Taller 7 · Principios de Dinámica

Ejes rotatorios y Coriolis

Este es el taller que amarra todo el parcial. Cuando el marco de referencia gira, la ecuación del Taller 6 se queda corta y aparecen dos términos más. Uno de ellos ya lo conoces: es el mismo \(2\,\dot r\,\dot\theta\) de las coordenadas polares. Nunca fueron dos temas.

De dónde sale esto. Hibbeler, Dinámica 12.ª ed., sección 16.8 (análisis de movimiento relativo con ejes rotatorios); Beer, Johnston & Cornwell 9.ª ed., sección 15.10. Es la semana 3 del programa (usando ejes móviles de referencia en rotación, aceleración de Coriolis) y la semana 5 (uniones deslizantes, contacto directo) — que es justo el montaje del punto 1 de todos los parciales. El ejemplo está verificado por dos caminos: la fórmula de los cinco términos y la derivada directa de la posición vista desde el suelo.

1 Por qué la ecuación del Taller 6 no alcanza

En el Taller 6 escribiste \(\vec v_B = \vec v_A + \vec v_{B/A}\), y funcionaba porque los ejes de \(A\) se trasladaban sin girar.

Ahora imagínate que el observador va montado en algo que gira: un carrusel, una plataforma, un brazo ranurado. Ese observador ve el mundo desde unos ejes que están rotando — y eso cambia las cuentas.

La pregunta clave, para saber si estás en este caso

¿El cuerpo que estudias se desliza sobre otro cuerpo que a su vez gira?

Si la respuesta es sí — un pasador en la ranura de un brazo que pivota, un collarín que corre por una barra que gira, una persona caminando en un carrusel — necesitas ejes rotatorios, y va a aparecer Coriolis.

Si los dos cuerpos están unidos por un pasador fijo (no deslizan uno sobre otro), te basta con el Taller 8.

El carrusel: míralo dos veces

Una persona camina en línea recta desde el centro de un carrusel hacia el borde, a rapidez constante de 2 m/s respecto al carrusel. El carrusel gira a 3 rad/s constantes, en sentido antihorario. Para ella el camino es recto y no hay nada raro. Desde el suelo, su camino es una espiral.

En este instante

\(r\)—

\(\dot r\) (relativa)2,00 m/s

\(r\,\Omega\) (arrastre)—

\(|\vec v|\) absoluta—

Coriolis \(2\,\dot r\,\Omega\)12,00 m/s²

centrípeta \(\Omega^2 r\)—

\(|\vec a|\) absoluta—

\(t = 0{,}00\ \text{s}\)

Míralo desde

Qué significa cada símbolo del simulador

\(t\): tiempo desde que la persona sale del centro s
\(r\): distancia de la persona al centro del carrusel; aquí \(r = 2\,t\) m
\(\dot r\): rapidez con que se aleja del centro, medida sobre el carrusel: la velocidad relativa (flecha verde). Vale 2 todo el tiempo m/s
\(\Omega\): velocidad angular del carrusel: qué tan rápido gira. Vale 3, constante, antihoraria rad/s
\(r\,\Omega\): velocidad de arrastre (flecha morada): la que tendría la persona si se quedara parada en ese punto del carrusel. Es perpendicular a la ranura m/s
\(|\vec v|\): rapidez absoluta, la que mide alguien parado en el suelo (flecha naranja punteada): \(\sqrt{\dot r^{\,2} + (r\,\Omega)^2}\) m/s
\(2\,\dot r\,\Omega\): aceleración de Coriolis, perpendicular a la ranura. Aquí vale \(2(2)(3) = 12\) siempre m/s²
\(\Omega^2 r\): aceleración centrípeta de arrastre, apunta hacia el centro y crece con \(r\) m/s²
\(|\vec a|\): magnitud de la aceleración absoluta: \(\sqrt{(\Omega^2 r)^2 + (2\,\dot r\,\Omega)^2}\) m/s²

Lo que muestra el simulador

Desde el suelo el rastro es una espiral: la persona se aleja y a la vez es arrastrada por el giro.

Desde la plataforma el rastro es una recta: es lo que la persona cree que está haciendo. Ahí solo se ve la flecha verde, porque quien gira con el carrusel no ve el arrastre.

Las dos descripciones son ciertas. Y la diferencia entre ellas es justo lo que aportan los términos nuevos de la ecuación.

2 La ecuación completa

Llama \(A\) a un punto del cuerpo que gira (el origen de los ejes rotatorios), \(\vec\Omega\) a la velocidad angular de ese cuerpo y \(B\) al cuerpo que se desliza sobre él. La velocidad de \(B\) tiene tres sumandos:

\[\begin{gathered} \vec v_B = \vec v_A + \vec\Omega \times \vec r_{B/A} \\[4pt] {}+ (\vec v_{B/A})_{\text{rel}} \end{gathered}\]

Y la aceleración de \(B\) tiene cinco:

\[\begin{gathered} \vec a_B = \vec a_A + \dot{\vec\Omega} \times \vec r_{B/A} \\[4pt] {}+ \vec\Omega \times (\vec\Omega \times \vec r_{B/A}) \\[4pt] {}+ 2\,\vec\Omega \times (\vec v_{B/A})_{\text{rel}} \\[4pt] {}+ (\vec a_{B/A})_{\text{rel}} \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(\vec v_B,\ \vec a_B\): velocidad y aceleración absolutas de \(B\): las que mide alguien quieto en el suelo m/s, m/s²
\(\vec v_A,\ \vec a_A\): velocidad y aceleración absolutas del origen \(A\) de los ejes que giran. Si \(A\) es el pivote fijo, las dos valen cero m/s, m/s²
\(\vec\Omega\): velocidad angular del cuerpo que gira (y de los ejes pegados a él). En el plano es \(\Omega\,\hat k\): positiva si gira antihorario rad/s
\(\dot{\vec\Omega}\): aceleración angular de ese cuerpo: qué tan rápido cambia \(\vec\Omega\). Cero si gira a ritmo constante rad/s²
\(\vec r_{B/A}\): vector de posición que va de \(A\) hasta \(B\) m
\((\vec v_{B/A})_{\text{rel}}\): velocidad de \(B\) vista por quien gira con los ejes. Va a lo largo de la ranura m/s
\((\vec a_{B/A})_{\text{rel}}\): aceleración de \(B\) vista por quien gira con los ejes. También va a lo largo de la ranura, si la ranura es recta m/s²
\(\times\): producto cruz: el resultado es perpendicular a los dos vectores que multiplicas —

Se ve fea, pero cada término tiene un nombre y un significado claro. De aquí en adelante se escribe \(\vec r\), \(\vec v_{\text{rel}}\) y \(\vec a_{\text{rel}}\) para abreviar \(\vec r_{B/A}\), \((\vec v_{B/A})_{\text{rel}}\) y \((\vec a_{B/A})_{\text{rel}}\).

\(\vec\Omega \times \vec r\) Arrastre · velocidad Lo que se movería \(B\) si estuviera pegado a la plataforma. Es el giro llevándoselo. Magnitud \(r\,\Omega\), perpendicular a \(\vec r\).

\(\vec v_{\text{rel}}\) Relativa · velocidad Lo que \(B\) se mueve respecto a la plataforma: a lo largo de la ranura. Es lo que ve el observador que gira con ella.

\(\dot{\vec\Omega} \times \vec r\) Arrastre · tangencial La plataforma está cambiando su velocidad de giro. Magnitud \(r\,\dot\Omega\). Si \(\Omega\) es constante, este término vale cero.

\(\vec\Omega \times (\vec\Omega \times \vec r)\) Arrastre · centrípeta Magnitud \(\Omega^2 r\), apunta hacia el centro de giro. Es el \(-r\,\dot\theta^2\) de polares.

\(2\,\vec\Omega \times \vec v_{\text{rel}}\) Coriolis El famoso. Aparece solo si el cuerpo se mueve respecto a la plataforma mientras esta gira. Es perpendicular a \(\vec v_{\text{rel}}\). Es el \(2\,\dot r\,\dot\theta\) de polares, en su forma general.

\(\vec a_{\text{rel}}\) Relativa · aceleración Lo que \(B\) acelera a lo largo de la ranura, visto desde la plataforma. Es el \(\ddot r\) de polares.

Cómo se hacen los productos cruz en el plano

En un problema plano \(\vec\Omega\) siempre apunta según \(\hat k\) (sale de la hoja si el giro es antihorario). Entonces todos los productos cruz se reducen a dos reglas. Multiplicar por \(\hat k\) es girar el vector 90° en sentido antihorario:

\[\begin{gathered} \hat k \times \hat e_r = \hat e_\theta \\[6pt] \hat k \times \hat e_\theta = -\,\hat e_r \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(\hat e_r\): vector unitario (de tamaño 1) que apunta a lo largo de la ranura, alejándose de \(A\) sin unidad
\(\hat e_\theta\): vector unitario perpendicular a la ranura, hacia donde crece el ángulo \(\theta\) (antihorario) sin unidad
\(\hat k\): vector unitario perpendicular a la hoja, saliendo hacia ti sin unidad

Y ahora la revelación

Pon el marco en el brazo que gira, con \(A\) en el pivote (así \(\vec v_A = \vec 0\) y \(\vec a_A = \vec 0\)) y la ranura a lo largo de \(\hat e_r\). Entonces los datos se escriben así:

\[\begin{gathered} \vec r = r\,\hat e_r \qquad \vec\Omega = \dot\theta\,\hat k \\[6pt] \vec v_{\text{rel}} = \dot r\,\hat e_r \qquad \vec a_{\text{rel}} = \ddot r\,\hat e_r \end{gathered}\]

Ahora calcula cada término con las dos reglas del producto cruz. El arrastre de velocidad:

\[\begin{gathered} \vec\Omega \times \vec r = (\dot\theta\,\hat k) \times (r\,\hat e_r) \\[4pt] = r\,\dot\theta\,(\hat k \times \hat e_r) = r\,\dot\theta\,\hat e_\theta \end{gathered}\]

La centrípeta: se toma el resultado anterior y se vuelve a multiplicar por \(\vec\Omega\):

\[\begin{gathered} \vec\Omega \times (\vec\Omega \times \vec r) = (\dot\theta\,\hat k) \times (r\,\dot\theta\,\hat e_\theta) \\[4pt] = r\,\dot\theta^2\,(\hat k \times \hat e_\theta) = -\,r\,\dot\theta^2\,\hat e_r \end{gathered}\]

La tangencial de arrastre, con \(\dot{\vec\Omega} = \ddot\theta\,\hat k\):

\[\begin{gathered} \dot{\vec\Omega} \times \vec r = (\ddot\theta\,\hat k) \times (r\,\hat e_r) \\[4pt] = r\,\ddot\theta\,\hat e_\theta \end{gathered}\]

Y Coriolis:

\[\begin{gathered} 2\,\vec\Omega \times \vec v_{\text{rel}} = 2\,(\dot\theta\,\hat k) \times (\dot r\,\hat e_r) \\[4pt] = 2\,\dot r\,\dot\theta\,\hat e_\theta \end{gathered}\]

Súmalos, juntando lo que va con \(\hat e_r\) por un lado y lo que va con \(\hat e_\theta\) por el otro, y te sale exactamente:

\[\begin{gathered} \vec v = \dot r\,\hat e_r + r\,\dot\theta\,\hat e_\theta \\[6pt] \vec a = (\ddot r - r\,\dot\theta^2)\,\hat e_r \\[4pt] {}+ (r\,\ddot\theta + 2\,\dot r\,\dot\theta)\,\hat e_\theta \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(r\): distancia del pivote \(A\) al pasador \(B\), medida sobre la ranura m
\(\dot r\): rapidez con que \(B\) desliza por la ranura; positiva si se aleja de \(A\) m/s
\(\ddot r\): qué tan rápido cambia \(\dot r\): aceleración de \(B\) a lo largo de la ranura m/s²
\(\theta\): ángulo del brazo, medido en sentido antihorario desde una línea fija rad
\(\dot\theta\): velocidad angular del brazo; es la misma \(\Omega\) rad/s
\(\ddot\theta\): aceleración angular del brazo; es la misma \(\dot\Omega\) rad/s²

Las fórmulas de polares son este caso particular. El Taller 1 y este son el mismo tema mirado desde dos lados.

3 Coriolis, sin misticismo

Coriolis tiene fama de esotérico y no lo es. Es contabilidad: dos efectos que se suman porque las dos cosas pasan a la vez.

De dónde salen los dos sumandos

Efecto 1. Te alejas del centro. Como la velocidad de arrastre es \(r\,\Omega\) y \(r\) está creciendo, esa velocidad tiene que crecer — aunque \(\Omega\) no cambie. Ese crecimiento es una aceleración, y vale \(\dot r\,\Omega\).

Efecto 2. Tu velocidad relativa \(\dot r\) apunta a lo largo de la ranura, y la ranura está girando. Así que la dirección de tu velocidad relativa cambia, y eso también es una aceleración: otro \(\dot r\,\Omega\).

Se ve con las cuentas. La velocidad absoluta es \(\vec v = \dot r\,\hat e_r + r\,\Omega\,\hat e_\theta\). Para derivarla hay que saber que los vectores unitarios también cambian, porque giran con la ranura: \(\dfrac{d\hat e_r}{dt} = \Omega\,\hat e_\theta\) y \(\dfrac{d\hat e_\theta}{dt} = -\,\Omega\,\hat e_r\). Deriva cada sumando con la regla del producto:

\[\begin{gathered} \frac{d}{dt}\big(\dot r\,\hat e_r\big) = \ddot r\,\hat e_r + \underbrace{\dot r\,\Omega\,\hat e_\theta}_{\text{efecto 2}} \\[8pt] \frac{d}{dt}\big(r\,\Omega\,\hat e_\theta\big) = \underbrace{\dot r\,\Omega\,\hat e_\theta}_{\text{efecto 1}} + r\,\dot\Omega\,\hat e_\theta \\[2pt] {}- r\,\Omega^2\,\hat e_r \end{gathered}\]

Los dos pedazos marcados apuntan en la misma dirección, \(\hat e_\theta\), y por eso se suman:

\[\dot r\,\Omega + \dot r\,\Omega = 2\,\dot r\,\Omega\]

Qué significa cada símbolo

\(\dot r\): rapidez con que te alejas del centro, medida sobre la plataforma m/s
\(\Omega\): velocidad angular de la plataforma rad/s
\(\dot\Omega\): aceleración angular de la plataforma (cero si gira a ritmo constante) rad/s²
\(\ddot r\): aceleración a lo largo de la ranura (cero si caminas a rapidez constante) m/s²
\(2\,\dot r\,\Omega\): magnitud de la aceleración de Coriolis. El radián no cuenta como unidad, así que (m/s)(rad/s) queda en m/s²

La prueba de que existe: dispara la pregunta a la inversa

En el ejemplo del carrusel, la persona camina a rapidez constante (2 m/s) en línea recta — según ella. Y sin embargo, cuando va a 0,50 m del centro, su aceleración absoluta es de 12,8 m/s². Sale de combinar dos componentes perpendiculares: 12 m/s² de Coriolis y 4,5 m/s² de centrípeta.

Eso es más que la gravedad (9,81 m/s²). Por eso caminar derecho en un carrusel que gira rápido es tan difícil: algo te empuja de lado todo el tiempo, y ese algo es exactamente lo que hace falta para que tu velocidad tangencial vaya creciendo mientras te alejas.

Situación	\(\dot r\)	\(\Omega\)	¿Hay Coriolis?
Sentado en el carrusel	\(0\)	\(\neq 0\)	No. Solo centrípeta \(\Omega^2 r\).
Caminas en piso quieto	\(\neq 0\)	\(0\)	No. No hay nada girando.
Caminas en el carrusel	\(\neq 0\)	\(\neq 0\)	Sí, y suele ser el término más grande.

Truco: hacia dónde apunta Coriolis Gira \(\vec v_{\text{rel}}\) \(90^\circ\) hacia donde gira \(\Omega\), y multiplícala por \(2\,\Omega\).

Es lo mismo que dice la regla \(\hat k \times \hat e_r = \hat e_\theta\), sin escribir el producto cruz. En el ejemplo de la sección 4, \(\vec v_{\text{rel}} = 2\,\hat e_r\ \text{m/s}\) y la plataforma gira antihorario: girada \(90^\circ\) antihorario queda según \(\hat e_\theta\), y su tamaño es \(2\,(3)(2) = 12\ \text{m/s}^2\). Si la plataforma girara en sentido horario, la misma flecha se giraría hacia el otro lado y Coriolis apuntaría según \(-\hat e_\theta\).

4 El ejemplo, completo

Enunciado Una plataforma gira con velocidad angular constante de \(\Omega = 3\ \text{rad/s}\) (antihorario). Un collarín se desliza por una ranura radial, alejándose del centro con \(\dot r = 2\ \text{m/s}\) constantes respecto a la plataforma. En el instante en que \(r = 0{,}50\ \text{m}\), determina la velocidad y la aceleración absolutas del collarín.

La figura muestra el instante del problema, con la ranura dibujada horizontal para que \(\hat e_r\) quede hacia la derecha y \(\hat e_\theta\) hacia arriba. Verde: la velocidad relativa. Azul y amarillo: los dos términos de aceleración que no valen cero. Naranja punteado: su suma.

Ruta: la estrategia antes de la primera cuenta

Pega el marco a la plataforma con el origen \(A\) en el centro: así \(\vec v_A\) y \(\vec a_A\) valen cero.
Traduce cada «constante» en un cero: \(\Omega\) constante anula \(\dot{\vec\Omega}\); \(\dot r\) constante anula \(\vec a_{\text{rel}}\).
Velocidad primero (tres términos): el arrastre que sale de ahí se vuelve a usar en la centrípeta.
Aceleración después (cinco términos), y al final se comprueba derivando la posición vista desde el suelo.

Respuestas

\(|\vec v_B| = 2{,}50\ \text{m/s}\) \(|\vec a_B| = 12{,}8\ \text{m/s}^2\)

Chequeo sin repetir la cuenta

Con polares. Con \(\dot\theta = \Omega = 3\ \text{rad/s}\), \(\ddot\theta = 0\) y \(\ddot r = 0\), las dos componentes del Taller 1 dan:

\[\begin{gathered} a_r = \ddot r - r\,\dot\theta^2 = 0 - (0{,}50)(9) \\[4pt] a_r = -4{,}50\ \text{m/s}^2 \\[8pt] a_\theta = r\,\ddot\theta + 2\,\dot r\,\dot\theta = 0 + 2(2)(3) \\[4pt] a_\theta = 12{,}00\ \text{m/s}^2 \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(a_r\): componente de la aceleración absoluta según \(\hat e_r\), a lo largo de la ranura; negativa quiere decir hacia el centro m/s²
\(a_\theta\): componente de la aceleración absoluta según \(\hat e_\theta\), perpendicular a la ranura m/s²

Los mismos dos números del paso 3.

Casos límite. Si la plataforma no girara (\(\Omega = 0\)), solo quedaría \(\vec a_{\text{rel}} = \vec 0\): caminar derecho a rapidez constante en piso quieto no acelera. Si el collarín estuviera quieto en la ranura (\(\dot r = 0\)), quedaría solo la centrípeta, \(4{,}50\ \text{m/s}^2\). Y Coriolis no depende de \(r\): en \(r = 1\ \text{m}\) sigue valiendo \(12\ \text{m/s}^2\), mientras la centrípeta sube a \(9\ \text{m/s}^2\).

5 Cómo saber cuál ecuación usar

Esta es la decisión que hay que tomar al leer el enunciado, y es lo que separa un punto bueno de uno perdido.

Cómo están unidos	Qué usas	Ejemplo típico
Los dos cuerpos no se tocan (dos autos, un bote y el río)	\(\vec v_B = \vec v_A + \vec v_{B/A}\) ejes en traslación	Taller 6
Unidos por un pasador fijo (dos barras articuladas)	\(\vec v_B = \vec v_A + \vec\omega \times \vec r_{B/A}\) cuerpo rígido	Taller 8
Uno desliza sobre el otro y ese otro gira	La ecuación completa de la sección 2, con Coriolis	Este taller · y el punto 1 de todos los parciales

Qué significa cada símbolo

\(\vec v_{B/A}\): velocidad de \(B\) vista desde \(A\) con ejes que no giran m/s
\(\vec\omega\): velocidad angular del cuerpo rígido que contiene a \(A\) y a \(B\) rad/s
\(\vec r_{B/A}\): vector de \(A\) a \(B\); en un cuerpo rígido su tamaño no cambia m

La pregunta de una línea

¿Hay algo deslizándose a lo largo de algo que gira?

Si sí → Coriolis. Si no → no.

Y en el punto 1 de los parciales, la respuesta siempre es sí: el pasador se desliza por la ranura del brazo, y el brazo gira. Por eso el término \(2\,\dot r\,\dot\theta\) aparece siempre, y por eso olvidarlo cuesta el punto.

La trampa de la semana 5 El programa la llama “uniones deslizantes, contacto directo”. Cuando veas dos puntos que coinciden en el espacio pero pertenecen a cuerpos distintos —uno en la ranura, otro en el pasador— no confundas sus velocidades. Tienen la misma posición, no la misma velocidad: las separa justamente \(\vec v_{\text{rel}}\).

6 Ponte a prueba

7 La hoja de ruta

Pregúntate: ¿algo desliza sobre algo que gira? Si no, usa el Taller 6 u 8 y listo.
Pega el marco al cuerpo que gira, con el origen \(A\) en su pivote (así \(\vec v_A = \vec 0\) y \(\vec a_A = \vec 0\), y te ahorras dos términos).
Identifica \(\vec\Omega\) y \(\dot{\vec\Omega}\) del cuerpo que gira.
Identifica \(\vec v_{\text{rel}}\) y \(\vec a_{\text{rel}}\): siempre a lo largo de la ranura.
Arma los cinco términos de la aceleración. Subraya el Coriolis antes de sumar, y dale su dirección con el truco: \(\vec v_{\text{rel}}\) girada \(90^\circ\) hacia donde gira \(\Omega\).
Chequeo: si el montaje es un pasador en ranura radial, tienen que salirte las mismas fórmulas de polares del Taller 1.

Si solo te llevas tres frases

1. Coriolis aparece cuando te mueves respecto a algo que gira. Las dos cosas a la vez, o no aparece.

2. El 2 no es arbitrario: son dos efectos distintos del mismo tamaño.

3. Polares no es otro tema. Es este, con el marco pegado al brazo.

Y con esto cierras el Parcial 1 Rectilínea (T2) · curvilíneo y proyectiles (T3) · n–t (T4) · el origen y las poleas (T5) · relativo (T6) · cuerpo rígido (T8) · y estos dos, polares (T1) y Coriolis (T7), que son la misma cosa. Ya está todo.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

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