El PID desarmado
Un PID mira el error de tres formas: la P mira el presente, la I mira el pasado y la D mira hacia dónde va. Al final suma lo que dice cada uno. En este taller desarmas esa suma y miras qué hace cada pedazo, solo y acompañado.
⏱ 60 minutos1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Hasta el Parcial 1 el controlador era casi siempre una ganancia K. Con una sola perilla no puedes pedir al mismo tiempo «rápido», «sin pasarse» y «sin error»: subir K arregla una cosa y daña otra. El PID trae tres perillas, y cada una arregla un problema distinto.
Más del 90 % de los lazos de control de la industria son PID. En el Parcial 2 te van a pedir explicar qué hace cada término, escoger ganancias para una especificación y decir qué pasa si subes una de ellas.
- Escribe la ley de control con los tres términos y señala cuál cambió.
- Di qué «mira» ese término: el error ahora (P), el error acumulado (I) o la velocidad del error (D).
- Tradúcelo a la salida: más empuje, menos error final o menos sobreimpulso.
- Comprueba en el simulador con la planta del enunciado.
2 El simulador: mueve las tres perillas
Escoge la planta y mueve K_p, K_i y K_d. Arriba ves la salida y(t) ante un escalón unitario. Abajo ves la señal de control u(t) partida en sus tres pedazos, cada uno con su color.
La D usa un filtro, K_d s/(T_f s+1) con T_f=K_d/(10K_p), como cualquier PID real. Sin filtro, el pico de u_D en t=0 sería infinito.
1) Primer orden con el atajo P: sube K_p de 1 a 9 y mira el error final bajar de 0,5 a 0,1 sin llegar a cero. 2) Atajo PI: el error se va a cero; la curva a rayas u_I es la que termina sosteniendo la planta. 3) Motor con el atajo P: el error ya es cero con solo P. 4) Tercer orden con el atajo P y K_p=8: la salida oscila sin crecer ni apagarse.
3 La ley de control, pieza por pieza
El error es lo que te falta para llegar: e(t)=r(t)-y(t). El controlador lo recibe y entrega la señal de control u(t), que es lo que de verdad mueve la planta (un voltaje, un PWM, la apertura de una válvula).
Con Laplace y condiciones iniciales cero, cada pieza se vuelve un bloque, y los tres van en paralelo («paralelo suma»):
- e(t)
- el error, lo que falta para llegar [las de la salida]
- u(t)
- la señal de control que sale del PID [las del actuador: V, %, …]
- K_p
- ganancia proporcional [u ÷ e]
- K_i
- ganancia integral [u ÷ (e·s)]
- K_d
- ganancia derivativa [u·s ÷ e]
- C(s)
- el controlador como bloque [u ÷ e]
Qué hace cada uno, en la física
- P empuja en proporción al error. Si te falta mucho, empuja mucho. Si te falta poco, empuja poco. Por eso con solo P casi siempre queda un error: cuando el error se acerca a cero, el empuje también, y ya no alcanza para sostener la planta donde la quieres.
- I acumula el error que va quedando. Mientras haya error, u_I sigue creciendo, aunque el error sea pequeño. Solo deja de cambiar cuando e=0. Si el sistema se queda quieto y es estable, tiene que ser con error cero.
- D reacciona a la velocidad del error. Si el error baja rápido, la D frena antes de llegar, como soltar el acelerador antes del semáforo. Un error constante tiene derivada cero, así que la D nunca corrige el error en estado estacionario.
Tres términos en paralelo: C(s)=K_p+K_i/s+K_d s. Un polo en el origen (si hay I) y dos ceros.
4 Qué hace cada ganancia con la respuesta
| Si subes… | Tiempo de subida t_r | Sobreimpulso M_p | Asentamiento t_s | Error e_{ss} |
|---|---|---|---|---|
| K_p | baja | sube | cambia poco | baja, sin llegar a 0 |
| K_i | baja | sube | sube | se vuelve 0 |
| K_d | cambia poco | baja | baja | no lo toca |
En el tercer orden con K_p=2, sube K_d desde 0: el sobreimpulso baja de 30 % a 15 % con K_d=2. Si sigues, vuelve a subir: 35 % con K_d=4 y 60 % con K_d=6. Demasiada D también desestabiliza. En el examen escribe «tiende a» y justifica con la física.
5 Por qué la I mata el error (y la D no)
El error ante un escalón unitario con realimentación unitaria es
- Solo P, primer orden. C\,G=\dfrac{K_p}{s+1}, así que K_{pos}=K_p y e_{ss}=\dfrac{1}{1+K_p}. Con K_p=9: 0{,}1. Nunca cero: el sistema es tipo 0.
- Con I. C\,G=\dfrac{K_p s+K_i}{s}\cdot\dfrac{1}{s+1}: apareció una s en el sótano. K_{pos}=\infty y e_{ss}=0.
- Con D. C\,G=\dfrac{K_p+K_d s}{s+1}: en s=0 la D vale cero. K_{pos} sigue siendo K_p.
- e_{ss}
- error en estado estacionario [las de la salida]
- K_{pos}
- constante de error de posición del lazo abierto C\,G [sin unidades]
Con I la cuenta da e_{ss}=0 siempre, pero solo vale si el lazo cerrado es estable. En el tercer orden con K_p=4 y K_i=4 el lazo es inestable: la fórmula dice «cero» y la salida crece sin parar. Compruébalo en el simulador.
6 Problemas resueltos
Error con solo P en el primer orden
G=\dfrac{1}{s+1}, solo P, realimentación unitaria. ¿Qué K_p deja un error de 5 % ante un escalón unitario? ¿Qué pasa con la constante de tiempo?
La ganancia crítica del tercer orden
G=\dfrac{1}{(s+1)^3} con solo P. ¿Hasta qué K_p es estable? ¿Con qué frecuencia oscila en el límite?
7 Ahora tú
Tres ejercicios. Los tres se pueden comprobar en el simulador de la sección 2.
8 Ponte a prueba
9 La receta para el día del parcial
- Escribe C(s)=K_p+K_i/s+K_d s y marca qué términos tiene el enunciado.
- Para el error: cuenta las s del sótano de C\,G. La I suma una.
- Antes de usar el valor final, comprueba que el lazo cerrado es estable (Routh si hay una ganancia suelta).
- Para «qué pasa si sube…»: di qué mira ese término (presente, pasado, futuro) y tradúcelo a t_r, M_p, t_s o e_{ss}.
- Mira también u: una respuesta bonita con un u imposible no es un diseño.
1. «Presente, pasado, futuro.»
2. «La I sube un escalón, la D no sube nada.»
Responde las siete preguntas para cerrar el taller.
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