot r\) es la rapidez con que cambia el radio, en m/s, y \(\dot\theta\) la rapidez con que gira, en rad/s).

2 El simulador: la misma escena, tres observadores

Dos autos: A va hacia el este a 15 m/s y B va hacia el norte a 11 m/s. El movimiento real no cambia — lo único que cambia es desde dónde lo miras. Dale a Play y luego cambia de observador con los botones.

Los tres vectores (\(x\) ; \(y\))

\(\vec v_A\)—

\(\vec v_B\)—

\(\vec v_{B/A}\)—

\(|\vec v_{B/A}|\)—

t = 0,00 s

Míralo desde

auto A y su velocidad auto B y su velocidad velocidad relativa \(\vec v_{B/A}\) línea punteada gris: de A hasta B, o sea \(\vec r_{B/A}\)

Qué significa cada símbolo del simulador

\(x,\ y\): ejes fijos al suelo: \(x\) hacia el este (derecha) y \(y\) hacia el norte (arriba). Cada vector se escribe como (componente \(x\) ; componente \(y\)) —
\(\vec v_A\): velocidad de A vista desde el suelo: 15 m/s al este, o sea \((15\,;\,0)\) m/s
\(\vec v_B\): velocidad de B vista desde el suelo: 11 m/s al norte, o sea \((0\,;\,11)\) m/s
\(\vec v_{B/A}\): velocidad de B vista desde A. Es \(\vec v_B - \vec v_A\), o sea \((0 - 15\,;\,11 - 0)\), que da \((-15\,;\,11)\) m/s
\(|\vec v_{B/A}|\): magnitud (tamaño) de la relativa: \(\sqrt{15^2 + 11^2} = \sqrt{346} = 18{,}6\) m/s
\(t\): tiempo desde que arranca la escena s

Lo que muestra el simulador

Desde el suelo los dos autos se mueven: A hacia el este y B hacia el norte, y B cruza por delante de A. La cuadrícula (el suelo) está quieta.

Desde A, el auto A está quieto en la pantalla, la cuadrícula se corre hacia atrás y B se le acerca en línea recta y le pasa por delante. Esa recta es la dirección de \(\vec v_{B/A}\), y es lo que de verdad vería el conductor de A.

Desde B pasa lo simétrico, con la flecha exactamente al revés. Por eso \(\vec v_{A/B} = -\,\vec v_{B/A}\).

Y fíjate en el triángulo de la derecha: nunca cambia, mires desde donde mires. Se lee así: sales por \(\vec v_A\) (azul), sigues por \(\vec v_{B/A}\) (verde) y llegas al mismo punto que yendo directo por \(\vec v_B\) (naranja). Eso es \(\vec v_B = \vec v_A + \vec v_{B/A}\) dibujado.

3 Hibbeler 12.25 · el tren y el auto

Enunciado

Un tren viaja a rapidez constante de 60 mi/h y cruza una carretera en dirección 45°. Si el automóvil A viaja a 45 mi/h por la carretera, determine la magnitud y la dirección de la velocidad del tren respecto al automóvil. (El libro trabaja en millas por hora; 1 mi/h = 0,447 m/s.)

Las dos flechas que salen del mismo punto son \(\vec v_A\) (azul) y \(\vec v_T\) (naranja). La verde va de la punta de \(\vec v_A\) a la punta de \(\vec v_T\): esa es \(\vec v_{T/A} = \vec v_T - \vec v_A\). El ángulo de 86,5° se mide desde la carretera (hacia atrás del auto) hasta la flecha verde.

La ruta, antes de la primera cuenta

Pones ejes fijos al suelo y escribes las dos velocidades en componentes.
Restas componente por componente: \(\vec v_{T/A} = \vec v_T - \vec v_A\).
Con las dos componentes sacas la magnitud (Pitágoras) y el ángulo (arcotangente).
Compruebas por otro camino: la ley del coseno en el triángulo.

Respuestas

\(|\vec v_{T/A}| = 42{,}5\ \text{mi/h}\) \(\theta = 86{,}5°\) sobre la carretera, medido desde atrás del auto

En unidades SI: \(42{,}5\ \text{mi/h} \times 0{,}447 = 19{,}0\ \text{m/s}\).

Lo contraintuitivo, y por qué importa

El tren va a 60 y el auto a 45, pero la velocidad relativa no es 15. Restar magnitudes solo vale si los dos van en la misma línea. Aquí van a 45° uno del otro, así que hay que restar vectores — componente por componente.

4 El problema del río

Este es el clásico del tema y cae con mucha frecuencia. Tiene dos versiones y la gente las confunde.

Enunciado

Un río de 80 m de ancho baja con una corriente de 2,5 m/s. Una lancha navega a 5,0 m/s respecto al agua. a) Si apunta la proa perpendicular a la orilla, ¿cuánto tarda en cruzar y cuánto la arrastra la corriente? b) ¿Con qué ángulo debe apuntar para llegar justo enfrente, y cuánto tarda entonces?

La ecuación es la misma de la sección 1, cambiando los nombres: el «observador que se mueve» ahora es el agua del río (R), y lo que se mueve respecto a ella es la lancha (L).

\[\vec v_L = \vec v_R + \vec v_{L/R}\]

Qué significa cada símbolo

\(\vec v_L\): velocidad real de la lancha, vista desde la orilla. Es la flecha naranja: por ahí viaja de verdad m/s
\(\vec v_R\): velocidad del agua del río vista desde la orilla: la corriente, 2,5 m/s a lo largo del río. Flecha azul m/s
\(\vec v_{L/R}\): velocidad de la lancha respecto al agua: 5,0 m/s en la dirección a la que apunta la proa. Es lo único que controla el piloto. Flecha verde m/s

Resultado

ángulo de la proa \(\theta\)—

rapidez de cruce \(v_y\)—

tiempo de cruce \(t\)—

arrastre \(d\)—

\(\vec v_{L/R}\): hacia donde apunta la proa (5,0 m/s) \(\vec v_R\): la corriente (2,5 m/s) \(\vec v_L\): la velocidad real, suma de las dos línea amarilla a trazos: el camino real hasta la otra orilla línea punteada gris: la perpendicular a la orilla; desde ella se mide \(\theta\)

Qué significa cada símbolo del tablero

\(\theta\): ángulo entre la proa y la perpendicular a la orilla, girando contra la corriente grados
\(v_y\): la parte de la velocidad que sirve para cruzar: la componente perpendicular a la orilla m/s
\(t\): tiempo que tarda en llegar a la otra orilla s
\(d\): arrastre: cuánto se corre río abajo respecto al punto de enfrente m

La ruta, antes de la primera cuenta

Ejes fijos a la orilla: \(x\) a lo largo del río (a favor de la corriente) y \(y\) cruzando el río.
Escribes \(\vec v_R\) y \(\vec v_{L/R}\) en componentes y las sumas para tener \(\vec v_L\).
El tiempo de cruce sale solo de la componente \(y\): ancho dividido entre \(v_y\).
El arrastre sale solo de la componente \(x\): \(v_x\) por el tiempo.

Respuestas

a) \(t = 16{,}0\ \text{s}\), arrastre \(d = 40\ \text{m}\) b) \(\theta = 30°\) contra la corriente, \(t = 18{,}5\ \text{s}\)

La moraleja que el problema quiere que veas

Apuntar derecho es más rápido (16 s contra 18,5 s) porque usas los 5 m/s completos para cruzar. Pero terminas 40 m río abajo.

Apuntar en diagonal te lleva justo enfrente, pero gastas parte de tu motor peleando contra la corriente: solo te quedan 4,33 m/s para avanzar. No hay una respuesta “correcta” — depende de qué te pida el enunciado.

5 Cuando se junta con n–t

La versión de parcial suele mezclar movimiento relativo con lo del Taller 4: uno de los dos cuerpos va por una curva, así que su aceleración tiene dos componentes antes de poder restarla.

Enunciado

En el instante mostrado, el auto A viaja por una recta hacia el este a 18 m/s y está desacelerando a 2 m/s². El auto B toma una curva de radio \(\rho = 100\ \text{m}\) viajando hacia el norte a 12 m/s, y está acelerando a 3 m/s² (tangencialmente). El centro de la curva de B queda al este de B. Determine la velocidad y la aceleración de B respecto a A.

B va hacia el norte por una curva cuyo centro C queda al este, a 100 m. Las velocidades están dibujadas a escala entre sí; las dos componentes de la aceleración de B van aparte, en el recuadro, para que no se monten sobre la flecha de \(\vec v_B\): la tangencial (amarilla) apunta al norte y la normal (morada) apunta al este, hacia C.

Para las velocidades usas la ecuación de siempre. Para las aceleraciones usas la misma forma, cambiando \(\vec v\) por \(\vec a\):

\[\begin{gathered} \vec v_{B/A} = \vec v_B - \vec v_A \\[6pt] \vec a_{B/A} = \vec a_B - \vec a_A \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(\vec v_{B/A}\): velocidad de B vista por el conductor de A m/s
\(\vec a_{B/A}\): aceleración de B vista por el conductor de A m/s²
\(\vec a_B,\ \vec a_A\): aceleración de cada auto vista desde el suelo m/s²
\(\rho\): radio de curvatura del camino de B: la distancia de B al centro C de su curva m

La ruta, antes de la primera cuenta

Ejes fijos al suelo: \(x\) al este, \(y\) al norte. Escribes \(\vec v_A\) y \(\vec v_B\) en componentes y restas.
Armas \(\vec a_A\): va en recta, así que solo tiene la parte de frenar.
Armas \(\vec a_B\): va en curva, así que tiene dos partes, la tangencial (dato) y la normal \(v^2/\rho\) (la calculas).
Restas las aceleraciones componente por componente y sacas magnitud y ángulo.

Respuestas

\(|\vec v_{B/A}| = 21{,}6\ \text{m/s}\), a 33,7° al norte del oeste \(|\vec a_{B/A}| = 4{,}56\ \text{m/s}^2\), a 41,1° al norte del este

El paso que se salta todo el mundo

Olvidar la componente normal de la aceleración de B. B va en una curva, así que \(\vec a_B\) tiene dos pedazos: el tangencial que te dan (3 m/s²) y el normal \(v_B^2/\rho = 1{,}44\ \text{m/s}^2\) que tú tienes que calcular. Si solo usas el tangencial te sale \(|\vec a_{B/A}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = 3{,}61\ \text{m/s}^2\) en vez de 4,56 m/s²: la respuesta queda mal.

6 Ponte a prueba

7 La hoja de ruta

Dibuja unos ejes \(x\)–\(y\) fijos al suelo y decide hacia dónde son positivos.
Escribe \(\vec v_A\) y \(\vec v_B\) en componentes. Nada de magnitudes sueltas.
Si alguno va por una curva, su aceleración tiene componente normal \(a_n = v^2/\rho\) además de la tangencial. Calcúlala.
Resta: \(\vec v_{B/A} = \vec v_B - \vec v_A\), componente por componente. Lo mismo con \(\vec a\).
Saca la magnitud con Pitágoras y el ángulo con \(\arctan\). Di respecto a qué eje mediste el ángulo.
Chequeo: \(\vec v_{A/B}\) tiene que darte lo mismo cambiado de signo.

La mnemotecnia, otra vez La letra de la mitad se repite y «se cancela».

\(\vec v_{B/S} = \vec v_{B/A} + \vec v_{A/S}\): B respecto a A, más A respecto al suelo, da B respecto al suelo. Sirve igual con el río: \(\vec v_{L/S} = \vec v_{L/R} + \vec v_{R/S}\).

Si solo te llevas tres frases

1. Todo es \(\vec v_B = \vec v_A + \vec v_{B/A}\), y lo mismo con aceleraciones.

2. Nunca restes magnitudes. Resta componentes.

3. Esta ecuación vale porque el marco de A no gira. Cuando gire, aparece Coriolis — y eso es el Taller 7.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

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