Apoyos y equilibrio del cuerpo rígido en el plano
Una viga no es una partícula: además de trasladarse, puede girar. Por eso necesita tres ecuaciones y no dos. Y cada apoyo que la sostiene le cobra una reacción por cada movimiento que le impide. Saber qué cobra cada apoyo es la mitad del problema.
⏱ 55 minutos1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
En los ocho Parciales 2 revisados (2018-II a 2022-II) nunca hubo un punto de «viga con dos apoyos» suelto, pero todos los puntos empiezan así: el diagrama de cuerpo libre del conjunto completo, con sus apoyos, para sacar las reacciones externas. En la armadura de 2022-I fue «Para el D.C.L. completo: \sum M_A = 0 \Rightarrow E = 1{,}15\ \text{kN}». En el marco de 2019-II, \sum M_A = 0 \Rightarrow E_y = 450\ \text{N}. Si ese primer paso sale mal, todo el punto sale mal.
- Dibuja el cuerpo solo. Cambia cada apoyo por sus reacciones (tabla de la sección 3).
- Cuenta incógnitas: si son 3, se puede; si son más, hay que separar piezas o no se puede.
- Toma momentos en el punto donde se cruzan más incógnitas.
- Luego \sum F_x = 0 y \sum F_y = 0. Chequea con momentos en otro punto.
Tres ecuaciones en el plano: dos de fuerza y una de momento. Y un apoyo pone tantas reacciones como movimientos impide.
2 El simulador: cambia el apoyo y mira las reacciones
Una viga de 6\ \text{m} con una carga de 12\ \text{kN}. Mueve la carga, inclínala y cambia los apoyos. Las flechas celestes son las reacciones: más largas cuanto más grandes. Todas se dibujan ya con su sentido real; el número del tablero lleva el signo de la convención (derecha, arriba y antihorario son positivos). El ángulo \theta de la carga se mide desde la horizontal que apunta a la izquierda: con \theta = 90^\circ la carga es vertical, con menos de 90^\circ además empuja hacia la derecha.
Los apoyos como son: el pasador es una horquilla con su perno, el rodillo lleva rodillos debajo, el empotramiento es un muro con placa y pernos. Gíralo para ver por qué el rodillo no puede frenar nada de lado. Abajo, el mismo montaje en el plano, con sus cotas.
Con pasador y rodillo y la carga vertical a 2\ \text{m} de A: A_y = 8\ \text{kN} y B_y = 4\ \text{kN}; el apoyo más cercano a la carga carga más. Ahora inclina la carga con «Rodillo + rodillo»: ningún apoyo puede resistir la parte horizontal y la viga se desliza. Con «Pasador + pasador» pasa lo contrario: hay cuatro incógnitas y tres ecuaciones, y las dos horizontales no se pueden separar.
3 Qué te cobra cada apoyo
Seis apoyos y lo que pone cada uno sobre el cuerpo. El número al lado del nombre es la cantidad de reacciones. Las flechas celestes son las reacciones, dibujadas con el sentido que se supone.
- A_x,\ A_y
- componentes horizontal y vertical de la reacción en el apoyo A [N]
- B_y
- reacción del rodillo en B, perpendicular a la superficie donde rueda [N]
- M_A
- par (momento) que pone el empotramiento en A [N·m]
- T
- tensión del cable: siempre jala, a lo largo del cable [N]
- N
- fuerza normal: perpendicular a la guía o a la superficie lisa [N]
| Apoyo | Qué impide | Reacciones |
|---|---|---|
| Rodillo, superficie lisa, balancín | Moverse perpendicular a la superficie | 1 fuerza perpendicular |
| Cable, barra de dos fuerzas (eslabón) | Alejarse a lo largo del cable | 1 fuerza a lo largo del cable |
| Collarín sobre guía lisa | Moverse perpendicular a la guía | 1 fuerza perpendicular a la guía |
| Pasador (articulación) | Trasladarse en x y en y | 2 fuerzas: A_x, A_y |
| Empotramiento | Trasladarse en x, en y y girar | 2 fuerzas y 1 par: A_x, A_y, M_A |
Dicho al revés: un apoyo impide, y por cada cosa que impide te cobra una reacción. Rodillo: impide una traslación → una reacción. Pasador: impide dos → dos. Empotramiento: impide dos traslaciones y el giro → tres. Se comprueba con la mano: agarra un lápiz entre dos dedos (pasador) y lo puedes girar; agárralo con el puño (empotramiento) y no.
Dibuja A_x hacia la derecha y A_y hacia arriba siempre. Si al resolver te da negativa, es que va al revés; no borres el dibujo, escribe el resultado con su signo. En el problema 4.49 de la sección 6 sale C_x = -50\ \text{N}: va hacia la izquierda.
4 Tres ecuaciones, y dónde tomar momentos
Un cuerpo rígido en el plano puede hacer tres cosas: moverse en x, moverse en y y girar. Está en equilibrio cuando no hace ninguna de las tres, y eso da una ecuación por cada una:
- \sum F_x,\ \sum F_y
- suma de componentes de todas las fuerzas, incluidas las reacciones [N]
- \sum M_P
- suma de momentos respecto a un punto P, incluidos los pares, antihorario positivo [N·m]
- P
- el punto que tú escoges para tomar momentos; puede ser cualquiera [sin unidad]
Toma momentos en el punto por donde pasan más reacciones desconocidas: todas ellas tienen brazo cero y desaparecen de la ecuación. En la viga del simulador (6\ \text{m}, pasador en A, rodillo en B, 12\ \text{kN} hacia abajo a 2\ \text{m} de A), momentos en A: A_x y A_y se van y queda solo B_y. Una ecuación, una incógnita.
5 Contar antes de calcular
| Incógnitas | Nombre | Qué pasa |
|---|---|---|
| 3, bien puestas | Isostático | Se resuelve con las tres ecuaciones. |
| Más de 3 | Hiperestático | Sobran apoyos; la estática sola no alcanza (pasador + pasador). |
| Menos de 3, o mal puestas | Inestable | Hay un movimiento que nadie impide (rodillo + rodillo con carga horizontal; tres reacciones paralelas o concurrentes). |
Tres rodillos que empujan todos en vertical: tres incógnitas, pero ninguna resiste una fuerza horizontal. Tres reacciones cuyas líneas pasan por un mismo punto: no resisten un giro alrededor de ese punto. Cuenta, y además mira hacia dónde apuntan.
6 Problemas resueltos
Beer 4.49: el poste del letrero del muelle
En el muelle hay un poste en T de acero atornillado a la losa en C: los pernos no lo dejan correrse ni girar, así que es un empotramiento. Del brazo cuelga un letrero, el cabo de una lancha está amarrado al poste y un tensor lo sujeta contra la losa.
En números (el bastidor en T del 4.49): en A (0{,}5\ \text{m} a la izquierda y 0{,}6\ \text{m} arriba de C) cuelga el letrero, 750\ \text{N} hacia abajo; sobre el poste, a 0{,}4\ \text{m} de altura sobre C, el cabo jala 450\ \text{N} hacia la izquierda. El tensor BD, de B(0{,}15;\,0{,}6)\ \text{m} a D(0{,}4;\,0)\ \text{m}, tiene 1300\ \text{N} de tensión. Las coordenadas se miden desde C: x a la derecha, y hacia arriba. Determina la reacción en C.
La misma solución, escrita como en el parcial:
Parcial 2 de 2019-II, punto 3: el marco completo
El marco se apoya con pasadores en A(0;\,0) y E(7;\,0)\ \text{m}. Del conjunto cuelga un peso de 700\ \text{N} cuya línea de acción pasa a 4{,}5\ \text{m} de A, medidos en horizontal (el cable de la polea es interno: no aparece en el diagrama del conjunto). La figura no dibuja las piezas de adentro del marco, porque para las reacciones externas no hacen falta: solo importan los dos apoyos y el peso.
7 Ahora tú
8 Ponte a prueba
9 La receta para el día del parcial
- Cuerpo solo. Cada apoyo, por sus reacciones, con sentido supuesto (derecha, arriba, antihorario).
- Cuenta: tres y bien puestas. Si son más, busca otra pieza para separar (taller 10).
- Momentos donde se cruzan las incógnitas.
- Las dos sumas de fuerzas.
- Negativo = al revés. Escríbelo con su signo y di hacia dónde va.
- Chequeo con momentos en otro punto.
1. «Un apoyo impide, y por cada cosa que impide te cobra una reacción.»
2. «Momentos donde se cruzan las incógnitas.»
3. Contar no basta: mira también hacia dónde apuntan las reacciones.
Responde las nueve preguntas para cerrar el taller.
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