Equilibrio de una partícula: cuando todo pasa por un punto
Un semáforo colgado de dos cables, un anillo del que jalan tres cuerdas, un nudo de una armadura. Todas las fuerzas se cruzan en un solo punto, así que no hay momentos: solo hay que lograr que las flechas, puestas una detrás de otra, vuelvan al punto de partida.
⏱ 45 minutos1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Una partícula es un cuerpo tan pequeño, o con todas sus fuerzas tan juntas, que no puede girar. Solo puede trasladarse. Para que no se traslade, la suma de fuerzas tiene que ser cero:
- \sum\vec F
- suma vectorial de todas las fuerzas sobre la partícula [N]
- \vec 0
- el vector cero: nada de fuerza neta en ninguna dirección [N]
- \sum F_x
- suma de las componentes x (horizontales), cada una con su signo: a la derecha positivo [N]
- \sum F_y
- suma de las componentes y (verticales): hacia arriba positivo [N]
- \sum F_z
- suma de las componentes z; solo aparece en problemas en el espacio [N]
Dos ecuaciones en el plano, tres en el espacio. Por eso un nudo de armadura se puede resolver si tiene como mucho dos incógnitas: es la regla para escoger por cuál nudo empezar.
- Escoge el punto donde se cruzan las fuerzas (el anillo, el nudo) y dibújalo solo.
- Pon todas las fuerzas: el peso hacia abajo, cada cable jalando hacia afuera del punto, cada superficie empujando perpendicular a ella.
- Escribe cada fuerza en componentes, con su signo.
- \sum F_x = 0, \sum F_y = 0. Resuelve. Un resultado negativo en un cable es una alarma.
Si todas las fuerzas pasan por un punto, el equilibrio es que las flechas, puestas punta con cola, cierren un polígono.
2 El simulador: un peso, dos cables y el triángulo que cierra
Un peso W cuelga de un anillo sostenido por dos cables. Cambia sus ángulos \alpha y \beta, que se miden desde la horizontal (la línea punteada). A la derecha, las tres fuerzas puestas punta con cola: si el anillo está en equilibrio, el triángulo cierra. Prueba «Tensiones a mano»: tú escoges T_1 con el deslizador y el simulador pone la T_2 que equilibra en horizontal; si T_1 no es la correcta, verás el hueco en vertical. Vuelve a tocar el botón para regresar a las tensiones del equilibrio.
El objeto: el peso \(W\) es un semáforo y el anillo es la argolla donde se juntan los dos cables. Al mover \(\alpha\) y \(\beta\), los postes se acercan o se alejan para que cada cable tenga ese ángulo. Abajo, el mismo anillo aislado y el triángulo de fuerzas.
- W
- peso que cuelga del anillo; aquí siempre 600 [N]
- T_1
- tensión del cable 1, el de la izquierda [N]
- T_2
- tensión del cable 2, el de la derecha [N]
- \alpha
- ángulo del cable 1 con la horizontal [°]
- \beta
- ángulo del cable 2 con la horizontal [°]
- \sum F_x,\ \sum F_y
- lo que suman las tres fuerzas en horizontal y en vertical; en equilibrio las dos dan cero [N]
Con W = 600\ \text{N}, \alpha = 35^\circ y \beta = 50^\circ, el triángulo cierra con T_1 = 387{,}1\ \text{N} y T_2 = 493{,}4\ \text{N}. Baja los dos ángulos hasta 10°: los cables quedan casi horizontales y cada tensión sube a 1727{,}6\ \text{N}. Un cable tendido casi recto necesita una tensión enorme para sostener un peso pequeño.
3 El diagrama de cuerpo libre, fuerza por fuerza
Aislar el anillo es imaginar que lo sacas con unas pinzas y reemplazas todo lo que lo tocaba por la fuerza que le hacía. Tres tipos de cosa tocan una partícula:
| Qué toca | Qué fuerza pone | Hacia dónde |
|---|---|---|
| La Tierra | El peso W = mg | Siempre hacia abajo |
| Un cable o cuerda | Tensión T | A lo largo del cable, alejándose del cuerpo (jala) |
| Una superficie lisa | Normal N | Perpendicular a la superficie, hacia el cuerpo (empuja) |
| Una polea sin fricción | La misma tensión a ambos lados | Por cada tramo de cuerda |
Si en tu diagrama un cable apunta hacia el cuerpo, está empujando: dibujo equivocado. Se comprueba al final: una tensión negativa quiere decir que el dibujo pedía un cable que empuja.
Con \alpha medido desde la horizontal, T_1\cos\alpha es la parte horizontal de la tensión y T_1\sin\alpha es la parte vertical. Si el enunciado mide el ángulo desde la vertical, se intercambian. Con \alpha = 35^\circ: \cos 35^\circ = 0{,}819 y \sin 35^\circ = 0{,}574. Si en el simulador intercambias seno y coseno en los dos cables (como si los ángulos se midieran desde la vertical), te da T_1 = 461{,}4\ \text{N} en vez de 387{,}1\ \text{N}.
4 Dos ecuaciones, dos incógnitas
El anillo del simulador, con el cable 1 a la izquierda (ángulo \alpha) y el cable 2 a la derecha (ángulo \beta). En horizontal, el cable 1 jala hacia la izquierda (signo menos) y el cable 2 hacia la derecha. En vertical, los dos cables jalan hacia arriba y el peso hacia abajo:
- T_1,\ T_2
- tensiones de los cables: las dos incógnitas [N]
- \alpha,\ \beta
- ángulos de los cables con la horizontal [°]
- T_1\cos\alpha
- componente horizontal de la tensión 1 [N]
- T_1\sin\alpha
- componente vertical de la tensión 1 [N]
- W
- el peso, que se conoce [N]
Con los números del simulador (W = 600\ \text{N}, \alpha = 35^\circ, \beta = 50^\circ), paso por paso:
Las dos ecuaciones \(\sum F_x = 0\) y \(\sum F_y = 0\) dicen lo mismo que el triángulo del simulador: las flechas, una detrás de otra, vuelven al punto de partida.
5 En el espacio: tres cables
Un peso colgado de tres cables en 3D. Cada tensión se escribe como en el taller 1: \vec T = T\boldsymbol\lambda, con \boldsymbol\lambda el unitario que va del anillo hacia el anclaje. Sale un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
- T_B,\ T_C,\ T_D
- magnitud de la tensión de cada cable; B, C y D son los puntos de anclaje [N]
- \boldsymbol\lambda_B
- unitario del anillo hacia B: el vector de A a B dividido entre su longitud [sin unidad]
- \vec W
- el peso como vector: hacia abajo, -W\,\mathbf k si z apunta hacia arriba [N]
Esa ecuación vectorial se separa en tres: una con las componentes x, otra con las y y otra con las z.
Los \boldsymbol\lambda se calculan con la geometría, antes de nada. Lo único desconocido son los tres números T_B, T_C, T_D. Si escribes las tensiones con componentes desconocidas, te quedan nueve incógnitas para tres ecuaciones.
El ejercicio 3 de «Ahora tú» es exactamente eso.
6 Problema resuelto
Un semáforo de 1200 N colgado de dos cables a 30° y 45°
Sobre un cruce de la avenida, un semáforo de 1200 N cuelga de una argolla. De la argolla salen dos cables hasta dos postes: el izquierdo a 30° sobre la horizontal y el derecho a 45°. Halla las tensiones T_1 (izquierdo) y T_2 (derecho).
Gíralo: los dos cables y el eslabón del semáforo se juntan en la argolla. Ese es el punto que se aísla.
El diagrama de cuerpo libre que deja la película, y la solución escrita como en el parcial:
Verde: las tensiones, alejándose del anillo. Naranja: el peso. Las flechas no están a escala.
7 Ahora tú
8 Ponte a prueba
9 La receta para el día del parcial
- Encuentra el punto donde se cruzan todas las fuerzas. Dibújalo solo.
- Peso abajo, cables jalando hacia afuera, superficies empujando perpendicular.
- Componentes con seno o coseno según desde dónde se mida el ángulo; en 3D, T\,\boldsymbol\lambda.
- \sum F_x = 0, \sum F_y = 0 (y \sum F_z = 0).
- Una tensión negativa es un error de dibujo o de signo. Revísalo antes de seguir.
- Chequeo: el polígono de fuerzas cierra, o Lami da lo mismo.
1. «Los cables jalan, las superficies empujan, la Tierra hala hacia abajo.»
2. Dos incógnitas por punto en el plano, tres en el espacio.
3. Equilibrio = el polígono de fuerzas cierra.
Responde las nueve preguntas para cerrar el taller.
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