El Parcial 1 de Control (15/oct/2026), resuelto a fondo
Los tres problemas del examen, con todas sus partes resueltas paso a paso, el porqué de cada paso, simuladores para ver lo que dice cada respuesta y modelos de respuesta para las preguntas de discusión (las que más puntos se pierden).
⏱ 120 minutos el examen · 60–70 minutos este taller- DeterminanteCada elemento nuevo: b=\dfrac{-1}{\text{pivote}}\begin{vmatrix}\cdot&\cdot\\\cdot&\cdot\end{vmatrix} con las dos filas de arriba.
- CasosCero suelto en la primera columna → \varepsilon. Fila entera de ceros → derivada del polinomio auxiliar. Raíces repetidas en j\omega → inestable.
- AtajoSi falta un coeficiente o hay signos distintos en \Delta(s), ya es inestable sin hacer la tabla.
1 El examen de un vistazo
Tres problemas, y los tres giran alrededor de lo mismo: el lazo cerrado T=L/(1+L), con L=GC. Todo lo demás (error, estabilidad, transitorio, sensitividad) se lee de esa fracción.
| Problema | Puntos | Qué te piden | Herramienta |
|---|---|---|---|
| 1 | 30 | Error de rampa, Y/R y Y/D, valor final, Routh, discusión de subir K | K_v, 1+L, teorema del valor final, Routh |
| 2 | 30 | Ecuación característica, tabla de Routh, K_{cr}, polinomio auxiliar, estabilidad vs. desempeño | Routh con fila auxiliar |
| 3 | 40 | Segundo orden (\omega_n,\zeta, \%PO, t_p, t_s), sensitividad S=1/(1+G), discusión de diseño | Fórmulas de 2.º orden, sensitividad |
desliza la tabla →
Las partes de cálculo son rápidas y valen mucho; las de discusión valen puntos igual y se pierden por contestar en una línea. Resuelve primero todo el cálculo (≈ 60 min) y deja ≈ 45 min para redactar las cuatro discusiones (1d, 2d, 3b.3 y 3c) con la estructura «qué pasa – por qué – qué más hay que mirar».
2 Antes de empezar: Routh–Hurwitz en 5 minutos
Los problemas 1 y 2 usan Routh–Hurwitz. Ya apareció en los talleres 8, 11 y 12; aquí lo armamos otra vez desde cero, para que no dependas de recordarlo. Qué resuelve: te dice si todas las raíces de un polinomio están en el semiplano izquierdo (sistema estable) sin calcular las raíces. Eso es útil porque con una ganancia K sin valor fijo no hay raíces que calcular.
Pruébalo. Mueve los coeficientes del polinomio s^3+a_2s^2+a_1s+a_0 y mira cómo cambia la tabla. Con los valores del Problema 1 (a_2=7,\ a_1=10) el límite está en a_0=70.
3 Problema 1 · control P y perturbación a la salida (30 pts)
desliza el diagrama →
a Error de rampa y condición sobre K
b Funciones de transferencia, valor final y rechazo de perturbación
c Análisis paramétrico: Routh y la zona buena de K
Míralo moverse. Mueve K: en K=50 el error de rampa es justo 0{,}2; en K=70 el sistema oscila para siempre; pasando 70 se desboca.
d Discusión: «subamos K indefinidamente»
Precisión: sí mejora. Para este sistema tipo 1, e_{ss}=10/K baja al subir K.
Estabilidad: se pierde. Routh exige K<70. En K=70 hay polos en \pm j\sqrt{10} (oscilación sostenida) y por encima el sistema es inestable: el «error de rampa» deja de tener sentido porque la salida diverge. Aumentar K «indefinidamente» es imposible.
Transitorio: empeora mucho antes de 70. Los dos polos complejos se acercan al eje imaginario: con K=50 el sobreimpulso ronda el 74\% y el asentamiento pasa de 20\ \text{s} (simulado: 20{,}8\ \text{s}); con K=69, pasa de 400\ \text{s} (simulado: 449\ \text{s}). Casi no hay amortiguamiento aunque en papel «sea estable».
Robustez: se erosiona. Cerca de K_{cr} el margen de estabilidad es mínimo (el margen de ganancia a K=50 es solo 70/50=1{,}4): una variación pequeña de la planta o un retardo no modelado lo desestabiliza. Además, más ganancia amplifica el ruido de medición.
Conclusión: la ganancia es un compromiso; se escoge dentro de la banda 50\le K<70 y en la práctica mucho más cerca de 50 que de 70, o se rediseña el controlador (compensación) si no alcanza.
4 Problema 2 · ganancia crítica con Routh (30 pts)
a Ecuación característica
b Tabla de Routh e intervalo de K
c K_{cr}, polinomio auxiliar, frecuencia y qué pasa al cruzar
Míralo moverse. Mueve K a través de K_{cr}=3{,}23.
d Estabilidad frente a desempeño
No son igualmente adecuados. Ambos son asintóticamente estables (todos los polos con parte real negativa), pero eso es lo único que garantiza Routh.
K\approx0{,}1: polos en -6{,}05 y -0{,}48\pm j0{,}32. Muy amortiguado (sobreimpulso \approx1\%), asentamiento \approx7\ \text{s}, pero lento: los polos dominantes están cerca del origen y el error de rampa es grande (K_v=K\cdot20/6 pequeño).
K\approx3: polos en -6{,}95 y -0{,}026\pm j2{,}94. El par complejo casi está sobre el eje imaginario: oscila con sobreimpulso \approx90\% y tarda \approx147\ \text{s} en asentarse (simulado). Estable en el papel, inaceptable en la práctica, y con margen de estabilidad casi nulo: cualquier error de modelo lo manda a K>K_{cr}.
Qué sí concluye Routh: el signo de la parte real de los polos (estable / marginal / inestable) y el intervalo de K. Qué no: rapidez, amortiguamiento, sobreimpulso ni cuán lejos del límite se está. Para eso hace falta ubicar los polos, simular la respuesta temporal o mirar márgenes (Bode, Nyquist).
5 Problema 3 · segundo orden y sensitividad (40 pts)
a Respuesta transitoria (5 sub-preguntas)
En el examen se pide estimar t_s: usa 4/(\zeta\omega_n)=1\ \text{s}. La simulación exacta da 0{,}84\ \text{s}; son aproximaciones distintas del mismo fenómeno y la diferencia es normal. Escribe siempre qué criterio usaste.
b Sensitividad (3 sub-preguntas)
c Pregunta integradora: «más ganancia»
Mueve el multiplicador de ganancia (1 = diseño actual, 100\to100\cdot m):
Seguimiento y perturbaciones: mejoran. El error de rampa es 8/(100m) (baja con m) y una perturbación de baja frecuencia se atenúa por 1/(1+L), que se hace más pequeño.
Sensitividad: mejora a baja frecuencia (|S| pequeño), pero el rango donde |S|<1 solo crece moderadamente y el pico de |S| sube (más amplificación de incertidumbre cerca de la frecuencia de cruce).
Transitorio: empeora. \zeta=4/\omega_n=0{,}4/\sqrt m cae: para m=4, \zeta=0{,}2 y \%PO\approx53\%; la parte real \sigma=4 no cambia, así que el asentamiento tampoco mejora: solo la oscilación aumenta.
Ruido de medición: se amplifica. El ruido n llega a la salida por T=L/(1+L)\to1 hasta la frecuencia de cruce, y la señal de control u lo ve multiplicado por el aumento de ganancia: más desgaste del actuador y riesgo de saturación.
Conclusión: aumentar la ganancia no es siempre conveniente. Habría que evaluar además márgenes de ganancia y fase, ancho de banda, esfuerzo y saturación del actuador, retardos y dinámica no modelada, y buscar un compromiso (o agregar compensación derivativa/adelanto para recuperar amortiguamiento).
6 Todas las respuestas, para el repaso rápido
| Parte | Respuesta |
|---|---|
| 1a | e_{ss}=10/K\le0{,}2\Rightarrow K\ge50 |
| 1b.1 | \dfrac{Y}{R}=\dfrac{K}{s^3+7s^2+10s+K}, \dfrac{Y}{D}=\dfrac{s(s+2)(s+5)}{s^3+7s^2+10s+K} |
| 1b.2 | y_{ss}=1+0=1, e_{ss}=0 |
| 1c | Estable: 0<K<70; ambas: 50\le K<70 |
| 2a | s^3+7s^2+(6+K)s+20K=0 |
| 2b | Primera columna 1,\ 7,\ \tfrac{42-13K}{7},\ 20K; estable: 0<K<42/13 |
| 2c | K_{cr}=42/13\approx3{,}23; auxiliar 7s^2+20K_{cr}=0; \omega=\sqrt{120/13}\approx3{,}04\ \text{rad/s}; para K>K_{cr} hay dos polos en el semiplano derecho |
| 3a.1 | \omega_n=10\ \text{rad/s}, \zeta=0{,}4 |
| 3a.2 | \%PO\approx25{,}4\%, t_p\approx0{,}343\ \text{s} |
| 3a.3 | t_s\approx4/(\zeta\omega_n)=1\ \text{s} |
| 3a.4 | Subamortiguado (0<\zeta<1) |
| 3a.5 | \zeta>0{,}591 (y \zeta<1 si no se quiere sobreamortiguar) |
| 3b | S=\dfrac{s(s+8)}{s^2+8s+100}; S(0)=0, S(\infty)=1 |
desliza la tabla →
7 Errores que cuestan puntos en este examen
El 10/K solo vale si el lazo es estable. Si sacas K=80 del error, estás fuera de la zona de Routh y el error no existe. Por eso (c) cruza ambas condiciones.
Con D a la salida, Y/D=1/(1+L) (no G/(1+L), que es el caso de perturbación a la entrada de la planta). Dibuja dónde entra antes de escribir nada.
En 2c la fila que se anula es s^1; el polinomio auxiliar sale de la fila s^2: 7s^2+20K_{cr}. Usar la fila equivocada da una frecuencia absurda.
Lo que se demuestra es \dfrac{dT/T}{dG/G}=\dfrac{1}{1+G}. Si escribes dG/G arriba te sale lo inverso. Haz la demostración con la derivada explícita.
«Subir K reduce el error pero afecta la estabilidad» vale poco. Gana puntos con números (K<70, \%PO sube, polo cerca del eje) y con los cuatro ejes del enunciado.
8 Ahora tú: tres variantes con otros números
9 Ponte a prueba: preguntas nuevas
Ocho preguntas con el mismo método y otros números.
10 Receta para el día del parcial
- Escribe T=L/(1+L) y el polinomio característico 1+L=0 de cada problema.
- Error de rampa: tipo 1 → K_v=\lim sL, e=1/K_v; luego verifica estabilidad con Routh.
- Routh: tabla de filas s^n\ldots s^0; todos los de la primera columna con el mismo signo. Si una fila se anula, polinomio auxiliar de la fila de arriba.
- Segundo orden: compara con s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2; \%PO, t_p=\pi/\omega_d, t_s=4/(\zeta\omega_n).
- Sensitividad: S=1/(1+G); pequeña donde |G| es grande (bajas frecuencias), cerca de 1 donde |G| es pequeña.
- Discusiones: afirma, justifica con un número, y cierra con qué más habría que evaluar.
Más ganancia compra precisión y paga con amortiguamiento, margen de estabilidad y ruido — por eso existe un K_{cr}.
Responde las ocho preguntas nuevas para cerrar el taller.
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