Armaduras: quién jala, quién empuja y quién no hace nada
Una armadura es un montón de barras rectas unidas por pasadores en sus extremos. Cada barra solo puede estar estirada o apretada, a lo largo de sí misma. Hay dos métodos para saber cuánto: nudo por nudo, o cortando la armadura en dos.
⏱ 70 minutos1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Hubo una armadura en todos los Parciales 2 revisados: la de techo con \(400\ \text{lb}\) y \(250\ \text{lb}\) (2020-I), la Howe con \(12\ \text{kips}\) y \(24\ \text{kips}\) (2019-I), la de \(3\ \text{kN}\) por panel (2019-II), la que carga un peso \(W\) con límites de \(30\ \text{kN}\) en tracción y \(15\ \text{kN}\) en compresión (2021-I), la inclinada de \(30\ \text{kips}\) (2018-II) y la de \(2\ \text{kN}\) y \(1{,}5\ \text{kN}\) de 2022-I. Casi siempre piden dos o tres barras específicas lejos de los apoyos: eso es método de secciones.
- Reacciones con la armadura entera (taller 7).
- Marca los miembros de fuerza cero: ya no hay que calcularlos.
- ¿Piden pocas barras en el medio? Corta por ellas (secciones). ¿Piden todas o las de un extremo? Nudo por nudo, empezando por uno con dos incógnitas.
- Supón todas en tracción. Si una sale negativa, está en compresión.
Cada barra de una armadura es un elemento de dos fuerzas: su fuerza va a lo largo de ella, y solo puede jalar o empujar.
2 El simulador: mueve la carga y mira los colores
Esta es la armadura del parcial de 2022-I, resuelta completa en cada cambio. Escoge el nudo cargado y la carga. Verde jala (tracción), rojo empuja (compresión) y gris punteado no hace nada. El grosor es proporcional a la fuerza. Toca una barra para ver su valor.
La misma cercha en 3D, como techo del coliseo: cada barra es un perfil más grueso cuanto más carga. Toca una barra en el dibujo plano y su valor aparece aquí también.
El deslizador cambia la carga única (la de los botones «Solo en…»). Las cargas del parcial son fijas: \(2\ \text{kN}\) en \(B\) y \(1{,}5\ \text{kN}\) en \(G\).
Con las cargas del parcial, \(CF\) y \(DF\) salen en cero: son miembros de fuerza cero, y el simulador los dibuja punteados. Pon la carga «Solo en F»: \(CF\) deja de ser cero, porque ahora el nudo \(F\) tiene carga; \(DF\) sigue en cero, porque el nudo \(D\) sigue sin carga. Con la carga «Solo en C», todas las diagonales y montantes se van a cero. Y el cordón inferior (\(AH\), \(HG\), \(GF\), \(FE\)) siempre sale verde: la armadura se dobla hacia abajo como una viga y estira su borde de abajo.
3 Lo que se supone de una armadura
Las barras son rectas, se unen con pasadores sin fricción en sus extremos y las cargas solo se aplican en los nudos. Con eso, cada barra tiene fuerzas solo en sus dos extremos: es un elemento de dos fuerzas, y para estar en equilibrio esas dos fuerzas tienen que ser iguales, opuestas y a lo largo de la barra.
Las flechas son lo que la barra le hace a cada nudo. Arriba, tracción: la barra jala los nudos hacia su centro. Abajo, compresión: la barra empuja los nudos hacia afuera.
El puente peatonal del estero
Un puente de madera y acero cruza el estero: dos armaduras iguales a los lados y tablas en el piso. La gente pisa las tablas, las tablas descansan en vigas y las vigas cargan los nudos de abajo: las cargas llegan solo a los nudos. Cada barra se pintó con su fuerza real (verde tira, rojo choca, gris punteado no hace nada). Gíralo con el dedo.
Con \(3\ \text{kN}\) en cada nudo de abajo: el piso de abajo se estira (\(4{,}5\ \text{kN}\), T), el de arriba se aprieta (\(6\ \text{kN}\), C), las diagonales que bajan al centro tiran y el montante del medio vale cero.
Una barra en tensión tira de sus dos pasadores hacia adentro, como una cuerda de hamaca. Una en compresión choca contra ellos, como un pilote que aguanta el muelle.
Antes de empezar conviene saber si la armadura se puede resolver solo con estática. Se cuentan incógnitas y ecuaciones:
- \(m\)
- número de barras (miembros); cada una aporta una incógnita, su fuerza sin unidad (es un conteo)
- \(r\)
- número de reacciones de los apoyos: pasador 2, rodillo 1 sin unidad
- \(n\)
- número de nudos; cada nudo da dos ecuaciones, \(\sum F_x = 0\) y \(\sum F_y = 0\) sin unidad
4 Método de los nudos
Cada nudo es una partícula (taller 6): las fuerzas de las barras que llegan a él, más la carga o la reacción que tenga, se anulan.
- \(\sum F_x\)
- suma de las componentes horizontales de todas las fuerzas sobre el nudo, positiva hacia la derecha kN
- \(\sum F_y\)
- suma de las componentes verticales, positiva hacia arriba kN
- \(F_{DE}\)
- fuerza en la barra \(DE\) (igual para cualquier barra); positiva si es tracción, negativa si es compresión kN
- \(\boldsymbol\lambda_{ED}\)
- vector unitario que sale del nudo \(E\) hacia el nudo \(D\): da la dirección de la barra sin unidad
Son dos ecuaciones por nudo, así que se empieza por un nudo con solo dos barras desconocidas y se avanza al siguiente que quede con dos. Aquí va el extremo derecho de la armadura del parcial; las reacciones \(A_x = -1{,}2\ \text{kN}\), \(A_y = 1{,}95\ \text{kN}\) y \(E_y = 1{,}15\ \text{kN}\) están calculadas paso a paso en la sección 7.
Un nudo da dos ecuaciones. Solo se resuelve un nudo con máximo dos barras desconocidas; en la cercha del coliseo se arranca en \(E\), el rodillo.
La película: el nudo E, sacado de la cercha
Si ya sabes que \(F_{AB} = -3{,}25\ \text{kN}\) (compresión), en el nudo \(B\) la dibujas otra vez saliendo del nudo y escribes \(-3{,}25\). No cambies el sentido del dibujo «porque es compresión»: el signo ya lo lleva.
5 Miembros de fuerza cero
Hay dos casos en los que una barra no carga nada, y se ven sin hacer cuentas. En los dos, el nudo no tiene carga ni apoyo.
Izquierda: dos barras no alineadas en un nudo sin carga, las dos valen cero. Derecha: tres barras con dos alineadas en un nudo sin carga, la tercera vale cero.
¿Por qué? En el caso de la derecha pon el eje \(x\) a lo largo de las dos barras alineadas. La tercera barra es la única fuerza con componente perpendicular a ese eje. Como la suma en esa dirección tiene que dar cero y no hay nadie más, esa componente es cero, y entonces la barra entera es cero.
Con otra carga la misma barra trabaja: pon \(2\ \text{kN}\) «Solo en F» en el simulador y \(F_{CF} = 2{,}404\ \text{kN}\) en tracción. Además, las barras de fuerza cero evitan que las otras se pandeen. Solo valen cero para esta carga.
5b Reglas del ojo: quién tira y quién choca
Antes de cualquier cuenta ya se puede adivinar el signo de muchas barras. Toca cada armadura y compara los colores; todas se resolvieron por nodos con la matriz completa.
Apoyada en sus dos extremos y con las cargas hacia abajo, la armadura se dobla como una viga, en sonrisa. Lo de arriba se aprieta: compresión. Lo de abajo se estira: tensión. Piensa en un colchón cuando te acuestas en el centro: la tela de abajo se estira. En un voladizo es al revés.
| Regla | Qué esperar | Cuándo falla |
|---|---|---|
| Cordón de arriba, armadura apoyada en los extremos | compresión | En un voladizo o con cargas hacia arriba |
| Cordón de abajo, armadura apoyada en los extremos | tensión | Igual que arriba |
| Voladizo que sale de un muro | arriba tensión, abajo compresión | Si la carga empuja hacia arriba |
| Barras de los extremos que bajan al apoyo (los «hombros») | compresión, y de las más cargadas | Casi nunca con cargas hacia abajo |
| Diagonales que bajan hacia el centro (Pratt) | tensión; los montantes chocan | Cuando las cargas no son simétricas, revisa cerca del centro |
| Diagonales que suben hacia el centro (Howe) | compresión; los montantes tiran | Igual |
| Cordones paralelos (puente) | Lo más cargado está en el centro | Con una sola carga cerca de un apoyo |
| Techo triangular | Lo más cargado está junto a los apoyos | Con cargas muy desiguales |
| Barras de fuerza cero | Existen y valen 0 con esta carga: están para dar rigidez, evitar que una barra larga se pandee y aguantar si la carga cambia | Si cambias de nudo la carga, dejan de ser cero |
Cómo usarlas en el parcial: para revisar el signo cuando termines, nunca para reemplazar la cuenta. Si en un puente apoyado te sale el cordón de arriba en tensión, algo está mal: casi siempre la dirección de la flecha o un seno por coseno. El profesor pide la (T) o la (C) calculada.
6 Método de las secciones
Corta la armadura con una línea que atraviese como mucho tres barras desconocidas, entre ellas las que te piden. Cada una de las dos mitades es un cuerpo rígido en equilibrio, con tres ecuaciones:
- \(\sum F_x,\ \sum F_y\)
- sumas de las componentes de todas las fuerzas sobre la mitad escogida: cargas, reacciones y las fuerzas de las barras cortadas kN
- \(\sum M_O\)
- suma de los momentos de esas fuerzas respecto a un punto \(O\) que tú escoges; positivo en sentido antihorario kN·m
- \(O\)
- punto de momentos; puede ser cualquier punto del plano, incluso uno que quedó en la otra mitad —
Corta por tres barras. Tapa el pedazo con más fuerzas. Jala: dibuja las barras cortadas saliendo. Gira: momentos donde se cruzan dos. Suma fuerzas para la que falta o para comprobar.
La solución oficial tomó la mitad derecha: solo tiene la carga de \(G\) y la reacción en \(E\). La izquierda tenía además la carga inclinada de \(2\ \text{kN}\) y las dos reacciones de \(A\).
6b El corte en 3D: la cercha del coliseo partida en dos
El techo del coliseo del colegio descansa en cerchas como la del parcial 2022-I. Aquí está una, con sus placas de unión y sus pasadores. La lámina rosada es el corte. Toca Cortar y mira cómo se separan los dos pedazos y qué fuerza aparece en cada cara del corte.
La película: el corte paso a paso
Cada paso cambia la figura. Avanza con el botón o deslizando el dedo sobre el dibujo.
7 Problema del parcial, resuelto
Parcial 2 de 2022-I: fuerzas en BC y CH
Nudos, en metros: \(A(0;\,0)\), \(H(1;\,0)\), \(G(2;\,0)\), \(F(3;\,0)\), \(E(4;\,0)\) y \(C(2;\,1{,}5)\). Los nudos \(B\) y \(D\) están sobre las barras inclinadas, a \(0{,}8\ \text{m}\) de \(A\) y de \(E\). En \(B\) actúan \(2\ \text{kN}\) perpendiculares a \(AC\); en \(G\), \(1{,}5\ \text{kN}\) hacia abajo. Hay un pasador en \(A\) y un rodillo en \(E\). Determina las fuerzas en \(BC\) y \(CH\) e indica si son de tracción o de compresión.
La armadura con sus cotas y la línea de corte (rosada), que atraviesa \(BC\), \(HC\) y \(HG\).
La mitad derecha, sola. Las tres barras cortadas se dibujan saliendo del pedazo (tracción supuesta). La mitad izquierda queda punteada solo para ubicar los puntos \(A\) y \(H\), donde se toman momentos.
8 Ahora tú
9 Ponte a prueba
10 La receta para el día del parcial
- Reacciones con la armadura entera.
- Tacha los miembros de fuerza cero.
- Pocas barras en el medio: sección que corte máximo tres. Muchas o de un extremo: nudos.
- Todas supuestas en tracción (saliendo del nudo o de la sección).
- Momentos donde se cruzan dos incógnitas; la tercera con una suma de fuerzas o con otro punto de cruce.
- Escribe cada resultado con su unidad y su letra: (T) o (C).
1. «Supón que todas jalan; el menos te dice cuáles empujan.»
2. «Dos barras y nada más: las dos son cero. Tres con dos alineadas: la tercera es cero.»
3. «Corta, tapa, jala, gira y suma»: donde se cruzan dos, sale la tercera.
Responde las ocho preguntas para cerrar el taller.
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