Taller 8 · Principios de Dinámica

Cinemática de cuerpo rígido

Hasta aquí todo eran puntos. Ahora el cuerpo tiene tamaño, y eso cambia una cosa: sus puntos no se pueden separar. Esa restricción es exactamente lo que te deja resolver el problema, y se escribe con una sola ecuación.

De dónde sale esto. Hibbeler, Dinámica 12.ª ed., secciones 16.1 a 16.6; Beer, Johnston & Cornwell 9.ª ed., capítulo 15. Corresponde a las semanas 3 y 4 del programa (movimiento plano de un cuerpo rígido, traslación, rotación, centro instantáneo de rotación, análisis de movimiento relativo) y es el punto 3 del Parcial 1. El Parcial 2 lo vuelve a cobrar: por eso este taller es también el primero de la ruta del Parcial 2. El ejemplo de la barra que se desliza está verificado por tres caminos independientes y contra la derivada numérica de la geometría.

1 Tres movimientos, no uno

Traslación Todos los puntos igual El cuerpo se mueve pero no gira: \(\omega = 0\). Todos sus puntos tienen la misma velocidad y la misma aceleración. Es el caso más simple: se resuelve como una partícula.

Rotación Alrededor de un eje fijo Hay un punto que no se mueve. Todos los demás describen círculos alrededor de él. Una polea, una manivela, una puerta.

Plano general Traslación + rotación Lo más común, y lo que cae en el parcial: una barra que se desliza, una biela, una rueda que rueda. Se descompone en las dos anteriores.

Rotación pura: el caso que hay que tener automático

Si el cuerpo gira alrededor de un punto fijo \(O\), cualquier punto \(P\) a distancia \(r\) del eje describe un círculo de radio \(r\). Y un punto que va en círculo ya lo sabes tratar desde el Taller 4 (coordenadas normal y tangencial), con \(\rho = r\):

\[\begin{gathered} v = \omega\,r \\[6pt] a_t = \alpha\,r \\[6pt] a_n = \omega^2 r = \frac{v^2}{r} \end{gathered}\]

Qué significa cada símbolo

\(r\): distancia del punto \(P\) al eje de giro \(O\) m
\(\omega\): velocidad angular del cuerpo: qué tan rápido gira (se lee «omega») rad/s
\(\alpha\): aceleración angular: qué tan rápido cambia \(\omega\) (se lee «alfa») rad/s²
\(v\): rapidez del punto \(P\); la velocidad es tangente al círculo m/s
\(a_t\): aceleración tangencial: cambia la rapidez de \(P\) m/s²
\(a_n\): aceleración normal: apunta de \(P\) hacia el eje y cambia la dirección de la velocidad m/s²

Las dos formas de \(a_n\) son la misma cuenta: como \(v = \omega r\), entonces \(v^2/r = (\omega r)^2/r = \omega^2 r\).

Radianes, siempre

\(\omega\) va en rad/s y \(\alpha\) en rad/s². Si te dan revoluciones por minuto, conviertes así: una vuelta son \(2\pi\) rad y un minuto son 60 s.

\[\begin{gathered} 1\ \text{rpm} = \frac{2\pi\ \text{rad}}{60\ \text{s}} = 0{,}1047\ \text{rad/s} \\[8pt] 600\ \text{rpm} = 600 \times \frac{2\pi}{60}\ \text{rad/s} \\[4pt] = 62{,}83\ \text{rad/s} \end{gathered}\]

Meter 600 en la fórmula en vez de 62,83 da un resultado casi diez veces más grande.

2 La ecuación del movimiento plano general

Es la misma del Taller 6, \(\vec v_B = \vec v_A + \vec v_{B/A}\), pero con una ventaja enorme: como \(A\) y \(B\) están en el mismo cuerpo rígido, la distancia entre ellos no puede cambiar. Entonces, visto desde \(A\), el punto \(B\) solo puede hacer una cosa: girar alrededor de \(A\).

\[\vec v_B = \vec v_A + \vec\omega \times \vec r_{B/A}\]

Qué significa cada símbolo

\(\vec v_A\): velocidad del punto \(A\) del cuerpo (normalmente el punto del que tienes datos) m/s
\(\vec v_B\): velocidad del punto \(B\) del mismo cuerpo (normalmente la que buscas) m/s
\(\vec\omega\): velocidad angular del cuerpo. En el plano es un vector perpendicular al papel: \(\vec\omega = \omega\,\hat k\), con \(\omega\) positivo si el giro es antihorario rad/s
\(\vec r_{B/A}\): vector que va desde \(A\) hasta \(B\): \(\vec r_{B/A} = \vec r_B - \vec r_A\) (se lee «\(B\) respecto a \(A\)») m
\(\vec\omega \times \vec r_{B/A}\): velocidad de \(B\) vista desde \(A\); es el \(\vec v_{B/A}\) del Taller 6 m/s

Qué significa \(\vec\omega \times \vec r_{B/A}\), sin álgebra vectorial

Es simplemente la velocidad de \(B\) vista desde \(A\). Y como \(B\) solo puede girar alrededor de \(A\), esa velocidad:

· tiene magnitud \(\omega\,r_{B/A}\) (velocidad angular por la distancia entre \(A\) y \(B\)),

· es perpendicular a la línea \(AB\),

· apunta en el sentido del giro.

Eso es todo. Si te cuesta el producto cruz, dibuja la barra, mide \(r_{B/A}\), multiplica por \(\omega\) y pon la flecha perpendicular. Da lo mismo.

Y en componentes, si lo prefieres mecánico

Escribe \(\vec\omega = \omega\,\hat k\) y \(\vec r_{B/A} = r_x\,\hat\imath + r_y\,\hat\jmath\). Los dos productos que hacen falta son \(\hat k \times \hat\imath = \hat\jmath\) y \(\hat k \times \hat\jmath = -\hat\imath\). Entonces:

\[\begin{gathered} \vec\omega \times \vec r_{B/A} = \omega\,\hat k \times (r_x\,\hat\imath + r_y\,\hat\jmath) \\[6pt] = \omega\,r_x\,\hat\jmath - \omega\,r_y\,\hat\imath \\[6pt] \vec\omega \times \vec r_{B/A} = (\,-\omega\,r_y\ ;\ +\omega\,r_x\,) \end{gathered}\]

La receta de memoria: intercambia las componentes de \(\vec r\), cámbiale el signo a la primera y multiplica por \(\omega\). Con \(\omega \gt 0\) antihorario, esta forma es infalible y no hay que pensar en sentidos.

Qué significa cada símbolo

\(\hat\imath,\ \hat\jmath\): vectores unitarios de los ejes \(x\) (hacia la derecha) y \(y\) (hacia arriba) sin unidad
\(\hat k\): vector unitario que sale del papel hacia ti; alrededor de él se mide el giro antihorario sin unidad
\(r_x,\ r_y\): componentes de \(\vec r_{B/A}\): cuánto hay que moverse en \(x\) y en \(y\) para ir de \(A\) a \(B\) m
\((a\ ;\ b)\): un vector escrito por componentes: \(a\) en \(x\) y \(b\) en \(y\). Se separan con punto y coma porque la coma ya es el decimal —

Truco: el producto cruz en el plano, de memoria Intercambia, voltea el primero, multiplica por \(\omega\).

Pruébalo con la barra de la sección 3 en \(\theta = 30^\circ\): \(\vec r_{B/A} = (-1{,}732\ ;\ 1)\ \text{m}\) y \(\omega = 2\ \text{rad/s}\). Intercambias: \((1\ ;\ -1{,}732)\). Volteas el primero: \((-1\ ;\ -1{,}732)\). Por \(\omega\): \((-2{,}00\ ;\ -3{,}46)\ \text{m/s}\). Sumado con \(\vec v_A = (2\ ;\ 0)\) da \(\vec v_B = (0\ ;\ -3{,}46)\ \text{m/s}\): \(B\) baja pegado a la pared, como debe. La misma receta sirve para \(\vec\alpha \times \vec r_{B/A}\), multiplicando por \(\alpha\).

3 El simulador: la barra que resbala

El problema clásico, y el molde de casi todos. Una barra de largo \(L = 2\ \text{m}\) con el extremo \(A\) deslizando sobre el piso y el extremo \(B\) sobre la pared. \(A\) se aleja de la pared a \(v_A = 2\ \text{m/s}\) constantes.

Mueve el ángulo y fíjate en algo raro: \(v_B\) cambia muchísimo aunque \(v_A\) sea siempre la misma.

\(v_A\), el dato\(v_B\), a la misma escala que \(v_A\)centro instantáneo y sus distancias \(d_A\), \(d_B\)sentido de giro de la barra

En este instante

\(\theta\)—

\(v_A\) (dato)2,000 m/s →

\(\omega\) de la barra—

\(v_B\)—

\(d_A\) (CIR a \(A\))—

\(d_B\) (CIR a \(B\))—

\(v_A\cos\theta\)—

\(v_B\,\text{sen}\,\theta\)—

Ángulo de la barra

Qué significa cada símbolo del simulador

\(\theta\): ángulo entre la barra y el piso, medido en \(A\) grados
\(v_A\): rapidez del extremo \(A\), hacia la derecha; es el dato y no cambia m/s
\(v_B\): rapidez del extremo \(B\), hacia abajo m/s
\(\omega\): velocidad angular de la barra, antihoraria rad/s
CIR: centro instantáneo de rotación: el punto alrededor del cual gira la barra en ese instante (sección 4) —
\(d_A,\ d_B\): distancias del CIR a \(A\) y a \(B\): \(d_A = L\,\text{sen}\,\theta\) y \(d_B = L\cos\theta\) m
\(v_A\cos\theta,\ v_B\,\text{sen}\,\theta\): lo que cada extremo avanza a lo largo de la barra. Tienen que ser iguales: si no, la barra se estaría estirando m/s

Por qué \(v_B\) se dispara cuando la barra se acuesta

Junta las dos lecturas del tablero. De \(A\) sale \(\omega\), y con \(\omega\) sale \(v_B\):

\[\begin{gathered} \omega = \frac{v_A}{d_A} = \frac{v_A}{L\,\text{sen}\,\theta} \\[6pt] v_B = \omega\,d_B = \frac{v_A}{L\,\text{sen}\,\theta}\,L\cos\theta \\[6pt] v_B = \frac{v_A}{\tan\theta} \end{gathered}\]

Con \(\theta\) pequeño la tangente es pequeña y el cociente crece. En \(\theta = 75°\) el extremo \(B\) baja a \(2/\tan 75° = 0{,}54\ \text{m/s}\), y en \(\theta = 20°\) baja a \(2/\tan 20° = 5{,}49\ \text{m/s}\), con la misma velocidad de \(A\). La geometría es la que manda.

4 El centro instantáneo (CIR)

Aquí está el atajo que más tiempo ahorra en el parcial. En cada instante, un cuerpo en movimiento plano general tiene las velocidades que tendría si estuviera rotando alrededor de un punto: el centro instantáneo de rotación.

Cómo encontrarlo, en tres trazos

1. Dibuja la velocidad de un punto y traza una perpendicular a ella que pase por ese punto.

2. Haz lo mismo con otro punto.

3. Donde se cruzan las dos perpendiculares, ahí está el CIR.

En el simulador son las dos líneas punteadas. En este problema el CIR cae en la cuarta esquina del rectángulo que forman la pared, el piso y esas dos perpendiculares.

Y una vez lo tienes, todo el cuerpo rota alrededor de él:

\[v_P = \omega\,d_P\]

Qué significa cada símbolo

\(P\): cualquier punto del cuerpo —
\(v_P\): rapidez de ese punto. Su dirección es perpendicular a la línea que lo une con el CIR m/s
\(\omega\): velocidad angular del cuerpo; es la misma para todos sus puntos rad/s
\(d_P\): distancia del punto \(P\) al CIR m

Así que si conoces la velocidad de un punto, sacas \(\omega\) de una división (\(\omega = v_A/d_A\)), y con ella la velocidad de todos los demás (\(v_B = \omega\,d_B\)). Sin productos cruz, sin componentes.

Las tres cosas que hay que saber del CIR

1 · Se mueve. Es instantáneo: en el siguiente instante está en otro lado. Por eso no sirve para aceleraciones: el punto que ahora tiene velocidad cero un instante después ya no la tiene, así que su aceleración no es cero. En la barra de este taller, en \(\theta = 30°\), el punto que coincide con el CIR tiene una aceleración de \(8{,}00\ \text{m/s}^2\) (la cuenta está al final de la sección 5).

2 · Puede caer fuera del cuerpo. No tiene que ser un punto material. En una rueda de radio \(R\) que rueda sin resbalar, el CIR es el punto de contacto con el piso. Por eso ese punto tiene velocidad cero, el centro (a distancia \(R\) del CIR) va a \(\omega R\) y el punto más alto (a distancia \(2R\)) va a \(2\,\omega R\).

3 · Si las dos velocidades son paralelas e iguales, las perpendiculares también son paralelas y no se cruzan: el CIR se va al infinito, lo que significa que \(\omega = 0\) y el cuerpo está en traslación pura en ese instante. Si son paralelas pero distintas (como el centro y el punto más alto de la rueda), los dos puntos están sobre la misma perpendicular y el CIR queda en esa línea: lo ubicas uniendo las puntas de las dos flechas, dibujadas a la misma escala, y prolongando hasta cortar la perpendicular. En la rueda, esa recta pasa por \(2\,\omega R\) a la altura \(2R\) y por \(\omega R\) a la altura \(R\), así que llega a cero justo en el punto de contacto.

5 El problema resuelto, por los tres caminos

El mismo problema del simulador, en \(\theta = 30°\), resuelto de tres formas distintas. Datos: \(L = 2\ \text{m}\), \(v_A = 2\ \text{m/s}\) constante hacia la derecha, \(\text{sen}\,30° = 0{,}5\) y \(\cos 30° = 0{,}8660\). Se pide \(\omega\), \(v_B\), y después \(\alpha\) y \(a_B\). Compara los caminos y quédate con el que te salga natural.

Ruta: la estrategia antes de la primera cuenta

Mira las guías: \(A\) solo puede moverse en \(x\) (piso) y \(B\) solo en \(y\) (pared). Eso te dice la dirección de las dos velocidades.
Velocidades primero: con el CIR o con la ecuación; la componente que la guía anula, \(v_{Bx} = 0\), te entrega \(\omega\) sola.
Aceleraciones después, con la ecuación completa, el mismo \(\vec r_{B/A}\) y la \(\omega\) ya hallada; la guía vuelve a anular una componente, \(a_{Bx} = 0\), y te da \(\alpha\).
Chequea que la barra no se estire: lo que avanzan \(A\) y \(B\) a lo largo de la barra tiene que ser igual.

Respuestas

\(\omega = 2{,}00\ \text{rad/s}\) antihorario \(v_B = 3{,}46\ \text{m/s}\) ↓ \(\alpha = 6{,}93\ \text{rad/s}^2\) antihorario \(a_B = 16{,}0\ \text{m/s}^2\) ↓

Chequeo sin repetir la cuenta

La barra no se estira. Lo que cada extremo avanza a lo largo de la barra:

\[\begin{gathered} v_A\cos 30^\circ = 2\,(0{,}8660) \\[2pt] = 1{,}732\ \text{m/s} \\[8pt] v_B\,\text{sen}\,30^\circ = 3{,}464\,(0{,}5) \\[2pt] = 1{,}732\ \text{m/s} \end{gathered}\]

Iguales ✓.

Caso límite y signo. Con la barra parada (\(\theta \to 90^\circ\)) el CIR cae en \(B\) y \(v_B = v_A/\tan\theta \to 0\): \(B\) apenas baja. Y como \(\omega = v_A/(L\,\text{sen}\,\theta)\) crece a medida que la barra se acuesta, la barra gira cada vez más rápido en el mismo sentido: \(\alpha\) tiene que salir antihoraria, igual que \(\omega\). Salió así.

6 Aceleraciones: el mismo molde, un término más

\[\vec a_B = \vec a_A + \vec\alpha \times \vec r_{B/A} - \omega^2\,\vec r_{B/A}\]

Qué significa cada símbolo

\(\vec a_A,\ \vec a_B\): aceleraciones de los puntos \(A\) y \(B\) del cuerpo m/s²
\(\vec\alpha\): aceleración angular del cuerpo: \(\vec\alpha = \alpha\,\hat k\), con \(\alpha\) positivo si es antihoraria rad/s²
\(\omega\): velocidad angular del cuerpo, la que sacaste con las velocidades rad/s
\(\vec r_{B/A}\): vector que va desde \(A\) hasta \(B\), el mismo de la sección 2 m

Los dos términos nuevos son exactamente las componentes tangencial y normal del Taller 4, aplicadas al giro de \(B\) alrededor de \(A\):

\(\vec\alpha \times \vec r_{B/A}\) Tangencial Magnitud \(\alpha\,r_{B/A}\), perpendicular a \(AB\). Es lo que aporta el cambio de la velocidad angular. En componentes se calcula igual que en la sección 2: \((\,-\alpha\,r_y\ ;\ +\alpha\,r_x\,)\).

\(-\,\omega^2\,\vec r_{B/A}\) Normal (centrípeta) Magnitud \(\omega^2 r_{B/A}\), apuntando de \(B\) hacia \(A\): eso es lo que dice el signo menos, porque \(\vec r_{B/A}\) va de \(A\) hacia \(B\). Existe siempre que haya giro, aunque \(\alpha\) sea cero.

Los dos errores que cuestan el punto 3

1 · Usar el CIR para aceleraciones. No sirve. El CIR tiene velocidad cero pero no aceleración cero. Para aceleraciones toca la ecuación completa.

2 · Olvidar el término \(-\omega^2\,\vec r_{B/A}\). Es el gemelo del que se olvida en polares. Si el cuerpo gira, ese término está ahí aunque \(\alpha = 0\).

El orden que funciona Siempre primero velocidades, después aceleraciones, porque el término \(-\omega^2\,\vec r_{B/A}\) necesita la \(\omega\) que sacaste en el paso anterior. Si intentas hacer las dos a la vez, te trabas.

7 Ponte a prueba

8 La hoja de ruta

Identifica qué tipo de movimiento es: traslación, rotación pura, o plano general.
Marca los puntos cuya velocidad conoces en dirección (los que están en guías, pasadores o contactos).
Para velocidades: usa el CIR si a las dos direcciones es fácil trazarles la perpendicular, o \(\vec v_B = \vec v_A + \vec\omega \times \vec r_{B/A}\) si prefieres componentes (el truco: intercambia, voltea el primero, multiplica por \(\omega\)).
Saca \(\omega\) antes de tocar aceleraciones.
Para aceleraciones: la ecuación completa, con los dos términos. Nunca el CIR.
Chequeo: la componente de \(\vec v_B\) a lo largo de \(AB\) tiene que ser igual a la de \(\vec v_A\). Si no, el cuerpo se estaría estirando.

Si solo te llevas tres frases

1. Visto desde \(A\), el punto \(B\) solo puede girar alrededor de \(A\). De ahí sale todo.

2. El CIR es un atajo buenísimo para velocidades y una trampa para aceleraciones.

3. El término \(-\omega^2\,\vec r_{B/A}\) existe aunque \(\alpha\) sea cero.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

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