Taller 12 · Estática

Momentos de inercia y el círculo de Mohr

Una tabla del muelle se dobla fácil de plano y casi nada de canto, y es la misma tabla. Lo que cambió es qué tan lejos del eje quedó el material. Eso mide el momento de inercia. Y cuando giras los ejes, los tres números que describen la sección se mueven sobre un círculo.

⏱ 75 minutos

De dónde sale esto. Beer & Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros: Estática, 9.ª ed., secciones 9.1 a 9.7 (momentos de inercia de áreas, radio de giro, ejes paralelos, áreas compuestas) y 9.8 a 9.10 (producto de inercia, ejes principales, círculo de Mohr). Problema: perfil L80×60×10 de la solución oficial del Parcial 3. Verificado por tres caminos: composición de rectángulos, integración numérica en una malla de puntos y autovalores de la matriz de inercia.

En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

El programa dice «Parcial 3 (incluye círculo de Mohr)», y los parciales lo confirman: en 2024-II, «determine los segundos momentos de área centroidales \(\bar I_x\) e \(\bar I_y\) de la sección… dibuje el círculo de Mohr e identifique los momentos principales»; en la solución oficial, el perfil L completo con \(I_x\), \(I_y\), \(I_{xy}\), \(I_{\text{máx}}\), \(I_{\text{mín}}\) y la orientación de los ejes principales. Es un punto largo pero mecánico: tabla, fórmula, círculo.

Ruta

Centroide de la sección (taller 11).
Por cada pedazo: su inercia propia más \(A\,d^2\) (ejes paralelos).
Producto de inercia: \(\sum A\,\Delta x\,\Delta y\) (los rectángulos alineados con los ejes no tienen producto propio).
Círculo de Mohr: centro, radio, \(I_{\text{máx}}\), \(I_{\text{mín}}\) y el ángulo.

Lo que te llevas

El momento de inercia mide qué tan lejos del eje está el área: cada pedacito cuenta por su distancia al cuadrado.

2 El simulador: gira los ejes y mira el círculo

El ángulo de acero del muelle (el perfil L80×60×10 del parcial, el mismo del taller 11). Arriba lo ves en 3D, con los ejes dibujados sobre su cara de adelante; gíralo con el dedo. Abajo, a la izquierda, está su sección con los ejes centroidales \(x\), \(y\) (grises). Con el deslizador giras los ejes rosados \(x'\), \(y'\) un ángulo \(\theta\). A la derecha, el punto \(X\) recorre el círculo de Mohr, el doble de rápido. Busca el ángulo en que el producto de inercia se hace cero.

ejes girados y punto X ejes originales círculo de Mohr

arrastra para girar

En el círculo, el eje horizontal es el momento de inercia \(I\) y el vertical es el producto de inercia \(I_{xy}\), los dos en \(10^6\ \text{mm}^4\). El punto \(X_0\) es donde está \(X\) cuando \(\theta = 0\).

Giro de los ejes 0,0°

Qué tienes que notar

En \(\theta = 0\) el punto \(X\) está en \((0{,}808;\ -0{,}323) \times 10^6\ \text{mm}^4\). Al girar \(28{,}5^\circ\) en sentido antihorario, \(X\) llega al extremo derecho del círculo: \(I_{x'}\) es el máximo, \(0{,}983 \times 10^6\ \text{mm}^4\), y el producto de inercia vale cero. En la figura giraste \(28{,}5^\circ\); en el círculo, el punto giró \(57^\circ\). Y la suma \(I_{x'} + I_{y'}\) no cambia nunca: \(1{,}1955 \times 10^6\ \text{mm}^4\).

3 La definición y los dos rectángulos que hay que saber

Dos tablas iguales del muelle. Las dos miden \(200 \times 40\ \text{mm}\) y van de una viga a la otra con la misma persona encima. La de plano se dobla a la vista; la de canto casi nada. No cambió la madera ni el área: cambió qué tan lejos del eje de doblez quedó la madera.

arrastra para girar

De plano, el eje de doblez es horizontal y los \(40\ \text{mm}\) se alejan de él: \(\bar I = 200(40)^3/12 = 1{,}07 \times 10^6\ \text{mm}^4\). De canto se alejan los \(200\ \text{mm}\): \(40(200)^3/12 = 26{,}7 \times 10^6\ \text{mm}^4\), \(25\) veces más. El doblez de la figura está exagerado.

\[ \begin{gathered} I_x = \int y^2\,dA \qquad I_y = \int x^2\,dA \\[4pt] k_x = \sqrt{\dfrac{I_x}{A}} \end{gathered} \]

Qué significa cada símbolo

\(I_x\): momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje \(x\): suma de cada pedacito de área por su distancia al eje \(x\) al cuadrado mm⁴
\(I_y\): lo mismo respecto al eje \(y\) mm⁴
\(dA\): un pedacito de área mm²
\(y,\ x\): distancia del pedacito al eje \(x\) y al eje \(y\) mm
\(A\): área total de la sección mm²
\(k_x\): radio de giro: la distancia a la que habría que poner toda el área para tener la misma inercia mm

Para un rectángulo de base \(b\) (paralela al eje \(x\)) y altura \(h\):

\[ \begin{gathered} \bar I_x = \dfrac{b\,h^3}{12} \quad \text{(eje por su centro)} \\[6pt] I_x = \dfrac{b\,h^3}{3} \quad \text{(eje por su base)} \end{gathered} \]

Qué significa cada símbolo

\(b\): lado del rectángulo paralelo al eje mm
\(h\): lado perpendicular al eje: el que se aleja de él mm
\(\bar I_x\): inercia respecto al eje \(x\) que pasa por el centroide del rectángulo; la barra significa «centroidal» mm⁴

Frase de la inercia de un rectángulo

Al cubo va el lado que se aleja del eje.

Para \(I_x\) el lado que se aleja del eje \(x\) es la altura: \(bh^3/12\). Para \(I_y\) es el ancho: \(hb^3/12\). Se comprueba con las tablas: de canto (\(h\) grande) son mucho más rígidas que de plano.

Cuál lado va al cubo

El ala vertical del perfil mide \(10 \times 70\ \text{mm}\) (ancho por alto). Su \(\bar I_x = 10(70)^3/12 = 285\,833\ \text{mm}^4\). Al revés, \(70(10)^3/12 = 5833\ \text{mm}^4\), que es su \(\bar I_y\). Confundirlos cambia el resultado en un factor de 49.

4 Ejes paralelos: mover el eje cuesta Ad²

\[ I = \bar I + A\,d^2 \]

Qué significa cada símbolo

\(I\): inercia del pedazo respecto al eje nuevo mm⁴
\(\bar I\): inercia del pedazo respecto a su propio eje centroidal, paralelo al nuevo mm⁴
\(A\): área del pedazo mm²
\(d\): distancia entre los dos ejes paralelos mm

La viga T del muelle. El ala de arriba (amarilla) tiene su propio eje centroidal, pero la viga se dobla alrededor del eje de toda la T, que pasa \(d = 110 - 82{,}73 = 27{,}27\ \text{mm}\) más abajo. Para sumar la inercia del ala a la de la T hay que «mudarla» de un eje al otro: eso cuesta \(A\,d^2\).

arrastra para girar

El eje centroidal del pedazo (rosado) y el eje nuevo (gris), paralelos y separados una distancia \(d\).

Frase de los ejes paralelos

La inercia más pequeña es la del centroide; alejarse siempre suma \(A\,d^2\).

Nunca se resta al alejarse. Se resta solo para volver al centroide: \(\bar I = I - A\,d^2\). Y los agujeros entran con su inercia y su \(A\,d^2\) negativos.

No se salta de un eje no centroidal a otro

La fórmula solo vale si uno de los dos ejes pasa por el centroide del pedazo. Para ir de un eje cualquiera a otro, primero baja al centroide (restando) y después sube al nuevo (sumando).

5 Producto de inercia

\[ \begin{gathered} I_{xy} = \int x\,y\,dA \\[4pt] I_{xy} = \bar I_{x'y'} + A\,\bar x\,\bar y \end{gathered} \]

Qué significa cada símbolo

\(I_{xy}\): producto de inercia respecto a los ejes \(x\), \(y\): suma de cada pedacito de área por sus dos coordenadas mm⁴
\(\bar I_{x'y'}\): producto de inercia del pedazo respecto a sus propios ejes centroidales, paralelos a \(x\), \(y\); vale cero si el pedazo es simétrico respecto a uno de ellos mm⁴
\(\bar x,\ \bar y\): coordenadas del centroide del pedazo medidas desde los ejes \(x\), \(y\), con su signo; en el problema se llaman \(\Delta x\) y \(\Delta y\) mm
\(A\): área del pedazo mm²

Puede ser positivo, negativo o cero. Si la figura tiene un eje de simetría que coincide con \(x\) o con \(y\), entonces \(I_{xy} = 0\): por eso un rectángulo alineado con los ejes no tiene producto de inercia propio, y en el perfil solo quedan los términos \(A\,\Delta x\,\Delta y\).

arrastra para girar

El ángulo del muelle visto de frente, con los ejes por su centroide. Casi todo el acero está en los cuadrantes 2 (ala de arriba, a la izquierda) y 4 (ala de abajo, a la derecha).

Frase del producto de inercia

Cuadrantes 1 y 3, más; 2 y 4, menos.

En el 1 y el 3, \(x\) e \(y\) tienen el mismo signo y su producto es positivo; en el 2 y el 4, signos cruzados. Mira dónde está el material desde el centroide y ya sabes el signo de \(I_{xy}\) antes de hacer cuentas.

Qué significa el signo: positivo si el área está sobre todo en los cuadrantes 1 y 3 (donde \(x\) e \(y\) tienen el mismo signo); negativo si está en el 2 y el 4. En la L del parcial, vista desde su centroide, el ala vertical está arriba a la izquierda y la horizontal abajo a la derecha: cuadrantes 2 y 4, así que \(I_{xy} \lt 0\).

6 Girar los ejes: el círculo de Mohr

\[ \begin{gathered} I_{\text{prom}} = \dfrac{I_x + I_y}{2} \\[6pt] R = \sqrt{\left(\dfrac{I_x - I_y}{2}\right)^2 + I_{xy}^2} \\[6pt] I_{\text{máx}} = I_{\text{prom}} + R \qquad I_{\text{mín}} = I_{\text{prom}} - R \\[6pt] \tan 2\theta_p = \dfrac{-2\,I_{xy}}{I_x - I_y} \end{gathered} \]

Qué significa cada símbolo

\(I_{\text{prom}}\): centro del círculo, sobre el eje horizontal; en el problema se llama \(C\) mm⁴
\(R\): radio del círculo mm⁴
\(I_{\text{máx}},\ I_{\text{mín}}\): momentos principales: los extremos derecho e izquierdo del círculo mm⁴
\(\theta_p\): giro de los ejes desde \(x\), \(y\) hasta los ejes principales, positivo en sentido antihorario grados
\(I_x,\ I_y,\ I_{xy}\): los tres números de la sección en los ejes originales mm⁴

El círculo de Mohr del perfil L, a escala. \(X\) y \(Y\) son los extremos de un diámetro. De \(X\) al extremo derecho hay un ángulo \(2\theta_p\) en sentido antihorario: los ejes se giran la mitad, \(\theta_p\), en ese mismo sentido.

Frase del círculo de Mohr

Centro el promedio, radio por Pitágoras, y en el círculo todo gira el doble.

Dibuja el punto \(X(I_x;\ I_{xy})\) y el punto \(Y(I_y;\ -I_{xy})\): son los extremos de un diámetro. El centro es el promedio; el radio es la hipotenusa del triángulo de catetos \((I_x - I_y)/2\) e \(I_{xy}\). Un giro \(\theta\) de los ejes es un giro \(2\theta\) del diámetro, en el mismo sentido.

Dos chequeos que no cuestan nada \(I_{\text{máx}} + I_{\text{mín}} = I_x + I_y\) (la suma no cambia al girar). Y en los ejes principales el producto de inercia es cero.

7 Problema del parcial, resuelto

Solución oficial del Parcial 3, caso 1: perfil L80×60×10

El ángulo de acero del muelle, perfil L80×60×10. Determina, respecto a los ejes centroidales \(x\) e \(y\): \(I_x\), \(I_y\), \(I_{xy}\), los momentos principales y la orientación de los ejes principales. El centroide está en \((16{,}54;\ 26{,}54)\ \text{mm}\) desde la esquina exterior (taller 11).

arrastra para girar

El perfil con los ejes \(x\), \(y\) por su centroide \(C\). Los puntos amarillos son los centros de los rectángulos 1 y 2; las cotas (en mm) son sus distancias a los ejes.

Por qué mis decimales no son los del profesor

La solución oficial reporta \(I_x = 0{,}8086\), \(I_y = 0{,}3878\), \(I_{xy} = -0{,}3231\), \(I_{\text{máx}} = 0{,}9837\) e \(I_{\text{mín}} = 0{,}2126\) (en \(10^6\ \text{mm}^4\)) y \(\theta_p = 28{,}46^\circ\). Con las cuentas de este taller, sin redondear nada por el camino, salen \(0{,}8078\); \(0{,}3878\); \(-0{,}3231\); \(0{,}9831\); \(0{,}2124\) y \(28{,}49^\circ\). La diferencia es de alrededor del \(0{,}1\ \%\), del tamaño de un redondeo intermedio: los dos están bien. En el parcial usa las cotas que te den.

8 Ahora tú

9 Ponte a prueba

10 La receta para el día del parcial

Centroide de la sección con la tabla.
Por pedazo: \(\bar I_x = bh^3/12\), \(\bar I_y = hb^3/12\), y las distancias \(\Delta x\) y \(\Delta y\) de su centro al centroide del conjunto, con signo.
Suma por pedazos: \(I_x = \sum(\bar I_x + A\,\Delta y^2)\), \(I_y = \sum(\bar I_y + A\,\Delta x^2)\) e \(I_{xy} = \sum A\,\Delta x\,\Delta y\).
Centro \(C = (I_x + I_y)/2\), radio \(R\) por Pitágoras.
\(I_{\text{máx}} = C + R\), \(I_{\text{mín}} = C - R\) y \(\tan 2\theta_p = -2I_{xy}/(I_x - I_y)\).
Dibuja el círculo con \(X\), \(Y\), el centro y los dos extremos. Chequea la suma.

Si solo te llevas tres frases

1. «Al cubo va el lado que se aleja del eje.»

2. «Alejarse del centroide siempre suma \(A\,d^2\).»

3. «Centro el promedio, radio por Pitágoras, y en el círculo todo gira el doble.»

Responde las diez preguntas para cerrar el taller.

Siguiente: cortante y momento en vigas →

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