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Taller 19 · Control

Reglas empíricas: Ziegler-Nichols y Lambda

Las reglas empíricas no te dan el mejor PID. Te dan uno que funciona a partir de dos o tres números medidos. Después afinas a mano. Así se sintonizan la mayoría de los lazos en una planta real, y así lo hiciste con el motor en el laboratorio.

⏱ 70 minutos
De dónde sale esto. Dorf & Bishop, sección 7.6 (reglas de Ziegler-Nichols); Åström & Hägglund, Control PID avanzado (2009), caps. 6 y 7 (Lambda); Ziegler y Nichols (1942). Los datos del motor son los de tu Práctica 2 del laboratorio (G4, 2026-2). Verificado en verif/verif_control_p2.py.
En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

El Taller 18 necesita la función de transferencia exacta. En la práctica casi nunca la tienes: tienes una planta que puedes excitar y medir. Ziegler y Nichols propusieron en 1942 dos experimentos y dos tablas que siguen siendo el punto de partida de casi cualquier sintonía.

Ruta: «mide, mira la tabla, afina»
  1. Si puedes abrir el lazo: escalón y curva de reacción → K, L, T.
  2. Si no (o la planta es inestable en lazo abierto): solo P y subir hasta oscilar → K_u, T_u. En papel, Routh da lo mismo.
  3. Mira la tabla y escribe las ganancias en forma paralela.
  4. Simula. Ziegler-Nichols se pasa mucho: afina bajando K_p o con b<1.

2 El simulador: tres reglas en la misma planta

Escalón de referencia en t=0 y perturbación de carga a la mitad del tiempo. Las ganancias salen de la curva de reacción de la planta escogida (sección 3), así que si cambias la planta, cambian solas.

Prueba esto

1) FOPDT del paper: Ziegler-Nichols PID se pasa casi 90 %; Lambda casi nada. Pero mira la perturbación: Ziegler-Nichols la corrige más rápido. 2) Sube \lambda/T a 1: Lambda se vuelve lento y suave. 3) Motor DC del laboratorio: todas las ganancias son diminutas (del orden de 0,005) porque la ganancia de la planta es 501.

3 Método 1 · La curva de reacción (lazo abierto)

Le das un escalón a la planta sin controlador y mides la curva. La aproximas como un primer orden con retardo (FOPDT):

G(s)\approx\frac{K\,e^{-Ls}}{Ts+1}
Qué significa cada símbolo
K
ganancia estática: cuánto cambia la salida al final por cada unidad de entrada [salida ÷ entrada]
L
retardo aparente: el tiempo que el controlador actúa a ciegas [s]
T
constante de tiempo aparente [s]
ControladorK_pT_iT_d
P\dfrac{T}{KL}\infty0
PI0{,}9\dfrac{T}{KL}3{,}3L0
PID1{,}2\dfrac{T}{KL}2L0{,}5L
Mnemotecnia «El retardo manda.» L aparece dividiendo K_p en todas las filas: más retardo, menos ganancia. Se comprueba con tu motor: con L=0{,}1\ \text{s}, ZN PI da K_p=0{,}0055; con el otro modelo, de L=0{,}024\ \text{s}, salía unas cuatro veces mayor.

4 Método 2 · La ganancia última (lazo cerrado)

Pones solo P y vas subiendo K_p hasta que la salida oscile sin crecer ni apagarse. Esa ganancia es K_u, y el periodo de la oscilación es T_u.

ControladorK_pT_iT_d
P0{,}5K_u\infty0
PI0{,}45K_uT_u/1{,}20
PID0{,}6K_uT_u/2T_u/8

En el borde de la estabilidad hay dos polos sobre el eje j\omega, en \pm j\omega_u, y T_u=2\pi/\omega_u. Es exactamente la fila de ceros de Routh: K_u se puede sacar en papel sin experimento.

Ziegler-Nichols es agresivo a propósito

Las tablas buscan que cada pico sea la cuarta parte del anterior. Eso da sobreimpulsos de 40 % para arriba (en la FOPDT del paper, casi 90 %). Si el enunciado pide «poco sobreimpulso», ZN es el punto de partida, no la respuesta.

5 Método 3 · Lambda: tú escoges la velocidad

K_p=\frac{T}{K(\lambda+L)},\qquad T_i=T
Qué significa cada símbolo
\lambda
la constante de tiempo que quieres en lazo cerrado: más pequeña es más rápida y más agresiva [s]

Con T_i=T, el cero del PI cancela el polo de la planta. Lo que queda es un integrador con retardo, y K_p se escoge para que el lazo cerrado se comporte como \dfrac{e^{-Ls}}{\lambda s+1}. Es la sintonía que usa el paper de anti-windup del Taller 23, con \lambda=0{,}2T.

Chequeo: Lambda casi no se pasa En la FOPDT del paper con \lambda=0{,}2T=0{,}6\ \text{s}: K_p=3/1{,}1=2{,}727, T_i=3\ \text{s} y el sobreimpulso sale alrededor de 2 %. Si te sale 30 %, revisa que T_i sea T y no L.

6 Problemas resueltos

Routh y Ziegler-Nichols en papel

Enunciado

G=\dfrac{1}{s(s+1)(s+5)}. Encuentra K_u, T_u y el PID de Ziegler-Nichols en forma paralela.

Curva de reacción contra Lambda

Enunciado

La prueba de escalón dio K=1, L=0{,}5\ \text{s}, T=3\ \text{s}. Compara ZN PID con Lambda PI (\lambda=0{,}2T).

Tu motor del laboratorio

Enunciado

Práctica 2: \alpha=501\ \tfrac{°/\text{s}}{\text{V}}, \tau=0{,}306\ \text{s}, L=0{,}1\ \text{s}. ZN PI para velocidad.

7 Ahora tú

8 Ponte a prueba

9 La receta para el día del parcial

  1. Si te dan la curva: tangente en la inflexión → K, L, T → tabla 1.
  2. Si te dan G(s) sin retardo: Routh con K suelta → K_u; polinomio auxiliar → \omega_u, T_u=2\pi/\omega_u → tabla 2.
  3. Escribe el resultado también en paralela: K_i=K_p/T_i, K_d=K_pT_d.
  4. Di que ZN da un sobreimpulso grande (40 % o más) y cómo lo afinarías.
  5. Si piden «sin sobreimpulso» o «suave», Lambda con un \lambda grande.
Si solo te llevas dos frases

1. «Mide, mira la tabla, afina.»

2. «El retardo manda.»

¿Y Cohen-Coon, ensayo y error o la tabla de clase?

Están en el Taller 25 · Los métodos del profe, junto con síntesis directa, Padé e IMC.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

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