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Taller 13 · Control · Simulacro de examen

Simulacro: Primer Parcial de Control 2025-I

El examen real completo, con sus nueve preguntas tal cual las vio otro estudiante, y la solución oficial reproducida y verificada paso a paso. Resuélvelo primero contra el reloj; abre las soluciones solo después.

⏱ 90 minutos (el examen real) + 40 de revisión
De dónde sale esto. Examen real resuelto, Control 2025-I, Universidad Nacional de Colombia — «Primer examen parcial A». Nueve preguntas, 2 puntos, esquema r\to e\to C(s)\to u\to (+d)\to G(s)\to y con realimentación unitaria. Todos los números se recalcularon en Python por dos caminos (álgebra simbólica con sympy y simulación del escalón y de la rampa con scipy, con las raíces del denominador revisadas antes de cada valor final) y se compararon contra la solución oficial del examen.
🧑‍🏫 Así lo hace el profe
  1. RecetaNombra, ecuación, despeja, apaga, límite, compara.
  2. EstablePrimero polos (o Routh), después valor final.
Verlo con tus apuntes de clase (taller 15) →
En este taller

1 Cómo usar este simulacro

Esto no es un taller de teoría nueva: es el examen de verdad, para que midas dónde estás antes del tuyo. Aprovecharlo bien significa resistir las ganas de abrir la solución apenas te trabes.

1
Consigue papel y cronómetro. 90 minutos es el tiempo real que tuvo este examen (2 puntos, nueve preguntas). Ponle el cronómetro de verdad, no a ojo.
2
Resuelve las nueve preguntas sin mirar abajo. Anota tu respuesta de cada una (la letra, si es de selección, o el número) en una hoja aparte. Si una no sale en unos minutos, márcala y sigue: en el examen real tampoco puedes atascarte.
3
Para el cronómetro a los 90 minutos, aunque no hayas terminado. Esa es la presión real del parcial.
4
Ahora sí, abre cada «Ver la solución completa» una por una, compara con lo que anotaste y entiende el porqué de cada paso, no solo si acertaste la letra.
5
Cierra con la tabla de resumen (sección 6), las variantes (sección 8) y el cuestionario (sección 9): son preguntas nuevas, con otros números, para comprobar que entendiste el método y no memorizaste este examen puntual.
El esquema de las nueve preguntas (dibújalo tú primero)

Referencia r(t) entra a un sumador (+), sale el error e(t), pasa por el controlador C(s), sale la señal de control u(t), se le suma (+) una perturbación d(t), el resultado entra a la planta G(s) y sale y(t), que se realimenta directo (unitaria) al sumador de entrada con −.

desliza el diagrama →

referencia r error e control u perturbación d salida y realimentación
Qué significa cada símbolo
r(t),\ R(s)
referencia: lo que se le pide a la salida (en el examen, escalón unitario) [unidades de la salida; aquí adimensional]
e(t),\ E(s)
error que ve el controlador; como la realimentación es unitaria, es el error de verdad: e=r-y [unidades de la salida]
C(s)
controlador: convierte el error en la orden de control [depende del controlador; aquí adimensional]
u(t),\ U(s)
señal de control: lo que manda el controlador antes de que entre la perturbación [unidades de la entrada de la planta]
d(t),\ D(s)
perturbación: se suma a u justo antes de la planta [mismas unidades que u]
G(s)
planta: el sistema que se quiere controlar [salida / entrada de la planta]
y(t),\ Y(s)
salida del sistema, que vuelve al sumador con signo menos [unidades de la salida]
G_{yr},\ G_{yd},\ G_{ur}
funciones de transferencia de lazo cerrado: Y/R, Y/D y U/R [cociente de las unidades de cada señal]
s
variable de Laplace [1/s]

2 Preguntas 1 a 3 · G = 1/(s+3), C = 5

Datos de las tres preguntas: planta G(s)=1/(s+3) y controlador proporcional C(s)=5, en el esquema de la sección 1.

1 Error de posición en porcentaje

(Vale 10 %) El error en posición en porcentaje del sistema en lazo cerrado es igual a:

  • a. 17,5 %
  • b. 27,5 %
  • c. 37,5 %
  • d. 7,5 %
  • e. Ninguna de las anteriores.
Ruta Saca primero G_{yr}(s)=GC/(1+GC), confirma que el lazo es estable (polos en el semiplano izquierdo) y solo entonces usa e_p=|1-G_{yr}(0)|.

2 La función de la perturbación, G_{yd}(s)

(Vale 10 %) La función de transferencia G_{yd}(s):=Y(s)/D(s) es igual a:

  • a. G_{yd}(s)=\dfrac{1}{s+1}
  • b. G_{yd}(s)=\dfrac{8}{s+8}
  • c. G_{yd}(s)=\dfrac{8}{s+1}
  • d. G_{yd}(s)=\dfrac{1}{s+8}
  • e. Ninguna de las anteriores.
Ruta Apaga la referencia, sigue el camino de D a Y (no pasa por C, porque D entra después). La vuelta completa es la misma de siempre.

3 Valor máximo del control, u(0^+)

(Vale 10 %) Si se sabe que la señal de control u(t) tiene su máximo valor para t=0^+, el valor máximo del control considerando una referencia igual al paso unitario es igual a:

  • a. u(0^+)=\dfrac{15}{8}
  • b. u(0^+)=\dfrac{5}{8}
  • c. u(0^+)=5
  • d. u(0^+)=\dfrac{15}{4}
  • e. Ninguna de las anteriores.
Ruta «Máximo en t=0^+» es el teorema del valor inicial, \lim_{s\to\infty}sU(s), no el valor final. Saca primero G_{ur}(s)=C/(1+GC).

3 Preguntas 4 a 6 · segundo orden, Go(s) = N(s)/D(s)

Las tres preguntas usan el mismo sistema de lazo cerrado de segundo orden:

G_o(s)=\frac{k\,\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}=\frac{N(s)}{D(s)}
Qué significa cada símbolo
G_o(s)
función de transferencia de lazo cerrado, de la referencia a la salida [adimensional en el examen]
k
ganancia en estado estacionario: G_o(0)=k [sin unidades]
\omega_n
frecuencia natural: la raíz del término independiente de D(s) [rad/s]
\zeta
factor de amortiguamiento: entre 0 y 1 hay sobreimpulso [sin unidades]
N(s),\ D(s)
numerador y denominador; las raíces de D(s) son los polos [—]
\sigma = \zeta\omega_n
parte real de los polos (con signo positivo): qué tan rápido muere el transitorio [1/s]
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}
frecuencia de la oscilación amortiguada: parte imaginaria de los polos [rad/s]
t_s
tiempo de asentamiento: desde cuándo la salida no sale de la banda del 2 % del valor final [s]

4 Frecuencia de oscilación amortiguada

(Vale 10 %) Sea D(s)=s^2+s+3 y k=1, se puede decir que la frecuencia de la oscilación amortiguada en el transitorio de la respuesta del sistema ante una entrada igual al paso unitario es:

  • a. \omega_d=16{,}583\ \text{rad/s}
  • b. \omega_d=0{,}16583\ \text{rad/s}
  • c. \omega_d=1{,}6583\ \text{rad/s}
  • d. \omega_d=1{,}93\ \text{rad/s}
  • e. Ninguna de las anteriores.
Ruta Completa el cuadrado en D(s) en vez de pasar por \zeta y \omega_n por separado: es más corto y evita errores de redondeo.

5 La trampa del valor final

(Vale 10 %) Sea k=1 y D(s)=(s+j3)(s-j3), se puede decir que el valor final de la respuesta ante una entrada igual al paso unitario es igual a:

  • a. 9
  • b. \dfrac19
  • c. 3
  • d. \dfrac13
  • e. Ninguna de las anteriores.
Ruta Antes de usar el valor final, mira dónde están los polos. Si no están todos en el semiplano izquierdo (sin contar un único polo en el origen que se cancela), el teorema no aplica y el número que salga es mentira.

6 Tiempo de asentamiento con otra amplitud de entrada

(Vale 10 %) Sea k=1 y D(s)=s^2+2s+9, el tiempo de asentamiento aproximado del sistema ante una referencia igual a 3 veces el paso unitario es:

  • a. 13,5 s
  • b. 1,5 s
  • c. 4,5 s
  • d. 25 s
  • e. Ninguna de las anteriores.
Ruta El tiempo de asentamiento depende solo de \sigma (la parte real de los polos), nunca del tamaño de la entrada. Este examen usa el criterio t_s\approx4{,}5/\sigma.

4 Preguntas 7 y 8 · G = 1/(s+0,1), escoger el controlador

Qué significa cada símbolo
k_p
ganancia proporcional del controlador [sin unidades aquí]
k_i
ganancia integral: multiplica la integral del error [1/s]
e_p
error de posición: la brecha final ante un escalón unitario, en fracción o en % [sin unidades]
e_v
error de velocidad: la brecha final ante una rampa unitaria [s (unidades de la salida por cada unidad/s de pendiente)]
K_v = \lim_{s\to0} s\,C(s)G(s)
constante de error de velocidad; e_v=1/K_v [1/s]

7 Controlador para error de posición del 20 %

(Vale 10 %) Se considera el sistema G(s)=1/(s+0{,}1). De los siguientes, el controlador que permite un error de posición igual al 20 % es:

  • a. C(s)=0{,}4
  • b. C(s)=0{,}9
  • c. C(s)=0{,}8
  • d. C(s)=1
  • e. Ninguna de las anteriores.
Ruta Con C=k_p constante y sin integrador en G, el sistema es tipo 0: plantea e_p=|1-G_o(0)| con G_o=k_p/(s+0{,}1+k_p) y despeja k_p.

8 Controlador PI para error de velocidad del 5 %

(Vale 10 %) De los siguientes, el controlador que permite un error de velocidad del 5 % es:

  • a. C(s)=\dfrac{2s+1}{s}
  • b. C(s)=\dfrac{2s-2}{s}
  • c. C(s)=\dfrac{2s+2}{s}
  • d. C(s)=\dfrac{2s-1}{s}
  • e. Ninguna de las anteriores.
Ruta Con C(s)=(k_ps+k_i)/s ya hay un integrador: el error de posición es cero de entrada. Lo que define el 5 % es K_v=\lim_{s\to0}sC(s)G(s), y ahí k_p no aparece.

5 Pregunta 9 · dibuja la respuesta al escalón

(Vale 20 %) Dibuje la respuesta aproximada del sistema G_o(s) considerando una entrada igual al paso unitario, resaltando valor final, tiempo de asentamiento y oscilación en el transitorio:

G_o(s) = \frac{3}{s^2+2s+3}
Qué significa cada símbolo
y_{ss}
valor final de la salida: G_o(0) si el sistema es estable [unidades de la salida]
\%PO
sobreimpulso porcentual: cuánto pasa el pico por encima del valor final [%]
t_p
tiempo de pico: cuándo ocurre el máximo, \pi/\omega_d [s]
t_s
tiempo de asentamiento (banda del 2 %) [s]
\sigma,\ \omega_d,\ \omega_n,\ \zeta
los mismos de la sección 3 [1/s, rad/s, rad/s, sin unidades]
Ruta Primero confirma estabilidad (polos con parte real negativa). Luego saca \sigma, \omega_d, \zeta y el valor final G_o(0). Con eso ya puedes dibujar: sube, pasa de largo (sobreimpulso), oscila cada vez menos y se asienta.
Pico—
\%PO—
t_s—
Valor final—
Discrepancia encontrada contra la solución oficial (pregunta 9)

La hoja de solución oficial de este examen escribe «el tiempo de asentamiento es de aproximadamente 1 segundo por el valor de \sigma». Eso es un error de redacción: 1/\sigma=1/1=1\ \text{s} es la constante de tiempo, no el tiempo de asentamiento. El tiempo de asentamiento correcto (criterio del 2 %) es t_s\approx4/\sigma=4\ \text{s} por la fórmula de Dorf, y 3,40 s en la simulación numérica exacta (la gráfica de arriba, y aparte con scipy). Con el criterio que este mismo profesor usó en la pregunta 6, 4{,}5/\sigma, serían 4,5 s. Si tu parcial pide este número, usa el criterio de tu profesor o la simulación — nunca 1 s.

6 Las nueve respuestas, para repaso rápido

Tabla para la noche antes del parcial: tapa la columna de la derecha y recítala.

#PreguntaRespuesta
1Error de posición en %c. 37,5 %
2G_{yd}(s)d. 1/(s+8)
3u(0^+)c. 5
4\omega_dc. 1,6583 rad/s
5Valor final (polos en ±j3)e. Ninguna (no existe)
6t_s con entrada 3×escalónc. 4,5 s
7Controlador, e_p=20\%a. C=0{,}4
8Controlador, e_v=5\%c. C=(2s+2)/s
9Curva: valor final, ts, oscilaciónestable, y_{ss}=1, \%PO=10{,}85\%, t_s\approx4{,}5\ \text{s} con el criterio del profesor (4 s con Dorf; 3,40 s simulado)

7 Errores que se repiten en este examen

Evaluar en s=0 antes de cerrar el lazo

En la pregunta 1, G_{yr}(0)=5/8, y el error es |1-5/8|=3/8=37{,}5\%. El error típico es meter s=0 en el lazo abierto GC=5/(s+3) en vez de en G_{yr}=5/(s+8): sale 5/3 y un error de -66{,}7\%, que no tiene sentido. Las opciones 17,5 %, 27,5 % y 7,5 % son distractores: ningún planteamiento de este lazo las produce, así que si te sale una, revisa la reducción.

Usar el valor final sin revisar la estabilidad antes

La pregunta 5 es justo esa trampa: D(s)=s^2+9 tiene polos en \pm j3, sobre el eje imaginario. El teorema del valor final y_{ss}=\lim_{s\to0}sY(s) exige que los polos de sY(s) estén en el semiplano izquierdo (o uno solo en el origen, que se cancela con la s de adelante). Aquí no se cumple: aplicar la fórmula a ciegas da un número (con k=1, N(s)=\omega_n^2=9 y sale G_o(0)=9/9=1), pero ese número no significa nada, porque la salida oscila para siempre entre 0 y 2.

El criterio de asentamiento: 4/\sigma de Dorf contra 4{,}5/\sigma de este profesor

Los demás talleres de este sitio (y el libro guía, Dorf & Bishop) usan t_s\approx4/\sigma para el criterio del 2 %. El profesor de este examen usó t_s\approx4{,}5/\sigma, un poco más conservador. Las dos son aproximaciones, y en estos dos sistemas la simulación exacta da menos que ambas: 3,70 s en la pregunta 6 y 3,40 s en la 9. Para este examen puntual usa 4{,}5/\sigma; para el resto del curso, revisa qué pidió tu profesor antes de usar una u otra.

8 Ahora tú: tres variantes con otros números

Mismo examen, otros datos. Intenta cada uno antes de abrir la pista.

9 Ponte a prueba: preguntas nuevas

Ocho preguntas distintas a las nueve del examen, con el mismo método y otros números, para que no termines memorizando este parcial puntual.

10 Mnemotecnia y la receta para el día del parcial

Mnemotecnia «Antes de evaluar, mira los polos. Antes de derivar, mira qué piden: Y/R, Y/D o U/R.» Cada una de las nueve preguntas se resuelve con la misma fracción \cdot/(1+GC); lo único que cambia es qué va arriba (el camino directo de la señal que te preguntan) y si usas el valor inicial o el final.
  1. Dibuja el esquema una sola vez: r\to e\to C\to u\to(+d)\to G\to y, realimentación unitaria.
  2. Para Y/R: camino GC sobre 1+GC. Para Y/D: camino desde donde entra D (sin C) sobre el mismo 1+GC. Para U/R: camino C solo, sobre 1+GC.
  3. ¿Piden un valor en t=0^+? Valor inicial, \lim_{s\to\infty}sX(s). ¿Piden estado estacionario? Valor final, pero primero revisa los polos.
  4. Para segundo orden, completa el cuadrado del denominador: ahí salen \sigma y \omega_d directo, sin pasar por \zeta ni \omega_n si no los piden.
  5. t_s no depende del tamaño de la entrada, solo de \sigma. Usa el criterio que pida tu profesor (aquí, 4{,}5/\sigma).
  6. Para escoger un controlador de una lista: plantea la fórmula del error (e_p o e_v) en función de los parámetros del controlador, despeja, y solo al final mira cuál opción calza.
Si solo te llevas una frase

Mismo esquema, misma fracción \cdot/(1+GC), nueve preguntas — la dificultad está en leer bien qué te piden, no en la cuenta.

Responde las ocho preguntas nuevas para cerrar el taller.

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