Equilibrio en el espacio: seis ecuaciones, una incógnita a la vez
Una tapa con bisagras sostenida por un cable. Seis incógnitas, seis ecuaciones. Resolverlas todas juntas es un sistema de 6\times 6; escogerlas bien es resolver seis ecuaciones de una incógnita cada una. Aquí aprendes a escoger.
⏱ 65 minutos1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Es el punto 1 del Parcial 2 en siete de los ocho parciales revisados: una puerta con dos bisagras y un cable (2019-I), un pedal sobre cojinetes (2019-II), una tapa circular con bisagra y puntal (2018-II), un eje con engranes sobre chumaceras (2020-II), la tapa de un tubo con cable (2022-I) y un eje con tres cojinetes (2022-II). Siempre el mismo esquema: un cuerpo en 3D, apoyos que dejan girar alrededor de un eje, y un cable o una fuerza que lo sostiene.
- Dibuja el cuerpo solo y pon las reacciones de cada apoyo (tabla de la sección 3).
- Cuenta: seis incógnitas. Si el enunciado dice «el cojinete no ejerce fuerza axial», quita esa.
- Escribe la fuerza de cada cable como \vec T = T\,\boldsymbol\lambda: la tensión T (un número, en N) por la dirección unitaria \boldsymbol\lambda del cable (taller 1).
- Empieza por el momento respecto al eje de las bisagras: ahí se van cinco incógnitas y queda la del cable.
- Luego una ecuación por incógnita, escogiendo ejes que pasen por los apoyos.
En 3D hay seis ecuaciones; el truco es tomar momentos respecto a ejes que atraviesen la mayor cantidad de incógnitas.
2 El simulador: la tapa del parcial, ecuación por ecuación
La tapa de 2022-I, girable con el dedo: un disco de 30\ \text{kg} con centro en G, dos bisagras en A y B sobre el eje y, y un cable de D al gancho fijo C. El dibujo es el diagrama de cuerpo libre: las reacciones (celeste) van con el sentido supuesto positivo y todas del mismo largo, porque todavía no se sabe cuánto valen; los valores con su signo están en el tablero. Toca cada ecuación: se pone en rosado la incógnita nueva que esa ecuación despeja y, si es de momentos, el eje que se usa.
Recorre los seis botones en orden: cada uno tiene una sola incógnita nueva. Ese orden es exactamente el de la solución oficial. Y cambia la masa: todas las reacciones crecen en la misma proporción, porque el peso es la única carga. Fíjate en A_y: sale negativa, o sea que en realidad apunta al revés de la flecha dibujada.
3 Qué pone cada apoyo en 3D
Los cuatro apoyos que más salen, con sus reacciones dibujadas en el sentido que se supone.
Las mismas cuatro piezas en 3D, como se ven en la vida real. Gíralas con el dedo. La rótula deja girar en todo sentido: solo fuerzas. La bisagra gira únicamente alrededor de su pasador; si es la única del cuerpo, también pone pares. El cojinete deja deslizar el eje a lo largo de sí mismo: no hay fuerza en esa dirección.
- T
- tensión del cable: siempre jala, a lo largo del cable [N]
- \boldsymbol\lambda
- dirección unitaria del cable (vector de tamaño 1) [sin unidad]
- A_x,\ A_y,\ A_z
- componentes de la fuerza de reacción en el apoyo A [N]
- B_x,\ B_z
- reacciones de la bisagra B perpendiculares a su eje [N]
- B_y
- reacción axial de la bisagra (a lo largo de su eje); solo existe si la bisagra la aguanta [N]
| Apoyo | Impide | Reacciones |
|---|---|---|
| Cable, puntal de dos fuerzas | alejarse a lo largo de él | 1: T\,\boldsymbol\lambda |
| Superficie lisa, bola | entrar en la superficie | 1 normal |
| Rótula (bola y cuenca) | las tres traslaciones | 3 fuerzas |
| Bisagra o cojinete (bien alineados, con otro igual) | trasladarse perpendicular al eje (y a veces a lo largo) | 2 fuerzas perpendiculares al eje (+1 axial si la aguanta) |
| Bisagra o cojinete sola | además, girar sobre ejes perpendiculares | hasta 3 fuerzas + 2 pares |
| Empotramiento | todo | 3 fuerzas + 3 pares |
Cuando dos bisagras están en la misma línea, las dos podrían empujar a lo largo del eje y el problema sería indeterminado. El enunciado lo arregla diciendo que una no lo hace. En 2022-I: el cojinete B no tiene B_y. Si la pones, tendrás siete incógnitas.
4 Seis ecuaciones y cómo escogerlas
En el espacio un cuerpo puede trasladarse en tres direcciones y girar alrededor de tres ejes. Para que no haga ninguna de las seis cosas se necesitan dos ecuaciones vectoriales, que son seis escalares:
- \sum\vec F
- suma de todas las fuerzas, reacciones incluidas [N]
- \sum\vec M_P
- suma de los momentos \vec r\times\vec F de todas las fuerzas respecto a un punto P que tú escoges, más los pares [N·m]
- \sum F_x,\ \sum F_y,\ \sum F_z
- suma de las componentes de las fuerzas en cada eje [N]
- \sum M_x,\ \sum M_y,\ \sum M_z
- suma de momentos respecto a los ejes que pasan por P, paralelos a x, y, z [N·m]
El momento de una fuerza respecto a cada eje se saca de las componentes de \vec r\times\vec F:
- x,\ y,\ z
- coordenadas del punto donde actúa la fuerza, medidas desde el punto P por donde pasan los ejes [m]
- F_x,\ F_y,\ F_z
- componentes de la fuerza, con su signo [N]
- M_x,\ M_y,\ M_z
- momento de esa fuerza respecto a cada eje; positivo según la regla de la mano derecha [N·m]
La idea del taller 3 hace el trabajo: el momento de una fuerza respecto a un eje es cero si la línea de la fuerza toca el eje o es paralela a él. En las fórmulas se ve: si la fuerza está aplicada sobre el eje y, entonces x = 0 y z = 0, y M_y = 0. Las reacciones de las bisagras están aplicadas sobre el eje de las bisagras. Por eso:
La solución oficial usa ejes x' y z' que pasan por A, no por el origen dibujado. Si tomas momentos respecto al eje x del dibujo y A no está sobre él, las reacciones de A aparecen y la ecuación deja de tener una sola incógnita. La comilla de x' solo quiere decir «paralelo a x, pero pasando por el apoyo». En este taller el origen se puso en A, así que x' y z' coinciden con los ejes dibujados.
5 Problema del parcial, resuelto
Parcial 2 de 2022-I, punto 1: la tapa del tubo
Una tapa uniforme de radio 240\ \text{mm} y 30\ \text{kg} se mantiene horizontal con el cable CD. El cojinete B no ejerce fuerza axial. Determina la tensión del cable y las reacciones en A y B. Con el eje de las bisagras sobre y y z hacia arriba: A(0;\,0;\,0), B(0;\,480;\,0), centro G(240;\,240;\,0), D(480;\,240;\,0) y C(0;\,400;\,240), todo en mm. La solución oficial trabaja en kgf; aquí va en newtons y al final se compara.
6 Ahora tú
7 Ponte a prueba
8 La receta para el día del parcial
- Coordenadas de todos los puntos con la convención de la figura.
- Reacciones de cada apoyo; quita la axial si el enunciado lo dice. Cuenta seis.
- Cables: \vec T = T\,\boldsymbol\lambda, con \boldsymbol\lambda del cuerpo hacia el anclaje.
- Momento respecto al eje de los apoyos → la tensión.
- Momentos respecto a ejes paralelos a x y z que pasen por un apoyo → las reacciones del otro.
- Sumas de fuerzas → lo que quede. Chequea con momentos respecto a un punto que no usaste.
1. «Primero el eje de las bisagras: ahí solo sobrevive el cable.»
2. Una ecuación, una incógnita: escoge el eje antes de escribir.
3. «No ejerce fuerza axial» quita una reacción.