← Volver Control · Parcial 2 · Taller 20
0 / 7
Taller 20 · Control

El PID en el dominio de la frecuencia

En Bode, el PID es un moldeador: la I sube la ganancia en frecuencias bajas (mata el error), la D sube la fase cerca del cruce (da amortiguamiento). El margen de fase te dice, sin simular, cuánto se va a pasar la respuesta.

⏱ 60 minutos
De dónde sale esto. Dorf & Bishop, capítulos 8 (respuesta en frecuencia), 9 (estabilidad relativa, márgenes) y 10.6–10.7 (PID y compensación en frecuencia). Unidad 3 del programa: «PID en el dominio de la frecuencia». Verificado con control.margin en verif/verif_control_p2.py.
En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

Routh te dice si el lazo es estable. Bode te dice qué tan lejos está de dejar de serlo, y eso se traduce directo en sobreimpulso. Además, con retardo (el motor del laboratorio, el levitador) Routh ya no sirve y Bode sí.

Ruta para cualquier pregunta de Bode con PID
  1. Arma el lazo abierto L(s)=C(s)G(s). Con retardo, multiplica por e^{-Ls}.
  2. Busca \omega_c, donde |L|=1 (0 dB). Ahí lee la fase y calcula el margen de fase.
  3. Busca \omega_{180}, donde la fase es -180^\circ. Ahí lee la magnitud: margen de ganancia.
  4. Traduce: \zeta\approx MF/100 y \omega_c da la velocidad.

2 El simulador: el Bode del PID en vivo

Gris: la planta. Celeste: el controlador. Verde: el lazo L=C\,G. La línea roja es la referencia (0 dB arriba, -180^\circ abajo) y la amarilla marca \omega_c.

Prueba esto

1) Motor con T_d=0 y T_i al máximo (casi solo P): sube K. \omega_c crece y el MF baja: más rápido y más oscilante. 2) Sube T_d hasta que 1/T_d quede cerca de \omega_c: el MF sube, la D regaló fase justo donde hacía falta. 3) Tercer orden: baja T_i hasta que 1/T_i se acerque a \omega_c. Mira cómo se come el margen.

3 Cómo se ve cada término

C(j\omega)=K\left(1+\frac{1}{j\omega T_i}+j\omega T_d\right)
TérminoMagnitudFaseEfecto
Pplana, 20\log K0^\circsube o baja toda la curva
I-20\ \text{dB/déc} por debajo de 1/T_ide -90^\circ a 0^\circganancia infinita en DC: e_{ss}=0
D+20\ \text{dB/déc} por encima de 1/T_dde 0^\circ a +90^\circadelanto de fase en el cruce
Mnemotecnia «I abajo, D en el cruce.» La I trabaja en frecuencias bajas (una década antes del cruce, para no robar fase) y la D trabaja en el cruce (para regalar fase donde se decide el sobreimpulso). Se comprueba: con T_i=10/\omega_c la I cuesta solo 5{,}7^\circ; con T_d=1/\omega_c la D regala 45^\circ.

4 Márgenes y amortiguamiento

  1. Frecuencia de cruce \omega_c: donde |L(j\omega)|=1. Es la velocidad del lazo.
  2. Margen de fase: MF=180^\circ+\angle L(j\omega_c). En -180^\circ y 0 dB la señal da la vuelta con el mismo tamaño y el signo cambiado: la realimentación negativa se vuelve positiva y aparece la oscilación sostenida. El margen dice qué tan lejos estás de ese punto.
  3. Margen de ganancia: MG=-20\log|L(j\omega_{180})|. Cuántos dB puedes subir K antes de la inestabilidad. Es la K_u de Ziegler-Nichols: MG=20\log_{10}(K_u/K).
  4. Regla de bolsillo: \zeta\approx MF/100 para MF<70^\circ. MF=45^\circ\to\zeta\approx0{,}45\to M_p\approx20\,\%.
Qué significa cada símbolo
L(j\omega)
lazo abierto evaluado en la frecuencia \omega [sin unidades]
\omega_c
frecuencia de cruce de ganancia [rad/s]
\omega_{180}
frecuencia donde la fase vale -180^\circ [rad/s]
MF
margen de fase [°]
MG
margen de ganancia [dB]
Con retardo, la fase se cae sola

e^{-Ls} no cambia la magnitud pero resta \omega L radianes de fase. En el levitador (L=0{,}03\ \text{s}) con \omega_c=3{,}8\ \text{rad/s} son 6{,}5^\circ; si \omega_c subiera a 30 rad/s serían 52^\circ. Por eso con retardo no se puede ir tan rápido.

5 Diseño de un PID en frecuencia (receta)

  1. Escoge \omega_c según la velocidad que quieres (punto de partida: \omega_c\approx4/(\zeta\,t_s)).
  2. Mide la fase de la planta en \omega_c y calcula cuánta falta para el MF que quieres. Suma 5^\circ por la I.
  3. Escoge T_d para que la D aporte esa fase: \arctan(\omega_cT_d)=\phi_{\text{falta}}.
  4. Pon T_i=10/\omega_c.
  5. Escoge K para que |C(j\omega_c)G(j\omega_c)|=1.
Chequeo: el MF del simulador contra la regla Lee el MF en el tablero y mira el M_p real: con el motor, K=1 y T_i=10\ \text{s}, MF=44{,}4^\circ, la regla predice \zeta\approx0{,}44 (20 %) y la simulación da 29 %. La regla orienta; la simulación decide.

6 Problemas resueltos

El margen de fase del motor con PI

Enunciado

G=\dfrac{1}{s(s+1)}, C=1+\dfrac{1}{10s}. Calcula \omega_c y el margen de fase.

Los márgenes del levitador

Enunciado

PID del proyecto: K_p=0{,}08, K_i=0{,}04, K_d=0{,}03, N=10, con la planta del levitador (incluye e^{-0{,}03s}). ¿Qué márgenes tiene?

7 Ahora tú

8 Ponte a prueba

9 La receta para el día del parcial

  1. L=C\,G (con e^{-Ls} si hay retardo). Magnitud y fase por separado.
  2. \omega_c: |L|=1. MF=180^\circ+\angle L(j\omega_c).
  3. \omega_{180}: fase =-180^\circ. MG=-20\log|L| ahí.
  4. \zeta\approx MF/100; di qué sobreimpulso esperas.
  5. Si falta fase: más D (o un adelanto, Taller 21). Si sobra error: más I lejos del cruce (o un atraso).
Si solo te llevas dos frases

1. «I abajo, D en el cruce.»

2. \zeta\approx MF/100.

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

Siguiente: Taller 21 · Adelanto y atraso →

← Volver al panel