Centroides: el punto donde la figura se equilibra
Recorta la figura en cartón y busca el punto donde se sostiene sobre la punta de un lápiz. Ese es el centroide. No hace falta el cartón: se calcula como un promedio, donde cada pedazo pesa según su área. Y el mismo promedio dice dónde empuja el agua sobre una compuerta.
⏱ 55 minutos1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
En el Parcial 3 el centroide casi nunca se pregunta solo: es el primer paso de los momentos de inercia (taller 12), porque los ejes centroidales pasan por él. En la solución oficial del perfil L80×60×10 el centroide \((16{,}5;\ 26{,}5)\ \text{mm}\) ya viene en la figura; en 2024-II había que hallar \(\bar Y\) del conjunto antes de calcular nada. El otro punto del parcial es hidrostática: una compuerta con agua, donde la fuerza resultante pasa por el centroide del diagrama de presiones.
- Parte la figura en pedazos conocidos (rectángulos, triángulos, círculos). Los agujeros son pedazos de área negativa.
- Escoge un origen cómodo y anota, por pedazo: el área \(A\) y las coordenadas \(\bar x\) y \(\bar y\) de su centroide.
- Tabla: suma de áreas, suma de \(\bar x A\) y suma de \(\bar y A\).
- Divide. Y mira si el resultado cae donde tiene sentido.
El centroide es un promedio de posiciones en el que cada pedazo cuenta según su área.
2 El simulador: arma la figura y mira moverse el centroide
La placa del aviso del muelle. El aviso de la entrada del muelle se atornilla a una placa de acero de \(3\ \text{mm}\): un rectángulo de \(60 \times 40\ \text{mm}\) con una oreja triangular pegada a su derecha y un agujero para el perno, que puedes abrir y mover con el dedo. Arriba la ves en 3D, parada sobre la punta de un lápiz justo en su centroide; abajo, la misma placa en el plano con la tabla. El punto rosado \(C\) es el centroide del conjunto; los puntos amarillos \(C_1\) y \(C_2\) son los del rectángulo y la oreja.
Con el triángulo de \(30\ \text{mm}\) y sin agujero, el centroide está en \((38{,}0;\ 18{,}7)\ \text{mm}\): se corrió a la derecha del centro del rectángulo, que está en \((30;\ 20)\ \text{mm}\), porque hay más área de ese lado, y bajó porque el triángulo tiene su centroide a un tercio de su altura. Ahora abre un agujero a la derecha: el centroide se aleja del agujero, y el lápiz de la figura 3D se corre con él. Quitar área de un lado es como ponerla del otro.
3 La fórmula y la tabla
- \(\bar X,\ \bar Y\)
- coordenadas del centroide del conjunto mm
- \(A_i\)
- área del pedazo número \(i\); negativa si es un agujero mm²
- \(\bar x_i,\ \bar y_i\)
- coordenadas del centroide del pedazo \(i\), medidas desde el mismo origen para todos mm
- \(\bar x_i A_i,\ \bar y_i A_i\)
- primeros momentos del pedazo: área por distancia mm³
- \(\sum\)
- suma sobre todos los pedazos sin unidad
| Figura | Área | Centroide |
|---|---|---|
| Rectángulo de base \(b\) y altura \(h\) | \(bh\) | en el centro: a \(b/2\) y \(h/2\) de la esquina |
| Triángulo de base \(b\) y altura \(h\) | \(\tfrac12 bh\) | a \(h/3\) de la base (y a \(b/3\) del cateto vertical, si es rectángulo) |
| Círculo de radio \(r\) | \(\pi r^2\) | en el centro |
| Semicírculo de radio \(r\) | \(\tfrac12 \pi r^2\) | a \(\dfrac{4r}{3\pi}\) del diámetro |
Si llenas la tabla en orden no hay nada que recordar. Los agujeros entran con área negativa y su producto también sale negativo. Se comprueba con simetría (si la figura tiene un eje de simetría, el centroide cae sobre él) y con el lápiz: el centroide queda del lado donde hay más lámina.
La cuenta del simulador, escrita
Rectángulo: \(A_1 = 60(40) = 2400\ \text{mm}^2\), con centro en \((30;\ 20)\ \text{mm}\). Triángulo de base \(30\ \text{mm}\) y altura \(40\ \text{mm}\): \(A_2 = \tfrac12(30)(40) = 600\ \text{mm}^2\). Su cateto vertical está en \(x = 60\ \text{mm}\), así que su centroide está en \(\bar x_2 = 60 + 30/3 = 70\ \text{mm}\) y \(\bar y_2 = 40/3 = 13{,}33\ \text{mm}\).
El triángulo del simulador empieza en \(x = 60\ \text{mm}\). Su centroide está a un tercio de su base desde el cateto: \(60 + 30/3 = 70\ \text{mm}\), no \(10\ \text{mm}\). Con \(10\ \text{mm}\) la cuenta daría \(\bar X = (72\,000 + 6000)/3000 = 26{,}0\ \text{mm}\), a la izquierda del centro del rectángulo, cuando el triángulo está a la derecha: imposible.
4 Problema del parcial: el perfil L80×60×10
El ángulo de acero del muelle. El borde de las tablas del muelle se protege con un ángulo de acero, el mismo perfil de la solución oficial del Parcial 3: un ala vertical de \(80\ \text{mm}\) de alto y un ala horizontal de \(60\ \text{mm}\) de largo, las dos de \(10\ \text{mm}\) de espesor. Halla el centroide de su sección, medido desde la esquina exterior.
El ángulo en 3D. La sección de adelante está partida en los pedazos 1 y 2 (puntos amarillos en sus centros). La línea rosada recorre el ángulo a lo largo pasando por el centroide: va por el aire, no por el acero.
El perfil partido en dos rectángulos (1 y 2), con las cotas en milímetros. El punto rosado \(C\) es el centroide: cae en el hueco de la L.
5 Cuando no hay pedazos: integración
La cartela curva de la lancha. Para que el mástil de una lancha no se doble, se le suelda abajo una cartela: una lámina con el borde curvo, más alta junto al mástil. Esa curva no se parte en rectángulos y triángulos. Lo que sí se puede es cortarla en tiras verticales muy delgadas, de ancho \(dx\), como en la figura, y sumar las tiras: la suma se vuelve una integral.
La cartela cortada en diez tiras. La tira naranja es la que se suma en cada paso: su centro (amarillo) está a media altura, en \(y/2\). El punto rosado \(C\) es el centroide de toda la cartela.
- \(dA\)
- área de una tira delgada m²
- \(A\)
- área total: la suma (integral) de todas las tiras m²
- \(x_{el},\ y_{el}\)
- coordenadas del centroide de la tira («el» por elemento), no de su borde m
- \(\bar x,\ \bar y\)
- coordenadas del centroide de toda el área m
Para una tira vertical bajo la curva \(y = f(x)\): el área de la tira es \(dA = y\,dx\), su centroide está en \(x_{el} = x\) y en \(y_{el} = y/2\), porque la tira es un rectángulo delgado y su centroide está a media altura.
El área bajo \(y = kx^2\) entre \(0\) y \(a\). La tira amarilla tiene ancho \(dx\) y altura \(y\); su centroide (punto amarillo) está a media altura, en \(y/2\).
Cada tira es un rectángulo delgado: área \(y\,dx\), centro en \(x\) y a media altura, \(y/2\). Es la misma tabla con infinitas filas.
Ejemplo: la cartela de borde \(y = kx^2\)
Halla el centroide de la cartela: el área bajo \(y = kx^2\) entre \(x = 0\) y \(x = a\), con el mástil en \(x = a\). La altura junto al mástil es \(h = ka^2\).
- \(k\)
- constante de la parábola: qué tan rápido sube la curva m⁻¹
- \(a\)
- ancho del área: el valor de \(x\) donde termina m
- \(h\)
- altura de la curva en \(x = a\), es decir \(ka^2\) m
En \(\bar y\) hay que usar \(y_{el} = y/2\). Si pones \(y\) en vez de \(y/2\), sale \(\bar y = \tfrac35 h\), el doble de la respuesta correcta \(\tfrac{3}{10}h\).
6 Hidrostática: el agua empuja como un triángulo
La presión del agua crece con la profundidad:
- \(p\)
- presión del agua a la profundidad \(h\) (sin contar la atmosférica) Pa = N/m²
- \(\rho\)
- densidad del líquido; agua dulce: \(1000\) kg/m³
- \(g\)
- aceleración de la gravedad, \(9{,}81\) m/s²
- \(h\)
- profundidad, medida hacia abajo desde la superficie m
La compuerta del canal de la camaronera. Una camaronera llena y vacía sus estanques con un canal cerrado por una compuerta de acero que sube y baja entre dos muros. Del lado del agua, cada metro más hondo la empuja más fuerte; del otro lado está seco.
La compuerta del problema de 2024-II: \(2\ \text{m}\) de ancho y \(3\ \text{m}\) de agua. Las flechas naranjas crecen con la profundidad; la rosada \(F\) es la resultante, a \(1\ \text{m}\) del fondo. El muro de adelante se ve transparente para que se vea el agua.
Sobre una compuerta vertical que llega hasta la superficie, el diagrama de presiones es un triángulo: cero arriba y \(\rho g h\) en el fondo. La fuerza total es el área de ese triángulo por el ancho de la compuerta, y actúa en el centroide del triángulo: a un tercio de la altura desde el fondo.
Las flechas naranjas son la presión, que crece con la profundidad. La flecha rosada \(F\) es la resultante: pasa a \(h/3\) del fondo.
- \(F\)
- fuerza resultante del agua sobre la compuerta N
- \(\rho g h\)
- presión en el fondo: la base del triángulo de presiones Pa
- \(h\)
- profundidad del agua: la altura del triángulo m
- \(b\)
- ancho de la compuerta, perpendicular al papel m
Parcial 3 de 2024-II, punto 1(a)
La compuerta del canal (la de la figura 3D): rectangular, vertical, de \(2\ \text{m}\) de ancho, con agua dulce de \(3\ \text{m}\) de profundidad. Halla la fuerza hidrostática sobre la compuerta.
Si la compuerta no llega a la superficie, el diagrama es un trapecio: pártelo en rectángulo y triángulo, como una figura compuesta más (ejercicio 3).
7 Ahora tú
8 Ponte a prueba
9 La receta para el día del parcial
- Origen en una esquina, con toda la figura en el primer cuadrante.
- Pedazos conocidos; agujeros con área negativa.
- Tabla con las columnas \(A\), \(\bar x\), \(\bar y\), \(\bar x A\) y \(\bar y A\). Suma.
- Divide. Revisa contra simetría y contra «hacia dónde hay más área».
- Agua: diagrama de presiones, área por ancho, y la fuerza en el centroide del diagrama.
1. «Área, distancia, área por distancia. Suma abajo y divide.»
2. Un agujero es área negativa: el centroide se aleja de él.
3. «El agua empuja en triángulo, a un tercio desde abajo.»
Responde las nueve preguntas para cerrar el taller.
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