Compensadores de adelanto y atraso
Adelanto: el cero va antes que el polo y regala fase, como un PD que no amplifica el ruido sin límite. Atraso: el polo va antes que el cero y sube la ganancia en frecuencias bajas, como un PI que no llega del todo a cero. Los dos son un cero y un polo; lo que cambia es el orden.
⏱ 70 minutos1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
El programa del curso pone en la Unidad 3, junto al PID, los compensadores de adelanto y atraso. La pregunta típica: «diseñe un compensador para que K_v=20 y el margen de fase sea al menos 50°». Primero se cumple el error con la ganancia; después se arregla la fase con el compensador.
- Con la especificación de error (K_v, K_{pos}) fija la ganancia K.
- Mide el MF con esa K. Si falta fase: adelanto. Si sobra fase pero falta precisión: atraso.
- Calcula \alpha (o \beta) y ubica cero y polo.
- Comprueba el MF y simula.
2 El simulador: mueve el cero y el polo
Planta G=\dfrac{40}{s(s+2)} (ya con la K que da K_v=20). El compensador está normalizado para valer 1 en DC, así que no cambia el K_v.
1) «Adelanto del ejemplo»: el MF pasa de 18° a 49,7° y el sobreimpulso de 60 % a 23 %. 2) Pon z=8 y p=2 (atraso cerca del cruce): el MF se cae. 3) «Atraso»: casi no cambia el transitorio, pero el compensador vale 10 en DC.
3 La misma forma, dos usos
- z,\ p
- el cero está en s=-z y el polo en s=-p [rad/s]
- K_c
- ganancia del compensador; aquí K_c=p/z para que valga 1 en DC [sin unidades]
- \alpha=z/p
- razón del adelanto, menor que 1 [sin unidades]
- \beta=z/p
- razón del atraso, mayor que 1 [sin unidades]
| Adelanto (z<p) | Atraso (z>p) | |
|---|---|---|
| Fase | positiva, máxima en \omega_m=\sqrt{zp} | negativa (se pone lejos del cruce) |
| Qué arregla | MF, sobreimpulso, velocidad | error en estado estacionario |
| Dónde actúa | en el cruce | una década antes del cruce |
| Su primo | PD con filtro (p\to\infty) | PI imperfecto (p\to0) |
4 El diseño de adelanto, paso a paso
Planta G=\dfrac{K}{s(s+2)}. Pide K_v=20\ \text{s}^{-1} y MF\geq50^\circ.
El adelanto sube la magnitud y corre el cruce a la derecha, donde la planta tiene menos fase. Si pides exactamente 50-18=32^\circ, terminas con unos 45°, y no cumple. Por eso se suman de 5° a 12°.
5 El atraso: receta para el error
- Ajusta K para cumplir el MF sin compensar. Ahí K_v queda corto.
- \beta=\dfrac{K_v\ \text{pedido}}{K_v\ \text{actual}}.
- Cero una década antes del cruce: z=\omega_c/10; polo en p=z/\beta.
Así el compensador vale \beta en DC (multiplica K_v) y casi 1 en \omega_c (no toca el transitorio). El costo es una cola lenta: el par polo-cero queda cerca del origen.
Primero el error con K; después la fase con el adelanto, o la precisión con el atraso.
6 Ahora tú
7 Ponte a prueba
8 La receta para el día del parcial
- K desde el error: K_v=\lim sKG.
- MF sin compensar con esa K.
- \phi_m=MF_{\text{pedido}}-MF+5^\circ; \alpha=\dfrac{1-\sin\phi_m}{1+\sin\phi_m}.
- Nuevo cruce donde |G|=-10\log_{10}(1/\alpha) dB; z=\omega_m\sqrt\alpha, p=\omega_m/\sqrt\alpha, K_c=p/z.
- Comprueba el MF. Para el error sin tocar el transitorio: atraso con z=\omega_c/10, p=z/\beta.
1. «Adelanto da fase, atraso da precisión.»
2. Primero el error, después la fase.
Responde las siete preguntas para cerrar el taller.
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