Taller 4 · Estática

El par, y lo que cuesta mover una fuerza

Dos manos girando un volante no empujan el carro para ningún lado, pero lo hacen girar. Eso es un par. Y resulta que cualquier fuerza se puede mover a otro punto si le agregas el par justo. Esas dos ideas son las piezas del torsor.

⏱ 50 minutos

De dónde sale esto. Beer & Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros: Estática, 9.ª ed., secciones 3.12 a 3.17 (momento de un par, pares equivalentes, adición de pares, pares como vectores, descomposición de una fuerza en una fuerza en O y un par). Datos: el par de 200 lb·pie del punto 3 de 2023-I y el primer paso del punto 3 de 2022-II. El teorema de Varignon está en el taller 2.

En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

El punto 3 del parcial (100 % de los parciales revisados) pide reducir un sistema a una llave de torsión. El primer paso siempre es llevar todas las fuerzas a un mismo punto, y cada fuerza que mueves deja un par. Si el enunciado trae además un par suelto, como el de 200 lb·pie de 2023-I, hay que saber escribirlo como vector. La hoja resuelta de ese parcial perdió puntos justo ahí: calculó los momentos de las tres fuerzas y se le olvidó sumar el par.

Ruta

Un par se reconoce por dos fuerzas iguales y opuestas que no están sobre la misma línea, o por una flecha curva con unidades de fuerza por distancia.
Como vector: magnitud por el unitario de su eje (mano derecha), \vec M = M\,\boldsymbol\lambda.
Para mover una fuerza de A a B: la fuerza queda igual y aparece el par \vec M_B = \vec r_{BA}\times\vec F.
Los pares se suman como vectores, sin importar dónde estén.

Qué significa cada símbolo

\vec F: la fuerza que se quiere mover [N]
\vec M,\ M: un par escrito como vector, y su magnitud (su tamaño) [N·m]
\boldsymbol\lambda: unitario del eje de giro: flecha de largo 1 que solo dice la dirección [sin unidad]
\vec r_{BA}: vector de posición que sale de B (punto nuevo) y llega a A (punto viejo) [m]
\vec M_B: par que aparece en B al llevar la fuerza hasta allá [N·m]
\times: producto cruz, el del taller 2 [—]

Lo que te llevas

Un par solo hace girar, y hace girar igual desde cualquier punto.

2 El simulador: el par que no depende del punto, y el que nace al mover

fuerzas par / momento vectores de posición \vec r distancias y líneas de acción

arrastra O

Magnitud F 200 N

Qué significa cada símbolo

O: punto respecto al cual se toman los momentos (modo «Par de fuerzas»); lo arrastras tú [m]
A,\ B: en «Par de fuerzas»: donde actúan \vec F y -\vec F, en (1;\ 0) y (3;\ 1{,}5) m. En «Trasladar»: A es donde está la fuerza, (4;\ 2) m, y B adonde la llevas [m]
\vec F,\ -\vec F: la fuerza (flecha naranja) y su opuesta: mismo tamaño F, sentido contrario [N]
\vec r_A,\ \vec r_B: vectores de posición de O hasta A y de O hasta B (flechas amarillas punteadas) [m]
\vec r_{BA}: vector de B hasta A; se calcula A - B [m]
d: distancia perpendicular entre líneas de acción, o de B a la línea de acción [m]
M_B: par que nace en B al trasladar la fuerza (arco morado); positivo si gira antihorario [N·m]
x\,F_y - y\,F_x: momento en el plano: x, y son las componentes de \vec r y F_x, F_y las de la fuerza [N·m]

Qué tienes que notar

En «Par de fuerzas», arrastra O por toda la placa: el momento de cada fuerza cambia, pero la suma no se mueve: con F = 200 N se queda en F\,d = 200\,(2) = 400 N·m. Si cambias la magnitud, la suma pasa a ser el nuevo F\,d, y otra vez no depende de O.

En «Trasladar», arrastra B: la fuerza en B es la misma de siempre, y el par morado crece a medida que B se aleja de la línea de acción. Como la fuerza es vertical, subir o bajar B no cambia el par; solo cuenta qué tan lejos queda B, hacia los lados, de la línea punteada. Si B cae sobre la línea, el par es cero: mover una fuerza por su propia línea es gratis.

3 El par: suma cero, momento que no cambia

Frase del par

El par no se mueve: gira igual desde cualquier punto.

Su tamaño es fuerza por la distancia entre las líneas de acción, no entre los puntos. Como dos manos en un volante.

Dos fuerzas: \vec F en A y -\vec F en B. Sumadas dan cero, \vec F + (-\vec F) = \vec 0, así que no trasladan nada. Su momento respecto a un punto O cualquiera es la suma de los momentos de cada una:

\begin{aligned}\vec M &= \vec r_A\times\vec F + \vec r_B\times(-\vec F)\\ &= \vec r_A\times\vec F - \vec r_B\times\vec F\\ &= (\vec r_A - \vec r_B)\times\vec F\\ &= \vec r_{BA}\times\vec F\end{aligned} O desapareció de la cuenta: el par vale lo mismo desde cualquier punto

Renglón por renglón. Del primero al segundo: el signo menos de -\vec F se saca al frente del producto cruz. Del segundo al tercero: como los dos términos tienen el mismo \times\vec F, se saca como factor común. Del tercero al cuarto: \vec r_A - \vec r_B es «llegada menos salida», o sea el vector que sale de B y llega a A. Ese vector solo depende de dónde están A y B, no de O.

Qué significa cada símbolo

\vec M: momento del par; un vector libre, perpendicular al plano de las dos fuerzas [N·m]
O: punto cualquiera respecto al cual se toman los momentos [m]
\vec r_A,\ \vec r_B: vectores de posición de O hasta A y de O hasta B [m]
\vec r_{BA}: vector de B hasta A (de una línea de acción a la otra) [m]
\vec F,\ -\vec F: las dos fuerzas del par: igual tamaño, sentidos opuestos [N]

Para el tamaño se usa lo que ya sabes del producto cruz (taller 2): su tamaño es el producto de los dos tamaños por el seno del ángulo entre ellos.

\begin{aligned}M &= |\vec r_{BA}|\,F\,\sin\theta\\ &= F\,\big(|\vec r_{BA}|\sin\theta\big)\\ &= F\,d\end{aligned}

Qué significa cada símbolo

M: tamaño (magnitud) del momento del par [N·m]
F: magnitud de cada una de las dos fuerzas [N]
|\vec r_{BA}|: distancia entre los puntos A y B [m]
\theta: ángulo entre \vec r_{BA} y la fuerza [°]
d: distancia perpendicular entre las dos líneas de acción: d = |\vec r_{BA}|\sin\theta [m]

Mnemotecnia «Un par no tiene dirección de casa: se lleva a cualquier parte.» Como su momento no depende del punto, el par se puede dibujar donde quieras y se suma con otros pares aunque estén en sitios distintos. Se comprueba en el simulador arrastrando O.

La distancia es entre las líneas, no entre los puntos

Si las fuerzas están en A(1;\ 0) y B(3;\ 1{,}5) m y son verticales, la distancia entre los puntos es \sqrt{(3-1)^2 + (1{,}5-0)^2} = \sqrt{4 + 2{,}25} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5 m, pero d = 3 - 1 = 2 m: lo que cuenta es la separación horizontal, perpendicular a las fuerzas. Con 200 N, el par vale 200\,(2) = 400 N·m, no 200\,(2{,}5) = 500 N·m. Son los números del simulador.

4 El par como vector

Frase del par como vector

Cierra la mano con el giro: el pulgar es el par.

Los pares se suman como vectores, componente a componente. Los tamaños solo se suman directo si apuntan igual.

En tres dimensiones el par se escribe como un vector a lo largo del eje alrededor del cual hace girar. El sentido lo da la mano derecha: dedos en el sentido del giro, el pulgar marca el vector.

\vec M = M\,\boldsymbol\lambda_{\text{eje}}

Qué significa cada símbolo

\vec M: el par como vector [N·m, o lb·pie]
M: magnitud del par: el número que da el enunciado [N·m, o lb·pie]
\boldsymbol\lambda_{\text{eje}}: unitario del eje de giro: un vector de tamaño 1 a lo largo del eje, apuntando hacia donde manda el pulgar [sin unidad]

La flecha curva (giro) y la flecha recta (vector) son la misma cosa dicha de dos maneras. A la izquierda miras el giro de frente y el vector viene hacia ti (el punto dentro del círculo es la punta de la flecha). A la derecha es lo mismo visto de lado: los dedos de la mano derecha siguen el anillo y el pulgar marca el vector.

El par de 2023-I

Sobre la barra BG actúa un par de 200 lb·pie que la hace girar alrededor de su propio eje, con B(0;\,0;\,3) y G(4;\,0;\,0) pies. Con el sentido de la flecha curva del enunciado, el vector va de B hacia G:

La barra va de B a G. El vector del par (morado) va a lo largo de ella; aquí está dibujado corrido a un lado para que se vea, con sus dos componentes punteadas.

Chequeo \sqrt{160^2 + 0^2 + (-120)^2} = \sqrt{25\,600 + 14\,400} = \sqrt{40\,000} = 200 lb·pie ✓. El vector del par tiene que medir lo que dice el enunciado.

5 Mover una fuerza cuesta un par

Frase del traslado

Mover una fuerza se paga con un par: r del nuevo al viejo.

La fuerza llega igual al punto nuevo; el par es el momento que ella tenía respecto a ese punto. Chequeo: el par queda perpendicular a la fuerza.

Tienes \vec F en A y la quieres en B. Agrega en B dos fuerzas \vec F y -\vec F (no cambian nada, se anulan). Ahora la \vec F original en A y la -\vec F en B forman un par. Lo que queda: \vec F en B más ese par.

En el cuadro 2, la fuerza original en A y la -\vec F de B (las dos resaltadas en morado) forman un par. Con A a la derecha de B y la fuerza hacia abajo, ese par gira en sentido horario.

\begin{gathered}\vec F\ \text{en A} \;\equiv\; \vec F\ \text{en B} \;+\; \vec M_B\\[4pt] \vec M_B = \vec r_{BA}\times\vec F\end{gathered}

Qué significa cada símbolo

\vec F: la fuerza que se traslada; es la misma antes y después [N]
\equiv: «equivale a»: le hace lo mismo al cuerpo rígido [—]
\vec r_{BA}: de B (punto nuevo) hasta A (punto viejo) [m]
\vec M_B: par que hay que agregar: el momento que tenía \vec F respecto a B [N·m]

Mnemotecnia «Mover una fuerza cuesta un par: el momento que ella tenía respecto al punto nuevo.» No hay fórmula nueva que memorizar: es el momento del taller 2 tomado respecto al punto de llegada. Se comprueba en el simulador: el par que aparece es exactamente x\,F_y - y\,F_x, donde x y y son las componentes de \vec r_{BA} (medidas desde B) y F_x, F_y las de la fuerza.

El sentido de \vec r

\vec r sale del punto nuevo y llega al viejo. En el simulador, con la fuerza de 300 N hacia abajo en A(4;\,2) m llevada a B(1;\,1) m: \vec r_{BA} = A - B = (4-1;\ 2-1) = (3;\,1) m, la fuerza es (F_x;\ F_y) = (0;\,-300) N y M_B = x\,F_y - y\,F_x = 3(-300) - 1(0) = -900 N·m, horario. Con \vec r_{AB} = (-3;\,-1) m saldría (-3)(-300) - (-1)(0) = +900 N·m: el par al revés.

Y al revés: de fuerza y par a una sola fuerza

En el plano, una fuerza en O y un par perpendicular a ella se pueden juntar en una sola fuerza, corrida una distancia d hacia el lado que produzca el giro del par:

d = \frac{|M|}{F}

Qué significa cada símbolo

d: cuánto hay que correr la fuerza, medido perpendicular a ella [m]
|M|: tamaño del par, sin signo [N·m]
F: magnitud de la fuerza [N]

Ejemplo: 300 N hacia abajo en O más un par de -900 N·m (horario). Primero el tamaño: d = 900/300 = 3 m. Después el lado: una fuerza hacia abajo puesta a la derecha de O hace girar en sentido horario, que es el sentido del par, así que va a la derecha. Con signos sale lo mismo: la fuerza es (0;\,-300) N, puesta en (x;\ 0) da un momento x\,F_y - y\,F_x = x(-300) - 0, y al igualarlo al par:

\begin{aligned}x\,(-300) &= -900\\ x &= \frac{-900}{-300} = 3\ \text{m}\end{aligned}

O sea: los 300 N hacia abajo, aplicados 3 m a la derecha de O, sin ningún par. Es el caso particular que se usa en el taller 5.

6 Problemas de parciales y del libro, resueltos

En el plano: la fuerza sobre la ménsula, llevada a O

Una fuerza horizontal de 600 N, hacia la derecha, actúa en A(0{,}5;\ 0{,}3) m. O es el origen. Reemplázala por una fuerza en O y un par.

A la izquierda, el enunciado. A la derecha, la respuesta: la misma fuerza en O y el par horario que la acompaña.

Parcial 2022-II, punto 3, primer paso: llevar \vec F_B al punto Q

En el cigüeñal, \vec F_B = 364\,\mathbf i + 1636\,\mathbf j - 1090\,\mathbf k N actúa en (360;\,0;\,-80) mm, y la solución oficial escoge llevar todo a Q(160;\,0;\,80) mm, que está sobre la línea de acción de \vec F_A (así \vec F_A se mueve gratis).

7 Ahora tú

8 Ponte a prueba

9 La receta para el día del parcial

Lista todas las fuerzas y todos los pares del enunciado. Encierra los pares en un círculo para no olvidarlos al sumar.
Cada par, como vector: M\,\boldsymbol\lambda con la mano derecha. Comprueba que su tamaño dé el del enunciado.
Para llevar una fuerza de A a B: la misma fuerza en B y el par \vec r_{BA}\times\vec F, con \vec r del punto nuevo al viejo.
Si el punto nuevo está sobre la línea de acción, ese traslado no cuesta nada.
Suma: fuerzas con fuerzas, pares con pares.

Si solo te llevas tres frases

1. «Un par no tiene dirección de casa: se lleva a cualquier parte.»

2. «Mover una fuerza cuesta un par: el momento que ella tenía respecto al punto nuevo.»

3. Los pares sueltos del enunciado se suman al final. No los olvides.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

Siguiente: sistemas equivalentes y torsor →

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