Taller 3 · Estática

Momento respecto a un eje: lo que de verdad gira

Una puerta solo puede girar alrededor de sus bisagras. De todo el momento que le hace una fuerza, a la puerta solo le importa el pedazo que va a lo largo de ese eje. Ese pedazo es un número, y sale de un determinante de tres filas.

⏱ 55 minutos

De dónde sale esto. Beer & Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros: Estática, 9.ª ed., secciones 3.10 (triple producto escalar) y 3.11 (momento de una fuerza con respecto a un eje dado). Problemas: punto 1(c) del parcial 2022-II y punto 2 del parcial 2023-I (la placa triangular, que es un problema del libro). Números verificados en Python desde dos puntos distintos del eje.

En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

Apareció en los dos parciales revisados. En 2022-II como «(c) El momento que produce la fuerza respecto al eje OA», y en 2023-I fue un punto entero: «Si la fuerza ejercida por el cable CF en C es de 33 N, determine el momento de esa fuerza respecto de la línea que une los puntos D y B». En la hoja resuelta de ese punto el estudiante hizo bien todo hasta el final y perdió un punto en el último paso. Aquí está ese último paso con lupa.

Ruta (antes de la primera cuenta)

Unitario del eje, \boldsymbol\lambda, con dos puntos del eje.
\vec r desde cualquier punto del eje hasta cualquier punto de la línea de acción.
La fuerza en componentes (taller 1).
Determinante de tres filas: \boldsymbol\lambda, \vec r, \vec F. Da un número con signo.

Lo que te llevas

El momento respecto a un eje es un número: la parte del momento que va a lo largo de ese eje.

2 El simulador: una puerta con bisagras inclinadas

Una puerta cuadrada gira alrededor de un eje (línea punteada gris). La fuerza naranja actúa en la esquina A. El recuadro mide el momento completo respecto a P (morado) y lo parte en lo que gira (rosado, también dibujado sobre el eje) y lo que solo dobla las bisagras (gris). Cambia el eje y la fuerza. Las bisagras siempre pasan por P, que está en el origen, y la esquina A está en (3;\,1;\,0) m.

\vec r, de P hasta A fuerza momento en P parte sobre el eje

arrastra para girar

F_x 20 N

F_y −30 N

F_z 60 N

Qué significa cada símbolo

P,\ Q: dos puntos del eje de las bisagras; P es el origen y, en el eje oblicuo, Q(2;\,4;\,4) [m]
\boldsymbol\lambda: unitario del eje: flecha gris de largo 1 que dice hacia dónde apunta el eje [sin unidad]
\vec r: vector de posición de P (un punto del eje) hasta A (donde actúa la fuerza) [m]
\vec F: la fuerza, con las componentes F_x, F_y, F_z de los deslizadores [N]
\vec M_P: momento completo de la fuerza respecto al punto P; |\vec M_P| es su tamaño [N·m]
M_{PQ},\ M_x,\ M_y,\ M_z: momento respecto al eje escogido: la parte de \vec M_P que va a lo largo del eje («gira») [N·m]
\text{dobla}: tamaño de la parte de \vec M_P perpendicular al eje: la aguantan las bisagras [N·m]

Qué tienes que notar

Con «Eje z», el número del eje es exactamente la tercera componente de \vec M_P del panel. Con el eje x, la primera. Y con el botón «Poner F paralela al eje», la barra rosada se va a cero aunque la morada siga siendo grande: una fuerza paralela a las bisagras solo tuerce las bisagras, no abre la puerta.

3 La idea: lo que gira y lo que dobla

El momento \vec M_P de la fuerza respecto a un punto P del eje se puede partir en dos pedazos: uno a lo largo del eje y otro perpendicular. El perpendicular intenta sacar la puerta de sus bisagras; las bisagras lo aguantan y no pasa nada. El de a lo largo del eje es el que abre la puerta.

La sombra del momento morado \vec M_P sobre el eje es el tramo rosado. Eso es M_{PQ}. La parte punteada, perpendicular al eje, es la que solo dobla las bisagras.

Tomar la parte de un vector a lo largo de una línea es proyectar (taller 1): producto punto con el unitario de la línea.

\begin{aligned}M_{PQ} &= \boldsymbol\lambda_{PQ}\cdot\vec M_P\\ &= \boldsymbol\lambda_{PQ}\cdot(\vec r\times\vec F)\end{aligned}

Qué significa cada símbolo

M_{PQ}: momento respecto al eje PQ; es un escalar con signo [N·m]
\boldsymbol\lambda_{PQ}: unitario del eje, de P hacia Q [sin unidad]
\vec M_P: momento de la fuerza respecto al punto P, que está sobre el eje (taller 2) [N·m]
\vec r: vector de posición: de cualquier punto del eje a cualquier punto de la línea de acción [m]
\vec F: la fuerza [N]

Qué significa el signo: si M_{PQ} > 0, la puerta gira en sentido antihorario mirando desde la punta de \boldsymbol\lambda hacia atrás. Si es negativo, horario. Si escoges \boldsymbol\lambda al revés (de Q a P), el número cambia de signo pero la puerta gira igual: por eso siempre hay que decir hacia dónde apunta \boldsymbol\lambda.

4 El atajo: un solo determinante

No hace falta calcular primero el producto cruz y después el punto. Los dos pasos juntos son el triple producto escalar, que es un determinante de tres filas por tres columnas:

M_{PQ} = \begin{vmatrix} \lambda_x & \lambda_y & \lambda_z \\ r_x & r_y & r_z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}

Qué significa cada símbolo

M_{PQ}: momento respecto al eje PQ: un número con signo [N·m]
\lambda_x,\,\lambda_y,\,\lambda_z: componentes del unitario del eje (fila de arriba) [sin unidad]
r_x,\,r_y,\,r_z: componentes de \vec r, de un punto del eje a un punto de la línea de acción (fila del medio) [m]
F_x,\,F_y,\,F_z: componentes de la fuerza (fila de abajo) [N]

Se abre por la primera fila, igual que el determinante del taller 2, solo que en vez de \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k arriba están los tres números de \boldsymbol\lambda. La del medio lleva el menos:

\begin{aligned}M_{PQ} &= \lambda_x\,(r_yF_z - r_zF_y)\\ &\quad - \lambda_y\,(r_xF_z - r_zF_x)\\ &\quad + \lambda_z\,(r_xF_y - r_yF_x)\end{aligned}

Los tres paréntesis (el segundo, con su menos) son las componentes de \vec r\times\vec F. Por eso este determinante es lo mismo que \boldsymbol\lambda\cdot(\vec r\times\vec F).

Mnemotecnia «Eje, brazo, fuerza: de arriba abajo, en el orden en que se lo dirías a alguien.» ¿Respecto a qué eje? (\boldsymbol\lambda). ¿Desde dónde? (\vec r). ¿Qué fuerza? (\vec F). Ese orden es el del determinante. Intercambiar dos filas le cambia el signo al resultado.

Con los datos del simulador: P(0;\,0;\,0), Q(2;\,4;\,4), A(3;\,1;\,0) m y \vec F = 20\,\mathbf i - 30\,\mathbf j + 60\,\mathbf k N.

\vec r va de un punto del eje a un punto de la línea de acción

Cualquier punto del eje sirve: con Q en vez de P, \vec r = A - Q = (3-2;\ 1-4;\ 0-4) = (1;\,-3;\,-4) m y el determinante vuelve a dar -173{,}33 N·m (está hecho en el último paso de arriba). Lo que no sirve es un punto fuera del eje. En 2023-I el eje era DB, así que \vec r tenía que salir de D o de B, no del origen.

5 Cuándo da cero sin hacer cuentas

Izquierda: la fuerza es paralela al eje. Derecha: su línea de acción corta el eje. En los dos casos, la puerta no gira.

Mnemotecnia «Si la fuerza toca el eje o corre paralela a él, no lo hace girar.» Empuja una puerta directo hacia las bisagras (la línea toca el eje) o hacia arriba, paralelo a las bisagras: no se abre. Se comprueba con el determinante: en el primer caso \vec r puede tomarse en el punto de corte, así que \vec r = \vec 0 y una fila de ceros hace cero el determinante; en el segundo, las filas de \boldsymbol\lambda y de \vec F son proporcionales (una es la otra multiplicada por un número) y un determinante con dos filas proporcionales vale cero.

6 Si el eje es un eje coordenado, ya lo tienes

Con \boldsymbol\lambda = \mathbf i, el producto punto se queda solo con la primera componente:

\begin{aligned}M_x &= \mathbf i\cdot\vec M_O = M_{O,x}\\ M_y &= \mathbf j\cdot\vec M_O = M_{O,y}\\ M_z &= \mathbf k\cdot\vec M_O = M_{O,z}\end{aligned} solo si el punto O está sobre ese eje (el origen está sobre los tres)

Qué significa cada símbolo

M_x,\,M_y,\,M_z: momento de la fuerza respecto al eje x, al eje y y al eje z: tres números con signo [N·m]
\vec M_O: momento de la fuerza respecto al origen O, el del taller 2 [N·m]
M_{O,x},\,M_{O,y},\,M_{O,z}: los tres números que acompañan a \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k en \vec M_O [N·m]
\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k: unitarios de los ejes x, y, z [sin unidad]

Por qué: \mathbf i\cdot\vec M_O = (1)(M_{O,x}) + (0)(M_{O,y}) + (0)(M_{O,z}); los ceros borran las otras dos componentes.

Así se resolvió el punto 1(c) de 2022-II: el tubo OA iba sobre el eje y, y el momento respecto a O ya estaba calculado en el taller 2. La respuesta era la componente \mathbf j: M_{OA} = -664{,}05 lb·pie. El menos dice que el tubo tiende a girar en sentido horario visto desde la punta del eje y.

7 Problemas de parciales, resueltos

Parcial 2023-I, punto 2: la placa triangular

La placa ABC se sostiene con rótulas en B y D y los cables AE y CF. La fuerza del cable CF en C es de 33 N. Determine el momento de esa fuerza respecto de la línea DB. En la figura del parcial el eje y es vertical; con sus cotas, D(0;\ 0{,}7;\ 0{,}6), C(0;\ 0{,}9;\ 0{,}2), B(1{,}2;\ 0{,}35;\ 0{,}6) y F(0{,}6;\ 0;\ 0) m.

arrastra para girar

Donde se perdió el punto en el parcial

La hoja resuelta llegó bien a \vec M_D = -12\,\mathbf i - 7{,}2\,\mathbf j - 3{,}6\,\mathbf k y a \boldsymbol\lambda_{DB} = 0{,}96\,\mathbf i - 0{,}28\,\mathbf j. Después multiplicó el número M_{DB} otra vez por \boldsymbol\lambda y escribió un vector. Si te piden «el momento respecto de la línea», la respuesta es el número -9{,}50 N·m. Solo si piden «la componente vectorial» se multiplica por \boldsymbol\lambda_{DB}, y daría -9{,}504\,(0{,}96\,\mathbf i - 0{,}28\,\mathbf j) = -9{,}12\,\mathbf i + 2{,}66\,\mathbf j N·m.

Parcial 2022-II, punto 1(c): el eje OA

La misma fuerza del cable BC de los talleres 1 y 2, \vec F = 110{,}67\,\mathbf i - 774{,}72\,\mathbf j + 166{,}01\,\mathbf k lb. Ahora piden su momento respecto al eje OA, con O(0;\,0;\,0) y A(0;\,7;\,0) pies.

8 Ahora tú

9 Ponte a prueba

10 La receta para el día del parcial

Mira primero si la fuerza es paralela al eje o si su línea lo corta: en ese caso la respuesta es 0 y se acabó.
Dos puntos del eje → \boldsymbol\lambda. Escribe hacia dónde apunta.
\vec r de un punto del eje a un punto de la línea de acción (el que deje más ceros).
Determinante con las filas \boldsymbol\lambda, \vec r, \vec F, en ese orden. Si el eje es x, y o z y pasa por el origen, basta la componente de \vec M_O.
Chequeo: repítelo con el otro punto del eje; tiene que dar lo mismo.
Respuesta: un número con unidades y su sentido («horario visto desde B hacia D», por ejemplo). Vector solo si lo piden.

Si solo te llevas tres frases

1. «Eje, brazo, fuerza: de arriba abajo.»

2. «Si la fuerza toca el eje o corre paralela a él, no lo hace girar.»

3. El momento respecto a un eje es un número.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

Siguiente: el par y el traslado de fuerzas →

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