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Taller 18 · Control

Diseño por ubicación de polos

Diseñar es escoger dónde quieres los polos y después despejar las ganancias que los ponen ahí. Es álgebra: dos polinomios iguales tienen los mismos coeficientes. La trampa está al final: los ceros del controlador cambian el sobreimpulso aunque los polos queden exactamente donde los pediste.

⏱ 70 minutos
De dónde sale esto. Dorf & Bishop, secciones 5.3 (especificaciones de segundo orden) y 7.6 (diseño de PID). Los tres casos (PD en el motor, PI en primer orden, PID en segundo orden) se verificaron en verif/verif_control_p2.py con python-control.
En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

Es el problema típico del parcial: «diseñe un controlador para que el sobreimpulso sea menor a tanto y el tiempo de asentamiento menor a tanto». Las reglas empíricas (Taller 19) te dan un PID que funciona; este método te da uno que cumple exactamente lo que piden, siempre que conozcas la planta.

Ruta: «especifica, escribe, iguala, comprueba»
  1. Especifica: de M_p saca \zeta; de t_s saca \sigma=\zeta\omega_n.
  2. Escribe el polinomio deseado y la ecuación característica con las ganancias como letras.
  3. Iguala coeficiente por coeficiente y despeja.
  4. Comprueba con la simulación: los ceros del controlador suben el sobreimpulso.

2 El simulador: tu propia especificación

Escoge el caso, pide un sobreimpulso y un tiempo de asentamiento, y mira cómo salen las ganancias. La curva verde es la respuesta real; las líneas rojas punteadas son lo que pediste.

Las cuentas con tus números
Prueba esto

1) Caso A con 4,3 % y 1 s: sale M_p real de 16 %, no 4,3 %. Marca la casilla: vuelve a 4,3 %. 2) Caso A con t_s=10\ \text{s}: sale K_d<0. La planta ya es casi así de rápida: no hace falta D. 3) Caso C: mueve p/\sigma de 2 a 10 y mira cómo se parece cada vez más a un segundo orden puro.

3 De la especificación a los polos

\begin{gathered}\zeta=\frac{-\ln(M_p)}{\sqrt{\pi^2+\ln^2(M_p)}}\\ \sigma=\zeta\omega_n=\frac{4}{t_s}\ \ (2\,\%)\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
M_p
sobreimpulso pedido, como fracción (5 % → 0,05) [sin unidades]
\zeta
factor de amortiguamiento [sin unidades]
\omega_n
frecuencia natural [rad/s]
\sigma
parte real de los polos, con signo cambiado [1/s]
t_s
tiempo de asentamiento al 2 % [s]
  1. El sobreimpulso solo depende de \zeta, o sea del ángulo de los polos. El tiempo de asentamiento solo depende de la parte real \sigma. Son dos especificaciones para dos incógnitas.
  2. Con dos polos el polinomio deseado es s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2. Si tu lazo cerrado tiene tres, agrega uno lejano: (s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2)(s+p) con p\approx5\sigma. Un polo cinco veces más a la izquierda se apaga cinco veces más rápido.
M_p5 %10 %20 %
\zeta0,690,590,46
Mnemotecnia «Especifica, escribe, iguala, comprueba.» Cuatro verbos, cuatro renglones del examen. El cuarto es el que casi todos se saltan y es justo donde el profe pregunta «¿se cumple la especificación?».

4 Ejemplo A: PD en el motor, paso a paso

Planta G=\dfrac{1}{s(s+1)}. Pide \zeta=0{,}707 y t_s=1\ \text{s}.

El error de este paso: creer que con los polos basta

Los polos quedaron en -4\pm4j, exactos. Pero el PD puso un cero en -K_p/K_d=-4{,}57, casi encima de la parte real de los polos. Un cero cercano adelanta la respuesta y la hace pasarse: el sobreimpulso real es 15,9 %, no 4,3 %. Si en el examen solo escribes «cumple», pierdes ese punto.

5 Ejemplos B y C: PI y PID

B · PI en primer orden

G=\dfrac{1}{s+2}, con \zeta=0{,}8 y \omega_n=5\ \text{rad/s}.

C · PID en segundo orden: tres ganancias, tres polos

G=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}, con \zeta=0{,}707, \omega_n=4 y el tercer polo en p=10.

Chequeo: cuenta incógnitas y coeficientes PD en el motor: 2 ganancias, polinomio de grado 2 (2 coeficientes libres). PI en primer orden: 2 y 2. PID en segundo orden: 3 y 3. Si hay más coeficientes que ganancias, no puedes poner todos los polos donde quieras: escoge los dos dominantes y deja que el resto caiga donde caiga (y compruébalo).
Lo que te llevas

Ganancias por igualación; sobreimpulso por simulación. Y escribe siempre dónde quedó el cero del controlador.

6 Ahora tú

7 Ponte a prueba

8 La receta para el día del parcial

  1. M_p\to\zeta (tabla o fórmula) y t_s\to\sigma=4/t_s; \omega_n=\sigma/\zeta.
  2. Polinomio deseado. Si el lazo cerrado tiene grado 3, agrega (s+p) con p\approx5\sigma.
  3. Ecuación característica con las ganancias como letras.
  4. Iguala y despeja. Si una ganancia sale negativa, la especificación es más lenta que la planta: dilo.
  5. Escribe el cero del controlador y di si está cerca de los polos dominantes: eso decide si el M_p real se parece al pedido.
  6. Error: K_v o K_{pos} con las ganancias que salieron.
Si solo te llevas dos frases

1. «Especifica, escribe, iguala, comprueba.»

2. El cero del controlador sube el sobreimpulso; los pesos b, c lo quitan de Y/R.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

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