Taller 9 de 13 · Principios de Dinámica
Cinética de partícula: segunda ley de Newton
Hasta ahora describías el movimiento sin preguntarte por qué. Aquí entran las fuerzas. Y el método es el mismo de toda la Estática —diagrama de cuerpo libre y ecuaciones— con una diferencia: el lado derecho ya no es cero.
De dónde sale esto. Hibbeler Dinámica 12.ª ed., capítulo 13; Beer & Johnston 9.ª ed., cap. 12. Semana 7 del programa: «CINÉTICA DE PARTÍCULA. Segunda ley de Newton. Ecuación de movimiento».
1 La ecuación de movimiento
\textstyle\sum \vec F = m\vec a
Qué significa cada símbolo
- \sum \vec F
- suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula (la fuerza neta) · N
- m
- masa de la partícula · kg
- \vec a
- aceleración de la partícula; apunta hacia donde apunta la fuerza neta · m/s²
Y en cada sistema de coordenadas se escribe con las componentes que ya conoces de los talleres anteriores:
\begin{gathered}\text{Cartesianas:}\\[2pt] \sum F_x = ma_x \qquad \sum F_y = ma_y\\[2pt] \sum F_z = ma_z\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
- \sum F_x,\ \sum F_y,\ \sum F_z
- suma de las componentes de las fuerzas en cada eje · N
- a_x,\ a_y,\ a_z
- componentes de la aceleración en cada eje · m/s²
\begin{gathered}\text{Normal-tangencial:}\\[2pt] \sum F_t = m\dot v \qquad \sum F_n = m\dfrac{v^2}{\rho}\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
- \sum F_t
- suma de fuerzas en la dirección tangente a la trayectoria (la del movimiento) · N
- \sum F_n
- suma de fuerzas en la dirección normal, hacia el centro de la curva · N
- \dot v
- cuánto cambia la rapidez por segundo (aceleración tangencial) · m/s²
- v
- rapidez de la partícula · m/s
- \rho
- radio de curvatura de la trayectoria en ese punto · m
\begin{gathered}\text{Polares:}\\[2pt] \sum F_r = m(\ddot r - r\dot\theta^2)\\[2pt] \sum F_\theta = m(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
- \sum F_r,\ \sum F_\theta
- suma de fuerzas en la dirección radial y en la transversal · N
- r
- distancia de la partícula al origen · m
- \dot r,\ \ddot r
- velocidad y aceleración con que cambia esa distancia · m/s y m/s²
- \dot\theta,\ \ddot\theta
- velocidad angular y aceleración angular de la línea radial · rad/s y rad/s²
Todo encaja
Fíjate en que el lado derecho de la versión polar es exactamente la aceleración del taller 1, Coriolis incluido. No es un tema nuevo: es la cinemática que ya hiciste, multiplicada por la masa e igualada a las fuerzas.
2 Míralo primero: un bloque en un plano inclinado
Antes de las cuentas, juega con esto. Un bloque se suelta quieto sobre un plano inclinado. Sobre él solo actúan tres fuerzas: su peso, que siempre apunta hacia abajo; la normal, con la que el plano lo empuja en perpendicular; y la fricción, que va a lo largo del plano y se opone a que resbale. Mueve el ángulo, la fricción y la masa, y mira qué le pasa a cada flecha.
peso mgnormal Nfricción faceleración a (punteada)
30°
0,40
5,0 kg
Fuerzas sobre el bloque
Peso mg—
Tira cuesta abajo mg\,\text{sen}\,\theta—
Normal N = mg\cos\theta—
Fricción máxima \mu N—
Fricción que actúa f—
Aceleración a—
Las tres fuerzas están dibujadas a la misma escala: compara sus largos. Las líneas de puntos parten el peso en dos: la parte que va a lo largo del plano y la parte perpendicular a él.
Qué significa cada símbolo
- mg
- peso del bloque: masa por gravedad, con \(g = 9{,}81\ \text{m/s}^2\) · N
- \theta
- ángulo del plano respecto a la horizontal · °
- mg\,\text{sen}\,\theta
- la parte del peso que tira del bloque cuesta abajo, a lo largo del plano · N
- N = mg\cos\theta
- fuerza normal: la parte del peso que aprieta el bloque contra el plano, devuelta por el plano · N
- \mu
- coeficiente de fricción entre el bloque y el plano (aquí se usa el mismo para arrancar y para deslizar) · sin unidad
- \mu N
- lo máximo que puede aguantar la fricción · N
- f
- la fricción que de verdad actúa: solo la necesaria si el bloque está quieto, y \(\mu N\) si desliza · N
- a
- aceleración del bloque a lo largo del plano · m/s²
- Sube el ángulo. La flecha azul de la normal se encoge: vale mg\cos\theta, no mg. Solo son iguales con el plano horizontal.
- Busca el momento en que arranca. El bloque aguanta quieto mientras mg\,\text{sen}\,\theta \le \mu N, es decir, mientras \tan\theta \le \mu. Con \mu = 0{,}40 eso pasa hasta \theta = 21{,}8^\circ.
- Mueve la masa. Cambian todas las fuerzas, pero ni el veredicto ni la aceleración: la masa se cancela, porque a = g(\text{sen}\,\theta - \mu\cos\theta).
3 El procedimiento, que es el de siempre
- Diagrama de cuerpo libre, exactamente igual que en Estática 6.
- Elegir el sistema de coordenadas según la trayectoria: cartesianas si es recta o parabólica, n-t si es curva, polares si algo gira y desliza.
- Escribir \sum F = ma en cada dirección.
- Añadir la cinemática que relacione las aceleraciones si hay varios cuerpos unidos.
Truco
«Primero la dirección quieta.» En la dirección en que el cuerpo no se mueve (perpendicular al piso o al plano), la suma de fuerzas es cero: de ahí sale N. Con N sale la fricción f = \mu N. Y solo entonces se escribe \sum F = ma en la dirección del movimiento. Se comprueba sola: si la usas, nunca te queda una fricción calculada con un N que no planteaste.
El error que arrastra todo lo demás
La fuerza normal no siempre vale mg. En un plano inclinado es mg\cos\theta; si hay una fuerza aplicada con componente vertical, hay que sumarla o restarla; en un bucle vertical cambia a cada instante. Y como la fricción es f = \mu N, un error en N se propaga a todo el problema.
Qué significa cada símbolo
- N
- fuerza normal: con cuánta fuerza la superficie empuja al cuerpo, perpendicular a ella · N
- mg
- peso del cuerpo: masa por la gravedad, con \(g = 9{,}81\ \text{m/s}^2\) · N
- \theta
- ángulo del plano inclinado respecto a la horizontal · ° o rad
- f
- fuerza de fricción cuando el cuerpo desliza; va en contra del movimiento · N
- \mu
- coeficiente de fricción entre las dos superficies · sin unidad
4 Ejemplo: bloque arrastrado con fricción
Enunciado. Un bloque de 50\ \text{kg} se arrastra por el suelo con una fuerza de P = 200\ \text{N} inclinada 20^\circ hacia arriba respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción cinética es \mu_k = 0{,}3. Encuentra la aceleración.
Ruta
Partir P en componentes. Plantear la vertical, donde no hay aceleración, para sacar N. Con N, la fricción. Y con todo eso, \sum F_x = ma en la horizontal.
El peso del bloque.
W = mg = 50(9{,}81) = 490{,}5\ \text{N}
La fuerza inclinada se parte en dos componentes: una horizontal, con el coseno, y una vertical hacia arriba, con el seno.
\begin{gathered}P_x = 200\cos 20^\circ = 187{,}9\ \text{N}\\ P_y = 200\,\text{sen}\,20^\circ = 68{,}4\ \text{N}\end{gathered}
Vertical primero: el bloque no se despega ni se hunde, así que no hay aceleración en y. Hacia arriba van la normal y P_y; hacia abajo, el peso.
\begin{gathered}\sum F_y = 0:\\ N + 68{,}4 - 490{,}5 = 0\end{gathered}
Despejamos la normal. La componente vertical de P alivia el peso: la normal NO vale mg = 490{,}5\ \text{N}.
N = 490{,}5 - 68{,}4 = 422{,}1\ \text{N}
La fricción sale de esa normal, no del peso.
f = \mu_k N = 0{,}3(422{,}1) = 126{,}6\ \text{N}
Ahora la horizontal, donde sí hay aceleración. A favor del movimiento va P_x; en contra, la fricción.
\begin{gathered}\sum F_x = ma:\\ 187{,}9 - 126{,}6 = 50\,a\end{gathered}
Hacemos la resta y dividimos entre la masa.
61{,}3 = 50\,a \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{61{,}3}{50}
Resultado. Sale positiva: el bloque acelera hacia donde lo jalan.
\boxed{\ a = 1{,}23\ \text{m/s}^2\ }
Chequeo
Sin fricción, toda P_x acelera al bloque: a = \dfrac{187{,}9}{50} = 3{,}76\ \text{m/s}^2. Con fricción tiene que salir menos, y positiva porque P_x = 187{,}9\ \text{N} le gana a f = 126{,}6\ \text{N}. Los 1{,}23\ \text{m/s}^2 cumplen las dos cosas.
Qué significa cada símbolo
- W
- peso del bloque · N
- P_x,\ P_y
- componentes horizontal y vertical de la fuerza aplicada \(P\) · N
- N
- fuerza normal que hace el suelo sobre el bloque · N
- \mu_k
- coeficiente de fricción cinética (el que vale cuando ya hay deslizamiento) · sin unidad
- f
- fuerza de fricción, contraria al movimiento · N
- a
- aceleración del bloque, horizontal · m/s²
Lo que habría pasado con N = mg
Si hubieras usado N = mg = 490{,}5\ \text{N}, la fricción habría salido f = 0{,}3(490{,}5) = 147{,}15\ \text{N} y la aceleración a = \dfrac{187{,}9 - 147{,}15}{50} = 0{,}82\ \text{m/s}^2: un 33 % menos que la correcta. El resultado tendría pinta razonable y estaría mal. Por eso la vertical se plantea primero, siempre.