Taller 5 · Estática

Sistemas equivalentes y la llave de torsión

Muchas fuerzas y pares, uno encima del otro, siempre se pueden cambiar por algo más simple que hace exactamente lo mismo. A veces es una sola fuerza. Si no se puede, es un tornillo: una fuerza y un par sobre la misma línea. Encontrar ese tornillo es el punto 3 del parcial, siempre.

⏱ 70 minutos

De dónde sale esto. Beer & Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros: Estática, 9.ª ed., secciones 3.18 (reducción de un sistema a una fuerza y un par), 3.19 (sistemas equivalentes), 3.20 (sistemas equipolentes y casos particulares) y 3.21 (reducción a una llave de torsión). Problemas: punto 3 del parcial 2022-II (cigüeñal, con la respuesta oficial) y punto 3 del parcial 2023-I. Números verificados en Python por dos métodos.

En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

En los parciales revisados el punto 3 fue una llave de torsión en el 100 % de los casos: «Si es posible, reduzca el sistema mostrado a una llave de torsión e indique el punto donde el eje de la llave interseca el plano XZ» (2022-II); «Determine la llave de torsión equivalente, el paso del torsor y las coordenadas por donde la llave interseca el plano xy» (2023-I). Es el punto que más vale y el que tiene más pasos. Este taller los separa uno por uno.

La analogía: un tornillo que atornillas. Lo empujas (una fuerza a lo largo del tornillo) y lo giras (un par alrededor del mismo eje). Todo sistema de fuerzas, por enredado que sea, equivale a eso: un empujón y un giro sobre una misma línea.

Ruta completa del punto 3 (léela cuando te trabes)

Todas las fuerzas en componentes (taller 1) y todos los pares como vectores (taller 4).
Reduce a un punto O: \vec R = \sum\vec F y \vec M_O = \sum \vec r\times\vec F + \sum \vec M_{\text{pares}}.
Prueba: \vec M_O\cdot\vec R. Si es 0, basta una fuerza. Si no, torsor (torsor, tornillo y llave de torsión son tres nombres de lo mismo).
Paso p = (\vec M_O\cdot\vec R) / R^2 y par del torsor \vec M_1 = p\,\vec R.
El resto, \vec M_O - \vec M_1, se iguala a \vec r\times\vec R con el punto desconocido sobre el plano pedido.

Qué significa cada símbolo

\vec F: cada fuerza del sistema, en componentes [N]
\vec R: resultante: la suma de todas las fuerzas [N]
\vec r: vector de posición: del punto donde reduces al punto donde actúa la fuerza [m]
\vec M_O: momento de todo el sistema respecto al punto O [N·m]
p: paso del torsor: cuánto par hay por cada unidad de fuerza [m]
\vec M_1: par del torsor: la parte de \vec M_O que va a lo largo de \vec R [N·m]

En los parciales las unidades cambian (N y mm en 2022-II, lb y pies en 2023-I); las cuentas son las mismas.

Lo que te llevas

Todo sistema de fuerzas equivale a un tornillo: una fuerza y un par paralelos, sobre una misma línea.

2 El simulador: el sistema de 2023-I y su tornillo

La barra BG del parcial de 2023-I con sus tres fuerzas y su par. El panel reduce todo al origen y encuentra el tornillo: su eje (línea rosada), la fuerza \vec R sobre él, el par \vec M_1 y el punto P donde corta el plano xy. Cambia el par y la fuerza F_3, y gira la figura. La línea punteada de A a B solo muestra la dirección de \vec F_1; la flecha morada M_1 va sobre el eje, como un vector, y la flecha curva morada es el par del enunciado girando alrededor de la barra.

fuerzas pares eje del tornillo y R geometría

arrastra para girar

Par en la barra 200 lb·pie

Fuerza F_3 120 lb

Qué significa cada símbolo del tablero

\vec R: resultante de las tres fuerzas, como (R_x;\ R_y;\ R_z) [lb]
\vec M_O: momento de las tres fuerzas respecto al origen, más el par [lb·pie]
\vec M_O\cdot\vec R: producto punto: la prueba de si basta una sola fuerza [lb²·pie]
p: paso del tornillo [pies]
\vec M_1: par del tornillo, paralelo a \vec R [lb·pie]
P: punto donde el eje del tornillo atraviesa el plano xy (el piso cuadriculado) [pies]

Qué tienes que notar

Pon el par en 0: el punto donde el eje corta el plano xy salta de (4{,}86;\ 3{,}08) a (4{,}49;\ -0{,}75) pies. Eso es exactamente lo que perdió puntos en el parcial: la hoja resuelta olvidó sumar el par.

Y mira el paso p: con los datos del parcial vale 7,018 pies, no cero, así que ese sistema no se puede reducir a una sola fuerza. En todo el simulador el paso solo llega a cero en un caso: par en 0 y F_3 en 0. Ahí solo quedan \vec F_1 y \vec F_2, las dos aplicadas en B (fuerzas concurrentes), y una sola fuerza sí alcanza.

3 Paso 1 · Reducir a una fuerza y un par en O

Frase de la reducción

Suma las fuerzas, suma los momentos, y todo al mismo punto.

\vec R = \sum\vec F no depende del punto; \vec M_O = \sum \vec r\times\vec F más los pares, sí. Los pares se suman tal cual, sin brazo.

Con el traslado del taller 4, cada fuerza se lleva a O dejando su par. Al final quedan una sola fuerza (la suma de todas) y un solo par (la suma de todos los momentos y de los pares sueltos):

\begin{gathered}\vec R = \sum \vec F_i\\[4pt] \vec M_O^R = \sum \vec r_i\times\vec F_i + \sum \vec M_j\end{gathered}

Qué significa cada símbolo

\vec R: resultante: la suma de todas las fuerzas; no depende del punto [N]
\vec M_O^R: momento resultante en O; sí depende del punto. En el resto del taller se escribe \vec M_O, sin la R de arriba [N·m]
\vec F_i: la fuerza número i del sistema [N]
\vec r_i: de O a cualquier punto de la línea de acción de la fuerza i [m]
\vec r_i\times\vec F_i: producto cruz: el momento de esa fuerza respecto a O (taller 2) [N·m]
\vec M_j: cada par suelto del enunciado, como vector [N·m]

Mnemotecnia «Escoge el punto por donde pase la fuerza más fea.» La solución oficial de 2022-II no redujo al origen: redujo a Q, un punto sobre la línea de \vec F_A. Así \vec F_A no aporta momento y el determinante se hace una sola vez. Cualquier punto sirve; el que está sobre una de las fuerzas ahorra una cuenta.

Los pares sueltos van al final, y no se olvidan

En 2023-I, sin el par, el momento en el origen da

\vec M_O = \begin{gathered}(230{,}47\,\mathbf i + 116{,}36\,\mathbf j\\ +\ 480\,\mathbf k)\ \text{lb}\cdot\text{pie}\end{gathered}

y con el par de 200 lb·pie, que como vector es \vec M_C = (160\,\mathbf i - 120\,\mathbf k)\ \text{lb}\cdot\text{pie}:

\vec M_O = \begin{gathered}(390{,}47\,\mathbf i + 116{,}36\,\mathbf j\\ +\ 360\,\mathbf k)\ \text{lb}\cdot\text{pie}\end{gathered}

La hoja resuelta del parcial escribió «+\,\vec M_C» en la fórmula y después no lo sumó. Todo lo que siguió salió mal. La cuenta completa está en la sección 7.

4 Paso 2 · La prueba: ¿basta una sola fuerza?

Frase de la prueba

Si M·R = 0, basta una fuerza; si no, tornillo.

Fuerzas concurrentes, coplanares o paralelas: siempre una sola fuerza. Si no se cortan ni son paralelas, espera un tornillo.

Una sola fuerza produce momentos perpendiculares a ella. Así que el sistema se puede cambiar por una sola fuerza solo si \vec M_O ya es perpendicular a \vec R:

\begin{gathered}\vec M_O\cdot\vec R = 0 \;\Rightarrow\; \text{una sola fuerza}\\[4pt] \vec M_O\cdot\vec R \ne 0 \;\Rightarrow\; \text{llave de torsión}\end{gathered}

\vec M_O\cdot\vec R = M_xR_x + M_yR_y + M_zR_z

Qué significa cada símbolo

\vec M_O\cdot\vec R: producto punto: un número, no un vector. Vale cero cuando los dos vectores son perpendiculares [N²·m]
M_x,\ M_y,\ M_z: componentes de \vec M_O [N·m]
R_x,\ R_y,\ R_z: componentes de \vec R [N]

Mnemotecnia «Producto cero, fuerza sola; producto no cero, tornillo.» Es un producto punto, quince segundos. Hazlo siempre antes de buscar el eje: si da cero, el problema se acaba mucho antes. Por eso el enunciado dice «si es posible».

Tres casos dan cero siempre, y conviene reconocerlos sin hacer la cuenta (Beer 3.20):

Caso	Por qué el producto da cero	A qué se reduce
Fuerzas concurrentes (todas pasan por un punto)	Tomando momentos en ese punto, \vec M_O = \vec 0	Una fuerza por ese punto
Fuerzas coplanares (todas en un plano)	\vec R está en el plano; \vec M_O es perpendicular al plano	Una fuerza (o un par, si \vec R = \vec 0)
Fuerzas paralelas	\vec R es paralela a ellas; cada momento es perpendicular a ellas	Una fuerza (o un par, si \vec R = \vec 0)

Si da cero, la fuerza única \vec R se ubica en un punto de posición \vec r (medida desde O) tal que \vec r\times\vec R = \vec M_O: puesta ahí, ella sola produce el mismo momento que todo el sistema. Los ejercicios 1 y 2 de «Ahora tú» son de ese tipo.

5 Paso 3 · El tornillo: paso y par

Frase del tornillo

El paso es M·R sobre R², y el par va por la línea de R.

\vec M_1 = p\,\vec R es la parte paralela; lo que sobra, \vec M_\perp, es lo que se gasta corriendo la fuerza de lado.

Si \vec M_O\cdot\vec R \ne 0, parte \vec M_O en su pedazo a lo largo de \vec R (ese es el giro del tornillo) y su pedazo perpendicular (ese se elimina moviendo \vec R a otra línea):

\begin{gathered}p = \frac{\vec M_O\cdot\vec R}{R^2}\\[6pt] \vec M_1 = p\,\vec R\\[6pt] \vec M_\perp = \vec M_O - \vec M_1\end{gathered}

Qué significa cada símbolo

p: paso del torsor: cuánto par hay por cada unidad de fuerza; tiene unidades de longitud [m, pie, mm]
\vec M_1: par del torsor, paralelo a \vec R [N·m]
\vec M_\perp: la parte de \vec M_O perpendicular a \vec R; desaparece al mover \vec R a su eje [N·m]
R^2: la magnitud de la resultante al cuadrado: R_x^2 + R_y^2 + R_z^2 [N²]

De dónde sale la fórmula del paso. La parte de \vec M_O a lo largo de \vec R se saca proyectando sobre el unitario de la resultante, \boldsymbol\lambda_R = \vec R/R. El tamaño de esa parte es \vec M_O\cdot\boldsymbol\lambda_R, y para volverla vector se multiplica otra vez por el unitario:

\begin{gathered}\vec M_1 = (\vec M_O\cdot\boldsymbol\lambda_R)\,\boldsymbol\lambda_R = \left(\vec M_O\cdot\frac{\vec R}{R}\right)\frac{\vec R}{R}\\[6pt] = \frac{\vec M_O\cdot\vec R}{R^2}\,\vec R = p\,\vec R\end{gathered}

Qué significa cada símbolo

\boldsymbol\lambda_R: unitario de la resultante: misma dirección que \vec R, magnitud 1 [sin unidad]
R: magnitud de la resultante, sin flecha [N]

El tornillo: \vec R y \vec M_1 sobre la misma línea. Si apuntan igual, p \gt 0 (rosca derecha); si apuntan al revés, p \lt 0 (rosca izquierda). La flecha curva recuerda que \vec M_1 es un giro alrededor del eje.

La magnitud de \vec M_1 no es la de \vec M_O

En 2022-II (que reduce en el punto Q): |\vec M_Q| = 448\,443\ \text{N}\cdot\text{mm}, pero |\vec M_1| = 207\,407\ \text{N}\cdot\text{mm}. El par del tornillo es solo la parte del momento a lo largo de \vec R. Y ojo con la unidad del paso: 41,15 mm, no N·mm.

6 Paso 4 · Dónde corta el eje el plano pedido

Frase del punto de corte

En el plano pedido, una coordenada es cero: r × R = M⊥.

Plano xy: z = 0; xz: y = 0; yz: x = 0. Dos componentes dan las incógnitas y la tercera es el chequeo.

El eje del tornillo es la línea por donde hay que poner \vec R para que su momento respecto a O sea exactamente \vec M_\perp. Si el punto buscado está en el plano xy, es P(x;\,y;\,0) con dos incógnitas:

\begin{gathered}\vec r_{OP}\times\vec R = \vec M_\perp\\[4pt] \vec r_{OP} = x\,\mathbf i + y\,\mathbf j + 0\,\mathbf k\end{gathered}

El producto cruz se desarrolla componente por componente. Con z = 0 queda:

\begin{gathered}\mathbf i:\ \ y\,R_z - 0\,R_y = M_{\perp x}\\[3pt] \mathbf j:\ \ 0\,R_x - x\,R_z = M_{\perp y}\\[3pt] \mathbf k:\ \ x\,R_y - y\,R_x = M_{\perp z}\end{gathered}

Qué significa cada símbolo

P: el punto que se busca: donde el eje del tornillo atraviesa el plano pedido [m]
\vec r_{OP}: vector de posición del punto de reducción O al punto P [m]
x,\ y: las dos coordenadas desconocidas de P [m]
R_x,\ R_y,\ R_z: componentes de la resultante, ya conocidas [N]
M_{\perp x},\ M_{\perp y},\ M_{\perp z}: componentes de \vec M_\perp, ya conocidas [N·m]

Son tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, x y y. La primera da y sola y la segunda da x sola; la tercera sobra (tiene que cumplirse con esos mismos valores) y sirve de chequeo. Así lo resuelve la solución oficial.

Mnemotecnia «Plano xy: z = 0. Plano xz: y = 0. Plano yz: x = 0.» La letra que falta en el nombre del plano es la coordenada que vale cero. Te quedan dos incógnitas y tres ecuaciones: usa las dos más limpias y verifica con la tercera.

Si reduces en Q y no en O

Entonces \vec r va de Q al punto buscado: \vec r = (x - x_Q;\ y - y_Q;\ z - z_Q). En 2022-II la solución oficial escribió (x - 160;\ 0;\ z - 80)\ \text{mm}, porque había reducido en Q(160;\,0;\,80)\ \text{mm} y el punto buscado estaba en el plano xz (y = 0).

7 Problemas de parciales, resueltos completos

Parcial 2022-II, punto 3: el cigüeñal

Sobre un cigüeñal actúan dos fuerzas. F_A = 4000\ \text{N} con ángulos directores \theta_x = 100{,}49^\circ, \theta_z = 56{,}97^\circ y \cos\theta_y = 0{,}818; su línea de acción pasa por Q(160;\,0;\,80)\ \text{mm}. F_B = 2\ \text{kN} con cosenos directores \cos\theta_x = 0{,}182 y \cos\theta_z = -0{,}545, y \theta_y = 35{,}115^\circ; actúa en el punto B(360;\,0;\,-80)\ \text{mm}. Reduce a una llave de torsión e indica dónde el eje corta el plano XZ. En el dibujo del parcial el eje y es el vertical; para las cuentas eso no cambia nada.

Parcial 2023-I, punto 3: la barra BG (la del simulador)

Es el montaje del simulador de la sección 2, míralo allá. Puntos: B(0;\,0;\,3), G(4;\,0;\,0) y A(4;\,6;\,0) pies. Fuerzas: F_1 = 100\ \text{lb} aplicada en B y dirigida de A hacia B; F_2 = 90\ \text{lb} en B hacia +x; F_3 = 120\ \text{lb} en G hacia +y. Además hay un par de 200 lb·pie alrededor de la barra BG (su vector apunta de B hacia G). Halla la llave de torsión, el paso y el punto donde corta el plano xy.

8 Ahora tú

Dos que se reducen a una sola fuerza y uno que exige tornillo. El tercero es del tamaño del parcial, con números más amables.

9 Ponte a prueba

10 La receta para el día del parcial

Lista fuerzas y pares. Encierra los pares.
Cada fuerza en componentes; cada par, magnitud por unitario.
Escoge el punto de reducción: el origen o un punto sobre la fuerza más fea.
\vec R = \sum\vec F. \vec M = \sum\vec r\times\vec F + \sum\vec M_{\text{par}}. Chequea cada determinante con \vec M\cdot\vec F = 0 antes de sumar.
\vec M\cdot\vec R: cero → una fuerza; no cero → sigue.
p = (\vec M\cdot\vec R)/R^2 (longitud) y \vec M_1 = p\,\vec R.
\vec M_\perp = \vec M - \vec M_1 y \vec r\times\vec R = \vec M_\perp con la coordenada del plano en cero (o restada del punto de reducción).
Resuelve con dos ecuaciones, chequea con la tercera. Escribe: \vec R, \vec M_1, p y el punto, cada uno con su unidad.

Si solo te llevas tres frases

1. «Producto cero, fuerza sola; producto no cero, tornillo.»

2. «Escoge el punto por donde pase la fuerza más fea.»

3. «Plano xy: z = 0.» La letra que falta vale cero.

Responde las ocho preguntas para cerrar el taller.

Volver al Parcial 1 y hacer un simulacro