Taller 2 · Estática

El momento de una fuerza respecto a un punto

Una fuerza no solo empuja: también hace girar. Cuánto hace girar depende de la fuerza y de qué tan lejos pasa del punto. Aquí ves aparecer el brazo, entiendes el signo y aprendes el determinante que resuelve el caso en tres dimensiones sin dibujar nada.

⏱ 55 minutos

De dónde sale esto. Beer & Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros: Estática, 9.ª ed., secciones 3.4 a 3.8 (producto vectorial, momento de una fuerza respecto a un punto, teorema de Varignon, componentes rectangulares del momento). Problema: punto 1(b) del parcial 2022-II, con la respuesta oficial. Números verificados en Python por dos caminos.

En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

Abre una puerta empujando junto a las bisagras y después empujando en la manija, con la misma fuerza. Lo segundo es mucho más fácil. La fuerza es igual; lo que cambió es la distancia entre la línea por donde empujas y el eje de las bisagras. Esa capacidad de hacer girar es el momento.

En el parcial aparece como «(b) El momento que produce la fuerza respecto al punto O» (2022-II, punto 1). Y es la materia prima de todo lo que viene: el momento respecto a un eje (taller 3), el par (taller 4) y la reducción a torsor (taller 5) son momentos calculados con la misma receta.

Ruta (antes de la primera cuenta)

¿El problema es plano o en el espacio? En el plano, el atajo es fuerza por brazo o Varignon. En el espacio, el determinante.
Escoge un punto cualquiera de la línea de acción de la fuerza, el que tenga coordenadas más fáciles.
\vec r va desde el punto de momentos hasta ese punto.
\vec M_O = \vec r \times \vec F, en ese orden. Chequea que \vec M_O\cdot\vec F = 0.

Lo que te llevas

El momento mide cuánto hace girar una fuerza alrededor de un punto: tamaño de la fuerza por la distancia de su línea al punto.

2 El simulador: arrastra el punto de aplicación

Una placa que puede girar alrededor de O. La fuerza naranja se aplica en A. Arrastra A con el dedo a cualquier parte, gira la fuerza, y después usa el deslizador de abajo para correr A sobre su propia línea de acción. Mira el panel.

\vec r, de O hasta A fuerza momento en O línea de acción y brazo d

arrastra A

Dirección \theta 150°

Magnitud F 400 N

Correr A por su línea, s 0,0 m

Qué significa cada símbolo

O,\ A: pivote de la placa (punto de momentos) y punto donde se aplica la fuerza [m]
\vec r: vector de posición: flecha amarilla de O hasta A; sus componentes son x y y [m]
\vec F,\ F: la fuerza (flecha naranja) y su magnitud; sus componentes son F_x y F_y [N]
\theta: dirección de la fuerza, medida desde el eje +x (horizontal hacia la derecha) en sentido antihorario [°]
s: cuánto corriste A a lo largo de la línea de acción [m]
d: brazo: distancia perpendicular de O a la línea de acción (línea gris con la marca de ángulo recto) [m]
M_O: momento de la fuerza respecto a O (arco morado); positivo si gira antihorario [N·m]

Qué tienes que notar

Con el deslizador «Correr A por su línea», el vector \vec r cambia todo el tiempo, pero el momento no cambia ni un decimal: el brazo d es el mismo. Por eso puedes usar cualquier punto de la línea de acción. Ahora gira la fuerza hasta que su línea pase por O: el brazo se vuelve cero y el momento también. Con A en (3;\ 2) m eso pasa cerca de \theta = 35^\circ (queda un brazo de 0,082 m, porque el deslizador va de 5 en 5 grados). Para verlo en cero exacto, arrastra A hasta (3;\ 3) m y pon \theta = 45^\circ.

3 En el plano: fuerza por brazo, y el signo

Frase del momento en el plano

Fuerza por brazo, y el brazo cae a 90°.

El brazo es la perpendicular de O a la línea de acción, no la distancia de O al punto. Signo con la llave de tuercas: si gira como el reloj, es negativo (↺ +).

Cuando todo está en el plano xy, el momento solo puede hacer girar en dos sentidos: como el reloj o al revés. Su tamaño es la fuerza por la distancia perpendicular:

|M_O| = F\,d signo de M_O: + si gira antihorario, − si gira horario (mirando desde +z)

Qué significa cada símbolo

M_O: momento de la fuerza respecto a O; las barras |\ | quieren decir «su tamaño, sin signo» [N·m]
F: magnitud de la fuerza [N]
d: brazo: distancia perpendicular de O a la línea de acción [m]

El brazo d cae en ángulo recto sobre la línea de acción. La distancia OA (punteada) no es el brazo: OA es la hipotenusa del triángulo y d es un cateto, así que d nunca es mayor que OA.

El error de este paso: usar OA como brazo

Con los datos del simulador, OA = \sqrt{3^2 + 2^2} = 3{,}606 m, pero el brazo es d = 3{,}232 m. Gira la fuerza a \theta = 30^\circ y verás que OA sigue en 3,606 m mientras d baja a 0,232 m. Ahí, usar OA da un momento 3{,}606/0{,}232 = 15{,}5 veces más grande que el verdadero.

De dónde salen esos dos brazos: del momento que muestra el panel, dividido por la fuerza. Con 150^\circ, d = 1292{,}82/400 = 3{,}232 m; con 30^\circ, d = 92{,}82/400 = 0{,}232 m. Cómo se calcula ese momento sin conocer el brazo es el tema de la sección que sigue.

Mnemotecnia «Pon el dedo en O y empuja con la fuerza: hacia donde gire, ese es el signo.» Imagina la placa clavada en O con una tachuela. Si la fuerza la haría girar al revés del reloj, el momento es positivo (apunta hacia +z, hacia ti). Se comprueba con la regla de la mano derecha: dedos girando antihorario, el pulgar sale de la pantalla.

4 Varignon: el momento de las componentes

Frase de Varignon

x por F_y menos y por F_x.

Cada componente con su propio brazo, y se suman con signo. Es la misma cuenta que la componente k del producto cruz.

Encontrar d a veces exige trigonometría fea. El teorema de Varignon lo evita: el momento de una fuerza es la suma de los momentos de sus componentes. Y cada componente, horizontal o vertical, tiene un brazo que se lee directo de la figura:

M_O = x\,F_y - y\,F_x x, y: coordenadas de cualquier punto de la línea de acción, medidas desde O

Qué significa cada símbolo

M_O: momento respecto a O, con signo: + antihorario, − horario [N·m]
x,\,y: coordenadas del punto de aplicación respecto a O [m]
F_x,\,F_y: componentes de la fuerza [N]

Por qué el menos: F_y hacia arriba, aplicada a la derecha de O (x positivo), gira antihorario: suma. Su brazo es x, así que aporta +x\,F_y. F_x hacia la derecha, aplicada por encima de O (y positivo), gira horario: resta. Su brazo es y, así que aporta -y\,F_x.

Ejemplo 1: los datos del simulador

La fuerza de 400 N a \theta = 150^\circ, aplicada en A(3;\ 2) m:

\begin{aligned}F_x &= 400\cos 150^\circ = 400\,(-0{,}8660)\\ &= -346{,}41\ \text{N}\\[4pt] F_y &= 400\,\sin 150^\circ = 400\,(0{,}5)\\ &= 200\ \text{N}\end{aligned}

\begin{aligned}M_O &= x\,F_y - y\,F_x\\ &= (3)(200) - (2)(-346{,}41)\\ &= 600 + 692{,}82\\ &= 1292{,}82\ \text{N}{\cdot}\text{m}\end{aligned}

Positivo: gira antihorario, como el arco morado del simulador. Y el brazo sale de despejar d = |M_O|/F = 1292{,}82/400 = 3{,}232 m, el mismo número del panel.

Ejemplo 2: la ménsula

Una fuerza de 500 N, dirigida 30^\circ por debajo de la horizontal hacia la derecha, actúa en A(0{,}20;\ 0{,}15) m. Momento respecto a O.

Los dos caminos tienen que dar lo mismo Con el momento de Varignon, el brazo de la ménsula es d = |M_O|/F = 114{,}95/500 = 0{,}2299 m. Por geometría, la distancia de O a una recta que pasa por (x;\ y) con dirección unitaria (u_x;\ u_y) es d = |x\,u_y - y\,u_x|. Aquí u_x = \cos(-30^\circ) = 0{,}8660 y u_y = \sin(-30^\circ) = -0{,}5, así que d = |(0{,}20)(-0{,}5) - (0{,}15)(0{,}8660)| = |-0{,}1000 - 0{,}1299| = 0{,}2299 m ✓. En el simulador pasa igual: la fila F\,d y la fila x\,F_y - y\,F_x nunca se separan (salvo el signo).

5 En el espacio: el producto cruz con determinante

Frase del determinante

i j k arriba, r en el medio, F abajo; la del medio lleva el menos.

\vec r sale del punto respecto al que mides y llega a cualquier punto de la línea de acción. Al final, \vec M\cdot\vec F = 0 es tu chequeo.

En tres dimensiones la fuerza puede hacer girar alrededor de un eje inclinado cualquiera, así que el momento es un vector: su dirección es el eje de giro y su tamaño es cuánto gira. Se calcula así:

\vec M_O = \vec r \times \vec F = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ r_x & r_y & r_z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}

Un determinante de tres filas se abre por la primera fila: cada letra se multiplica por el determinante pequeño (de dos por dos) que queda al tapar su fila y su columna, y la del medio lleva un menos:

\begin{aligned}\vec M_O &= \mathbf i\begin{vmatrix} r_y & r_z \\ F_y & F_z \end{vmatrix} - \mathbf j\begin{vmatrix} r_x & r_z \\ F_x & F_z \end{vmatrix}\\[6pt] &\quad + \mathbf k\begin{vmatrix} r_x & r_y \\ F_x & F_y \end{vmatrix}\end{aligned}

Y cada determinante pequeño es «diagonal que baja menos diagonal que sube»: \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a\,d - b\,c. Queda:

\begin{aligned}\vec M_O &= (r_yF_z - r_zF_y)\,\mathbf i\\ &\quad - (r_xF_z - r_zF_x)\,\mathbf j\\ &\quad + (r_xF_y - r_yF_x)\,\mathbf k\end{aligned}

Qué significa cada símbolo

\vec M_O: momento respecto a O; perpendicular a \vec r y a \vec F [N·m]
\times: producto cruz: multiplica dos vectores y da otro vector, perpendicular a los dos [—]
\vec r: vector de O hasta cualquier punto de la línea de acción [m]
\vec F: la fuerza, en componentes [N]
r_x,\,r_y,\,r_z: componentes de \vec r [m]
F_x,\,F_y,\,F_z: componentes de \vec F [N]
\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k: unitarios de los ejes x, y, z [sin unidad]

Fíjate en la última componente: r_xF_y - r_yF_x es exactamente la fórmula de Varignon del plano. El caso plano es el determinante con r_z = 0 y F_z = 0: las componentes \mathbf i y \mathbf j se anulan y solo queda la \mathbf k.

Dos errores concretos del determinante

1. El orden. \vec F\times\vec r = -\vec r\times\vec F: invertir las filas cambia el signo de las tres componentes. Siempre \vec r arriba, \vec F abajo.

2. El menos de la \mathbf j. La componente \mathbf j lleva un menos delante del paréntesis. En el parcial 2022-II, olvidarlo cambia -664{,}05 por +664{,}05 lb·pie en la componente y, y esa componente es justamente la respuesta del punto 1(c).

Mnemotecnia «Tapa la columna, cruza en X, y a la del medio ponle el menos.» Para la componente \mathbf i tapa la columna de \mathbf i y multiplica en cruz lo que queda (diagonal que baja menos diagonal que sube). Igual para \mathbf j y \mathbf k. La del medio, \mathbf j, lleva el signo cambiado.

Chequeo gratis El momento es perpendicular a la fuerza, así que \vec M_O\cdot\vec F = 0 siempre. El producto punto es M_xF_x + M_yF_y + M_zF_z: tres multiplicaciones y una suma. Si te da distinto de cero (más allá del redondeo), hay un error de signo en el determinante. Tarda quince segundos y atrapa casi todos los errores.

6 Problemas de parciales, resueltos

Parcial 2022-II, punto 1(b): el tubo OAB

El cable BC tiene 800 lb de tensión; B está en (5;\,7;\,1{,}5) y C en (6;\,0;\,3) pies. La fuerza que ejerce sobre el tubo ya la sacamos en el taller 1: \vec F = 110{,}67\,\mathbf i - 774{,}72\,\mathbf j + 166{,}01\,\mathbf k lb. Determine el momento que produce respecto a O.

arrastra para girar

7 Ahora tú

Tres ejercicios: uno plano, uno de determinante y uno del tamaño del parcial.

8 Ponte a prueba

9 La receta para el día del parcial

Fuerza en componentes (taller 1).
Escoge el punto de la línea de acción con coordenadas más fáciles (un extremo del cable, o el punto donde la línea corta un eje).
\vec r = \text{ese punto} - \text{punto de momentos}.
Determinante con \vec r arriba y \vec F abajo. Menos en la \mathbf j.
Chequeo: \vec M\cdot\vec F = 0. Si puedes, repite con el otro extremo del cable: tiene que dar igual.
Unidades: fuerza por distancia (N·m, kN·m, lb·pie). Magnitud solo si la piden.

Si solo te llevas tres frases

1. Cualquier punto de la línea de acción sirve: el momento no cambia.

2. «Tapa la columna, cruza en X, y a la del medio ponle el menos.»

3. \vec M\cdot\vec F = 0, siempre.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

Siguiente: momento respecto a un eje →

Volver al Parcial 1