Taller 2 · Control

De la planta física al bloque

Cada caja de un diagrama salió de una ecuación diferencial. Aquí se hace ese paso completo, tres veces, con tres plantas distintas. La tercera es el motor-válvula del punto 1 del parcial del año pasado, que valía el 40 %.

⏱ 50 minutos

De dónde sale esto. Dorf & Bishop 10.ª ed., secciones 2.2 (ecuaciones diferenciales de sistemas físicos), 2.4 (transformada de Laplace) y 2.5 (función de transferencia). El tercer modelo es el punto 1 del Parcial 1 de Mojica-Nava (30/09/2025). Todas las funciones de transferencia se verificaron con python-control.

🧑‍🏫 Así lo hace el profe

LaplaceCon condiciones iniciales cero, cada derivada es una s: M\ddot y+b\dot y+ky=u\ \to\ s^2MY+sbY+kY=U.
FactorizaSaca Y(s) de factor común y divide: H(s)=\dfrac{1}{Ms^2+bs+k}.
PolosEl denominador es el polinomio característico \Delta(s); sus raíces son los polos. Divide por M antes de la cuadrática.

Verlo con tus apuntes de clase (taller 15) →

En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

El punto 1 del parcial de 2025 empezaba así: «el modelo dinámico del sistema se representa por la ecuación diferencial… \frac{K_mK_a}{R}v_i - \frac{K_mK_b}{R}\frac{d\theta}{dt} = J\frac{d^2\theta}{dt^2}. (a) Determine la función de transferencia». Si ese paso sale mal, los otros tres incisos salen mal con él.

Una función de transferencia es la ecuación diferencial escrita de forma que se pueda meter en una caja. En el tiempo, derivar es incómodo; en Laplace, derivar es multiplicar por s. Por eso el bloque puede ser una simple multiplicación.

Ruta: de la ecuación a la caja en cuatro movimientos

Escribe la ecuación con la salida a la izquierda y la entrada a la derecha.
Transforma término a término con condiciones iniciales cero: cada d/dt se vuelve una s.
Saca factor común: Y(s) a la izquierda, U(s) a la derecha.
Divide: G(s) = Y(s)/U(s). Arriba lo de la entrada, abajo lo de la salida.

Qué significa cada símbolo

Y(s): la salida de la planta, ya transformada a Laplace [las de la salida]
U(s): la entrada de la planta, ya transformada [las de la entrada]
G(s): función de transferencia: lo que va dentro del bloque [salida ÷ entrada]
d/dt: derivada respecto al tiempo; en Laplace se vuelve multiplicar por s [1/s]
s: variable de Laplace [1/s]

2 El simulador: tres plantas, un solo método

Escoge una planta y mueve los parámetros físicos. Mira cómo cambia la ecuación, cómo cambia el bloque, y cómo responde la planta sola (sin lazo) a un escalón en la entrada.

Planta

La ecuación

El bloque

Polos

3 Lo mínimo de Laplace que se necesita

No hace falta toda la tabla. Para armar bloques bastan tres reglas:

En el tiempo	En Laplace (CI = 0)	Qué significa
\dot y(t)	s\,Y(s)	Derivar es multiplicar por s
\ddot y(t)	s^2\,Y(s)	Dos derivadas, dos eses
\int_0^t y\,d\tau	Y(s)/s	Integrar es dividir por s: por eso 1/s es un integrador
escalón de altura A	A/s	La entrada de prueba más usada

Qué significa cada símbolo

y(t): una señal cualquiera en el tiempo (un voltaje, una posición, un ángulo) [las de la señal]
\dot y,\ \ddot y: primera y segunda derivada de y respecto al tiempo [las de y por 1/s y por 1/s²]
Y(s): la misma señal vista en Laplace [las de y por s]
s: variable de Laplace [1/s]
A: altura del escalón: cuánto vale la entrada después de encenderla [las de la entrada]
\text{CI}: condiciones iniciales: cuánto valían la señal y sus derivadas en t = 0

¿Por qué condiciones iniciales cero?

La regla completa es \mathcal{L}\{\dot y\} = sY(s) - y(0). Ese y(0) depende de cómo encontraste el sistema el día del experimento: el condensador medio cargado, el resorte ya estirado. La función de transferencia quiere describir al sistema, no a un experimento en particular, así que se calcula como si arrancara en reposo. Si un día arranca cargado, la respuesta real es la de la función de transferencia más un pedazo que solo depende de las condiciones iniciales.

El error de este paso

Transformar \ddot\theta como s\,\Theta en vez de s^2\,\Theta. En el motor-válvula eso convierte 0{,}006\,s^2 + 0{,}0706\,s en 0{,}0766\,s: pierdes un polo entero y el sistema pasa de oscilar a no hacerlo. Cuenta los puntos sobre la letra y pon el mismo número de eses.

Mnemotecnia «Cada punto sobre la letra es una s; lo de la salida va al sótano.» \ddot y tiene dos puntos: s^2. Lo que acompaña a la salida queda en el denominador (el sótano) y lo que acompaña a la entrada, en el numerador. Se comprueba con \dot y + y = u \Rightarrow 1/(s+1): cero puntos en la u, nada de s arriba.

4 El método, completo, tres veces

Circuito RC

Masa-resorte-amortiguador

Chequeo: la ganancia DC tiene que tener sentido físico Evalúa en s = 0: es el valor final ante un escalón unitario. En el RC da 1/(RC\cdot 0 + 1) = 1: el condensador termina con todo el voltaje de la fuente ✓. En la masa-resorte da 1/k: un newton estira el resorte 1/k metros, que es la ley de Hooke ✓. Si tu G(0) contradice la física, hay un error antes.

5 Qué dicen los polos sobre la planta

Los polos son las raíces del denominador. Cada uno trae un pedazo de la respuesta:

s = -a Polo real negativo Aporta e^{-at}: algo que se apaga. La constante de tiempo es \tau = 1/a. Más lejos del origen, más rápido.

s = 0 Polo en el origen Aporta una constante que no se apaga: es un integrador. Si la entrada es un escalón, la salida crece como una rampa, sin parar.

s = -\sigma \pm j\,\omega_d Par complejo Aporta e^{-\sigma t}\sin(\omega_d t): una oscilación que se apaga. \sigma dice qué tan rápido se apaga y \omega_d qué tan rápido oscila. Es el tema del taller 7.

Qué significa cada símbolo

a: distancia del polo real al origen: qué tan rápido se apaga [1/s]
\tau: constante de tiempo, \tau = 1/a: lo que tarda en recorrer el 63 % del camino [s]
\sigma: parte real del par complejo (sin el signo): qué tan rápido se apaga la oscilación [1/s]
\omega_d: parte imaginaria: la frecuencia con que oscila [rad/s]
j: la unidad imaginaria, j^2 = -1 (en ingeniería se usa j y no i) [sin unidades]

Mnemotecnia «Cuatro tau y listo.» Un polo en -1/\tau llega al 63 % en t = \tau y al 98 % en t = 4\tau. Se comprueba: 1 - e^{-1} = 0{,}632 y 1 - e^{-4} = 0{,}982. Por eso el tiempo de establecimiento al 2 % es 4\tau.

6 El punto 1(a) del parcial, resuelto

Enunciado (Parcial 1, 30/09/2025)

El nivel de agua de un tanque se regula con una válvula movida por un motor. El modelo que relaciona el ángulo de la válvula \theta(t) [rad] con el voltaje del motor v_i(t) [V] es

\frac{K_mK_a}{R}\,v_i - \frac{K_mK_b}{R}\,\frac{d\theta}{dt} = J\,\frac{d^2\theta}{dt^2}

con K_m = 10, K_a = 50, K_b = 0{,}0706, J = 0{,}006 y R = 10. (a) Determine la función de transferencia en lazo abierto \Theta(s)/V_i(s).

Qué significa cada símbolo

\theta(t): ángulo de la válvula: la salida [rad]
v_i(t): voltaje que se le aplica al motor: la entrada [V]
K_m: constante de par del motor: cuánto par da por cada amperio [N·m/A]
K_a: ganancia del amplificador [sin unidades (V/V)]
K_b: constante de fuerza contraelectromotriz: el voltaje que el motor genera al girar [V·s/rad]
J: momento de inercia de lo que gira [kg·m²]
R: resistencia del motor [Ω]
\Theta(s),\ V_i(s): el ángulo y el voltaje vistos en Laplace [rad·s y V·s]

Respuesta

G(s) = \dfrac{50}{0{,}006\,s^2 + 0{,}0706\,s} = \dfrac{8333{,}3}{s\,(s + 11{,}77)}

Polos en s = 0 (integrador) y s = -11{,}77 (constante de tiempo \tau = 1/11{,}77 = 0{,}085\ \text{s}). Los incisos (b), (c) y (d) cierran el lazo: están resueltos en el taller 7.

7 Ahora tú

8 Ponte a prueba

9 La receta para el día del parcial

Identifica la salida (lo que te piden sobre la raya de la fracción) y la entrada.
Reordena: todo lo de la salida a la izquierda, lo de la entrada a la derecha.
Transforma con CI = 0: cuenta los puntos, pon ese número de eses.
Factoriza y divide: G = \text{(lo de la entrada)}/\text{(lo de la salida)}.
Si hay una s que se puede sacar del denominador, sácala: es un integrador y te va a servir en el taller 8.
Chequea G(0) contra la física (o que sea infinito si hay integrador).

Si solo te llevas dos frases

1. «Cada punto sobre la letra es una s; lo de la salida va al sótano.»

2. «Cuatro tau y listo.»

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

Siguiente: álgebra de bloques →

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