Taller 1 · Estática

La fuerza de un cable, escrita como vector

Un cable no te dice «soy la fuerza (0,6; 0,9; −1,8) kN». Te dice de dónde sale, adónde llega y cuánto jala. Este taller es la receta para pasar de esas tres cosas al vector, a sus ángulos y a su sombra sobre cualquier otra línea.

⏱ 50 minutos

De dónde sale esto. Beer & Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros: Estática, 9.ª ed., secciones 2.12 a 2.14 (fuerza en el espacio definida por su magnitud y dos puntos) y 3.9 (producto escalar y proyección). Problemas: punto 1 de los parciales 2022-II y 2023-I. Todos los números salieron de un script de Python y se comprobaron por un segundo camino.

En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

El punto 1 del Parcial 1 empieza siempre igual. En 2022-II: «Se sabe que la tensión del cable BC es 800 lb. Escriba como vector la fuerza que dicho cable ejerce en el tubo OAB y determine los ángulos directores». En 2023-I: «Determine la fuerza que está actuando en el elemento AD». Después vienen el momento (taller 2) y el momento respecto a un eje (taller 3), pero todo arranca de este vector. Si sale mal aquí, sale mal todo el punto.

Piensa en una cuerda de tender ropa amarrada a un poste. La cuerda solo puede jalar, y solo puede jalar a lo largo de sí misma. Así que la dirección de la fuerza ya está escrita en la geometría: es la recta del cable. Lo único que falta es cuánto jala.

Ruta (léela antes de la primera cuenta)

Identifica los dos puntos del cable y sus coordenadas. El primero es el punto sobre el que actúa la fuerza.
Vector de posición: punta menos cola. Su largo es el largo del cable.
Divide por el largo: eso es la dirección pura, el unitario \boldsymbol\lambda.
Multiplica por la tensión: esa es la fuerza. De ahí salen los ángulos y cualquier proyección.

Lo que te llevas

La dirección la pone la geometría; la magnitud la pone el enunciado. La fuerza es el producto de las dos.

2 El simulador: mueve el anclaje y mira el vector

Un mástil vertical con un cable desde la punta D hasta un anclaje A en el suelo. Mueve el anclaje, la altura y la tensión. Arrastra la figura con el dedo para girarla; el botón «Vista del parcial» la devuelve a como la dibuja el profesor: z arriba, y a la derecha, x hacia ti.

vector de posición fuerza del cable proyección componentes y cotas

arrastra para girar

Anclaje x_A 2,0 m

Anclaje y_A 3,0 m

Altura h 6,0 m

Tensión T 2,1 kN

Qué significa cada símbolo

D,\ A: punta del mástil, en (0;\,0;\,h), y anclaje en el suelo, en (x_A;\,y_A;\,0) [m]
h: altura del mástil [m]
T: tensión del cable: lo que jala [kN]
\vec r_{DA}: vector de posición: flecha de D hasta A (amarilla punteada) [m]
r_{DA}: largo de esa flecha, que es el largo del cable [m]
\boldsymbol\lambda_{DA}: vector unitario: la dirección de D hacia A, con largo 1 [sin unidad]
\vec F: fuerza del cable sobre el mástil (naranja) [kN]
\theta_x,\,\theta_y,\,\theta_z: ángulos directores: el que forma la fuerza con el lado positivo de cada eje [°]
F_{DC}: proyección de la fuerza sobre la línea DC, con C(-2;\,3;\,0) m (rosada) [kN]

Qué tienes que notar

Sube la tensión: el vector naranja se estira, pero los tres ángulos no cambian. Los ángulos solo dependen de la geometría. Ahora lleva el anclaje a x negativo: la componente F_x se vuelve negativa y \theta_x pasa de 90^\circ. Y \theta_z siempre queda por encima de 90^\circ, porque el cable baja. Si llevas el anclaje justo al pie del mástil (x_A = 0 y y_A = 0), el simulador lo corre a x_A = 0{,}5 m: un cable pegado al mástil no lo sostiene.

3 Paso 1 · El vector de posición: punta menos cola

Frase del vector fuerza

Punta menos cola, divide y multiplica.

La cola va en el cuerpo que recibe la fuerza (la antena, el tubo). Divide por el largo del cable y multiplica por la tensión.

Para ir del punto D al punto A restas coordenada por coordenada, siempre destino menos origen (punta menos cola):

\begin{aligned}\vec r_{DA} &= A - D\\ &= (x_A - x_D)\,\mathbf i + (y_A - y_D)\,\mathbf j\\ &\quad + (z_A - z_D)\,\mathbf k\end{aligned}

Qué significa cada símbolo

\vec r_{DA}: flecha que va de D hasta A [m]
x_A,\,y_A,\,z_A: coordenadas del punto de llegada [m]
x_D,\,y_D,\,z_D: coordenadas del punto de salida [m]
\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k: flechas de largo 1 sobre x, y, z [sin unidad]

Con los datos del simulador, D(0;\,0;\,6) y A(2;\,3;\,0) m:

\begin{aligned}\vec r_{DA} &= (2-0)\,\mathbf i + (3-0)\,\mathbf j\\ &\quad + (0-6)\,\mathbf k\\ &= 2\,\mathbf i + 3\,\mathbf j - 6\,\mathbf k\ \text{m}\end{aligned}

El -6 no es un error: dice que para ir de la punta del mástil al suelo hay que bajar 6 m. El largo de un vector sale de Pitágoras en tres dimensiones: la raíz de la suma de los cuadrados de sus tres componentes.

r_{DA} = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z^2}

Qué significa cada símbolo

r_{DA}: largo (magnitud) del vector de posición; es un número positivo, sin flecha encima [m]
r_x,\,r_y,\,r_z: componentes de \vec r_{DA}: los números que acompañan a \mathbf i, \mathbf j y \mathbf k [m]

Con r_x = 2, r_y = 3 y r_z = -6 m. El signo menos desaparece al elevar al cuadrado, porque (-6)^2 = 36:

\begin{aligned}r_{DA} &= \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2}\\ &= \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49}\\ &= 7\ \text{m}\end{aligned}

El orden de la resta decide el sentido de la fuerza

La fuerza que el cable le hace al mástil jala al mástil hacia el anclaje: va de D hacia A, así que es A - D. Si restas al revés, D - A = -2\,\mathbf i - 3\,\mathbf j + 6\,\mathbf k, obtienes la fuerza que el cable le hace al anclaje. Las dos existen (acción y reacción), pero el enunciado pregunta por una sola. En 2022-II decía «la fuerza que el cable ejerce en el tubo»: la cola va en el tubo.

Mnemotecnia «El cable jala: la cola va en quien recibe la fuerza.» Pon la cola del vector en el cuerpo que estás estudiando y la punta hacia donde está amarrado el otro extremo. Se comprueba siempre: un cable nunca empuja, así que su fuerza tiene que apuntar alejándose del cuerpo.

4 Paso 2 · El unitario y la fuerza

El vector de posición mide 7 m; la fuerza mide 2,1 kN. Los dos apuntan hacia el mismo lado, pero tienen tamaños y unidades distintas. Para pasar de uno a otro primero le quitas el tamaño al vector de posición (lo divides por su largo) y después le pones el tamaño de la fuerza (lo multiplicas por la tensión):

\begin{gathered}\boldsymbol\lambda_{DA} = \frac{\vec r_{DA}}{r_{DA}}\\[6pt] \vec F = T\,\boldsymbol\lambda_{DA} = T\,\frac{\vec r_{DA}}{r_{DA}}\end{gathered}

Qué significa cada símbolo

\boldsymbol\lambda_{DA}: vector unitario: la dirección de D hacia A, con largo 1 [sin unidad]
\vec r_{DA}: vector de posición de D hasta A, el del paso 1 [m]
r_{DA}: largo del cable (sin flecha: es solo el número) [m]
T: tensión del cable, el número que da el enunciado [kN, N o lb]
\vec F: fuerza del cable sobre el mástil [kN]

Mnemotecnia «Punta menos cola, divide por el largo, multiplica por la tensión.» Tres verbos, siempre en ese orden. Con eso sale cualquier fuerza de cable del parcial.

Chequeo sin repetir la cuenta La suma de los cuadrados de las componentes de \boldsymbol\lambda tiene que dar 1: (2/7)^2 + (3/7)^2 + (-6/7)^2 = (4 + 9 + 36)/49 = 1 ✓. Y el tamaño de \vec F tiene que dar la tensión: \sqrt{0{,}6^2 + 0{,}9^2 + (-1{,}8)^2} = \sqrt{0{,}36 + 0{,}81 + 3{,}24} = \sqrt{4{,}41} = 2{,}1 kN ✓.

5 Paso 3 · Los ángulos directores

Frase de los ángulos

Componente sobre tamaño; si baja, pasa de 90°.

\cos\theta_i = F_i/F. La componente negativa da el ángulo obtuso, y los tres cosenos al cuadrado suman 1.

Cada componente de \boldsymbol\lambda es el coseno del ángulo que forma la fuerza con ese eje. Por eso se llaman cosenos directores:

\begin{gathered}\cos\theta_x = \frac{F_x}{F} = \lambda_x\\[6pt] \cos\theta_y = \frac{F_y}{F} = \lambda_y\\[6pt] \cos\theta_z = \frac{F_z}{F} = \lambda_z\end{gathered}

Qué significa cada símbolo

\theta_x,\,\theta_y,\,\theta_z: ángulo entre la fuerza y el lado positivo de cada eje, entre 0^\circ y 180^\circ [°]
F_x,\,F_y,\,F_z: componentes de la fuerza [kN]
F: magnitud de la fuerza, igual a la tensión [kN]
\lambda_x,\,\lambda_y,\,\lambda_z: componentes del unitario; son los cosenos directores [sin unidad]

El ángulo se mide desde el lado positivo del eje (la línea punteada con punta), no desde el lado que te quede más cerca. Por eso \theta_z de un cable que baja siempre pasa de 90^\circ. Aquí \cos\theta_z = F_z/F = -1{,}8/2{,}1 = -0{,}857, así que \theta_z = 149{,}0^\circ, no 31{,}0^\circ.

Con \vec F = 0{,}6\,\mathbf i + 0{,}9\,\mathbf j - 1{,}8\,\mathbf k kN:

\begin{aligned}\theta_x &= \cos^{-1}\frac{0{,}6}{2{,}1} = \cos^{-1}(0{,}2857)\\ &= 73{,}4^\circ\\[6pt] \theta_y &= \cos^{-1}\frac{0{,}9}{2{,}1} = \cos^{-1}(0{,}4286)\\ &= 64{,}6^\circ\\[6pt] \theta_z &= \cos^{-1}\frac{-1{,}8}{2{,}1} = \cos^{-1}(-0{,}8571)\\ &= 149{,}0^\circ\end{aligned}

Qué significa el signo: F_z negativa quiere decir que la fuerza apunta hacia abajo, y el arcocoseno de un número negativo siempre da un ángulo obtuso. La calculadora lo hace sola; tú solo tienes que no «arreglarlo» quitándole el signo.

El error que más puntos cuesta aquí

Calcular \cos^{-1}(1{,}8/2{,}1) = 31{,}0^\circ en vez de 149{,}0^\circ. Son suplementarios (suman 180^\circ) y el segundo es el correcto. En 2022-II la respuesta era \theta_y = 165{,}56^\circ, no 14{,}44^\circ, justamente porque el cable iba hacia y negativo.

Chequeo que siempre funciona \cos^2\theta_x + \cos^2\theta_y + \cos^2\theta_z = 1. Con los tres cosenos de arriba: 0{,}2857^2 + 0{,}4286^2 + (-0{,}8571)^2 = 0{,}0816 + 0{,}1837 + 0{,}7347 = 1{,}000 ✓. Si te dan dos ángulos y te piden el tercero, esta misma ecuación te lo da, con dos posibles respuestas (una aguda, una obtusa); el signo de la componente decide cuál.

6 Paso 4 · La proyección sobre otra línea

Frase de la proyección

La sombra: punto con el unitario de la otra línea.

Nunca sale más larga que la fuerza, y lleva signo menos si la fuerza apunta en contra de la línea.

«Determine la proyección de la fuerza en la línea AC» (2023-I, punto 1b) pregunta: si la fuerza fuera una linterna encima de la línea AC, ¿qué tan larga sería su sombra sobre ella? Se calcula con el producto punto entre la fuerza y el unitario de la línea:

\begin{aligned}F_{AC} &= \vec F \cdot \boldsymbol\lambda_{AC}\\ &= F_x\lambda_x + F_y\lambda_y + F_z\lambda_z\\ &= F\cos\theta\end{aligned}

Qué significa cada símbolo

F_{AC}: proyección (sombra) de la fuerza sobre la línea AC; puede ser negativa [kN]
\vec F: la fuerza que se proyecta [kN]
\boldsymbol\lambda_{AC}: unitario de la línea sobre la que proyectas [sin unidad]
F_x,\,F_y,\,F_z: componentes de la fuerza [kN]
\lambda_x,\,\lambda_y,\,\lambda_z: componentes de \boldsymbol\lambda_{AC} [sin unidad]
F: magnitud de la fuerza [kN]
\theta: ángulo entre la fuerza y la línea [°]

La proyección es la sombra de la fuerza (naranja) sobre la línea: el tramo rosado, F_{AC} = F\cos\theta. La línea punteada cae perpendicular a la línea AC.

Ejemplo con los datos del simulador

La fuerza \vec F = 0{,}6\,\mathbf i + 0{,}9\,\mathbf j - 1{,}8\,\mathbf k kN del cable DA, proyectada sobre la línea que va de D a C(-2;\,3;\,0) m (es el botón «Proyectar sobre DC»):

Con el unitario, no con el vector de posición

Si multiplicas por \vec r_{AC} en vez de por \boldsymbol\lambda_{AC}, el resultado queda multiplicado por el largo de AC. En el parcial de 2023-I eso da 2{,}06 \times 5{,}745 = 11{,}8 kN·m en vez de 2,06 kN: ni siquiera quedan unidades de fuerza. Una hoja resuelta de ese parcial terminó en 19,15: más grande que la propia fuerza de 2,4 kN, lo que es imposible.

La sombra nunca es más larga que la fuerza Siempre |F_{AC}| \le F, porque es F\cos\theta y un coseno no pasa de 1. Si te sale mayor, hay un error. Si te sale negativa, no es error: la fuerza apunta «de regreso» respecto al sentido que escogiste para la línea (ángulo mayor de 90^\circ).

7 Problemas de parciales, resueltos

Parcial 2023-I, punto 1: el mástil con dos cables

Un mástil vertical va del origen hasta A(0;\,0;\,5) m. De A salen dos cables al suelo: uno hasta D(2;\,1;\,0) y otro hasta C(2;\,-2;\,0) m. El cable AD está tensionado a 2,4 kN. (a) La fuerza en AD como vector y sus ángulos directores. (b) Su proyección sobre la línea AC. (Los puntos se renombraron respecto al enunciado original para que la cola quede en el mástil; los números son los del parcial.)

arrastra para girar

Parcial 2022-II, punto 1(a): el tubo OAB

La tensión del cable BC es 800 lb. B está en (5;\,7;\,1{,}5) pies y C en (6;\,0;\,3) pies. Escriba como vector la fuerza que el cable ejerce en el tubo y sus ángulos directores. (El momento de esta misma fuerza, partes b y c, está en los talleres 2 y 3.)

8 Ahora tú

Tres ejercicios, de menos a más. Intenta cada uno en papel antes de abrir la primera pista. Están calibrados con el parcial: el tercero vale lo que vale el punto 1(a).

9 Ponte a prueba

10 La receta para el día del parcial

Escribe las coordenadas de los dos extremos del cable. Revisa la convención de la figura: en los parciales, z arriba, y a la derecha, x hacia ti.
Cola en el cuerpo que recibe la fuerza, punta en el anclaje: \vec r = \text{punta} - \text{cola}.
Largo: r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z^2}. Si sale un número entero, buena señal.
\vec F = T\,\vec r / r. Comprueba que su tamaño da la tensión.
Ángulos: \theta = \cos^{-1}(F_i/F) con el signo. Comprueba que los tres cosenos al cuadrado sumen 1.
Proyección: producto punto con el unitario de la otra línea. Nunca mayor que F.

Si solo te llevas tres frases

1. «Punta menos cola, divide por el largo, multiplica por la tensión.»

2. «El cable jala: la cola va en quien recibe la fuerza.»

3. La sombra nunca es más larga que la fuerza.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

Siguiente: el momento de una fuerza →

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