Taller 17 · Control

Polos y ceros del PID

Mover K_p, K_i y K_d es lo mismo que poner dos ceros y subir o bajar una ganancia. Los ceros jalan los polos del lazo cerrado hacia ellos. Cuando ves dónde quedan, entiendes por qué la D estabiliza y por qué la I puede desestabilizar.

⏱ 60 minutos

De dónde sale esto. Dorf & Bishop, secciones 7.2 (lugar de las raíces) y 7.6 (PID), y Åström & Hägglund, Control PID avanzado, cap. 3 (formas del controlador). Verificado en verif/verif_control_p2.py.

En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

En el Taller 16 viste qué hace cada ganancia mirando la respuesta en el tiempo. Aquí lo ves desde los polos del lazo cerrado, que es como lo pide el parcial: «escriba la ecuación característica», «¿para qué valores es estable?», «¿dónde quedan los polos?».

Además, los libros y los equipos escriben el PID de tres formas distintas. Si te dan T_i y T_d y tú trabajas con K_i y K_d, hay que saber pasar de una a otra sin perder un factor.

Ruta para un lazo con PID

Pasa el PID a una sola fracción: C=\dfrac{K_ds^2+K_ps+K_i}{s}.
Escribe 1+C\,G=0 y multiplica por todos los denominadores.
Si te piden estabilidad: Routh con las ganancias como letras.
Si te piden la forma de la respuesta: ubica los ceros del PID y mira hacia dónde jalan.

2 El simulador: el plano s en vivo

Pon los ceros con los deslizadores y sube la ganancia K. Las cruces son los polos de lazo abierto (planta y controlador), los círculos son los ceros, la estela gris es el lugar de las raíces (todos los K posibles) y los puntos naranjas son los polos del lazo cerrado con tu K.

Prueba esto

1) Motor con P: los dos polos (0 y -1) se encuentran en -0{,}5 y suben en vertical. Más K, más oscilación, pero nunca inestable: la parte real se queda en -0{,}5 y t_s\approx8\ \text{s} siempre. 2) Motor con PD y z_1=3: la estela se dobla hacia la izquierda y el asentamiento baja. 3) Segundo orden con PI y z_1=0{,}5: aparece un polo lento atrapado entre 0 y -0{,}5. Mira la cola lenta de la respuesta. 4) Motor con PI y z_1=2: para cualquier K hay polos a la derecha. Con z_1=0{,}5, nunca.

3 Las tres formas de escribir el mismo PID

Forma	Ecuación	Dónde la ves
Paralela	K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_d s	Dorf, MATLAB, Arduino
Ideal (ISA)	K\left(1+\dfrac{1}{T_i s}+T_d s\right)	Åström-Hägglund, Ziegler-Nichols, PLC
Serie	K'\left(1+\dfrac{1}{T_i' s}\right)(1+T_d' s)	controladores analógicos viejos

De ideal a paralela. Reparte la K de afuera del paréntesis:
\begin{gathered}K_p=K,\qquad K_i=\frac{K}{T_i}\\ K_d=K\,T_d\end{gathered}
T_i se mide en segundos: es el tiempo que tarda la I en igualar lo que hace la P si el error se queda constante.
De serie a ideal. Multiplica los dos paréntesis y agrupa: aparece un T_d'/T_i' extra en la parte proporcional.
\begin{gathered}K=K'\,\frac{T_i'+T_d'}{T_i'},\qquad T_i=T_i'+T_d'\\ T_d=\frac{T_i'T_d'}{T_i'+T_d'}\end{gathered}

Qué significa cada símbolo

K: ganancia del PID en forma ideal [u ÷ e]
T_i: tiempo integral [s]
T_d: tiempo derivativo [s]
K',\ T_i',\ T_d': los mismos parámetros en forma serie [u ÷ e], [s], [s]

Conversor

El error de este paso: olvidar la K en K_i

Con K=2 y T_i=4\ \text{s}, K_i=K/T_i=0{,}5, no 1/T_i=0{,}25. Si copias 1/T_i como K_i, tu integral queda a la mitad y el lazo se demora el doble en quitar el error.

Chequeo: la serie solo da ceros reales Sus ceros son -1/T_i' y -1/T_d', dos números reales. Si en la forma ideal T_i<4T_d, los ceros son complejos y ese PID no se puede escribir en serie. El conversor te lo muestra.

4 ¿Dónde quedan los ceros?

Junta todo en una sola fracción:

\begin{gathered}C(s)=\frac{K_d s^2+K_p s+K_i}{s}\\ =\frac{K_d\,(s+z_1)(s+z_2)}{s}\end{gathered}

Un polo en s=0, si hay I. Es el que sube el tipo del sistema.
PI: C=\dfrac{K_p\,(s+K_i/K_p)}{s}: un cero en s=-\dfrac{K_i}{K_p}=-\dfrac{1}{T_i}.
PD: C=K_d\,(s+K_p/K_d): un cero en s=-\dfrac{K_p}{K_d}=-\dfrac{1}{T_d}.
PID: dos ceros, las raíces de K_d s^2+K_p s+K_i. Si K_p^2<4K_dK_i son complejos.

Qué significa cada símbolo

z_1,\ z_2: los ceros del PID están en s=-z_1 y s=-z_2 [1/s]

Mnemotecnia «Los polos van a los ceros.» Al subir la ganancia, los polos del lazo cerrado salen de los polos de lazo abierto y terminan en los ceros o se van al infinito. Se verifica en el simulador: con PD en el motor, uno de los polos termina en -z_1. Por eso el cero del PD a la izquierda «jala» la respuesta y la hace más rápida.

Lo que te llevas

El PID pone un polo en el origen y dos ceros donde tú quieras. Los ceros son imanes para los polos del lazo cerrado.

5 Routh con un PI: hasta dónde puede subir la integral

Motor G=\dfrac{1}{s(s+1)} con PI C=K_p+\dfrac{K_i}{s}. La ecuación característica:

\begin{gathered}1+\frac{K_p s+K_i}{s}\cdot\frac{1}{s(s+1)}=0\\ \Rightarrow\ s^3+s^2+K_p s+K_i=0\end{gathered}

s^3	1	K_p
s^2	1	K_i
s^1	K_p-K_i	0
s^0	K_i

Estable si y solo si K_p>K_i>0. En forma ideal: T_i=K_p/K_i>1\ \text{s}.

La fila s^1 sale del determinante: -\dfrac{1}{1}\begin{vmatrix}1&K_p\\1&K_i\end{vmatrix}=K_p-K_i. Si K_i le gana a K_p, la primera columna cambia de signo dos veces: dos polos a la derecha. La integral se volvió más fuerte que el freno.

Chequeo con el simulador En el laboratorio la K multiplica todo y el cero está en -z_1: K_p=K, K_i=Kz_1. La condición K_p>K_i queda z_1<1: el cero del PI tiene que quedar a la derecha del polo de la planta en -1. Motor + PI con z_1=0{,}9: estable para todo K. Con z_1=1{,}1: inestable para todo K.

6 Problemas resueltos

De serie a paralela

Enunciado

Un controlador viejo trae K'=2, T_i'=4\ \text{s} y T_d'=1\ \text{s} en forma serie. Pásalo a paralela y ubica sus ceros.

Ceros complejos

Enunciado

K_p=2, K_i=5, K_d=1. ¿Dónde quedan los ceros? ¿Se puede escribir en serie?

7 Ahora tú

8 Ponte a prueba

9 La receta para el día del parcial

Si el PID viene en forma ideal o serie, pásalo a paralela antes de cualquier cuenta.
Una sola fracción: C=\dfrac{K_ds^2+K_ps+K_i}{s}. Ceros: raíces del numerador.
Ecuación característica: s\,D_G+(K_ds^2+K_ps+K_i)\,N_G=0, con G=N_G/D_G.
Routh con las ganancias como letras; cada fila de la primera columna da una desigualdad.
El cero del PI cerca del polo más lento de la planta; el del PD a la izquierda para jalar el lugar de las raíces.

Si solo te llevas dos frases

1. «Los polos van a los ceros.»

2. En el motor con PI: K_p>K_i.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

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