Álgebra de bloques
Un diagrama enredado se vuelve un solo bloque aplicando reglas, una a la vez. Nunca se salta de la maraña al resultado: cada paso se dibuja, y en cada paso el sistema sigue siendo exactamente el mismo.
⏱ 55 minutos- EcuacionesEn clase el profe casi nunca mueve bloques: escribe una ecuación por sumador y por bloque, y despeja.
- ComparaUsa la reducción de este taller para comprobar: las dos rutas tienen que dar la misma T(s).
- OjoApagar una entrada no borra un lazo: el G_1H_1 de otra rama sigue en el denominador.
1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Casi todas las preguntas del parcial necesitan una función de transferencia: la de la salida respecto a la referencia, o la de la salida respecto a la perturbación. El diagrama trae varias cajas y varios lazos. Reducir es convertir todo eso en una sola caja T(s) sin cambiar lo que el sistema hace.
- Busca bloques en serie o en paralelo que ya estén limpios y júntalos.
- Busca el lazo más interno: uno que no tenga otro lazo metido adentro. Ciérralo.
- Si dos lazos se enredan (uno toma la señal en medio del otro), mueve un punto para desenredarlos, pagando el peaje.
- Repite de adentro hacia afuera hasta que quede un bloque. Al final, chequea en un valor de s.
2 El simulador: el reductor, una regla a la vez
Este diagrama tiene tres lazos, y el del medio (H_2) está enredado con el de arriba (H_1). Toca el botón para aplicar una regla. La pieza que cambió se resalta y el panel dice qué regla se usó.
desliza el diagrama →
Si en algún paso el número cambiara, la regla estaría mal aplicada. No cambia: reducir no cambia el sistema, solo el dibujo.
- R(s)
- la referencia: lo que le pides al sistema, vista en Laplace [las de la referencia]
- Y(s)
- la salida: lo que el sistema hace [las de la salida]
- G_1,\dots,G_4
- los bloques del camino directo, de la entrada hacia la salida [salida ÷ entrada de cada bloque]
- H_1,\ H_2,\ H_3
- los bloques de las ramas que se devuelven (realimentación) [salida ÷ entrada de cada bloque]
- X_3
- la señal interna que sale de G_3 y entra a G_4 [las de esa señal]
- T(s)
- la función de transferencia total, T = Y/R: el único bloque que queda al final [las de Y ÷ las de R]
- s
- variable de Laplace [1/s]
- T(1),\ T(2)
- T(s) evaluada en s = 1 y en s = 2: un número para comparar etapas [las de T]
3 Las tres reglas que hacen casi todo
Serie
G_1\cdot G_2
la salida de uno es la entrada del otro
Paralelo
G_1 \pm G_2
la misma entrada, las salidas se suman con su signo
Lazo
\dfrac{G}{1 \mp G\,H}
el signo de abajo es el contrario del sumador
- G_1,\ G_2
- funciones de transferencia de dos bloques [salida ÷ entrada de cada bloque]
- G
- en el lazo: el camino directo, del sumador a la salida [salida ÷ error]
- H
- en el lazo: el bloque de la rama que vuelve (si no hay bloque, H = 1) [señal que vuelve ÷ salida]
- G\,H
- la vuelta completa: lo que se multiplica la señal al dar una vuelta al lazo [sin unidades]
- \pm
- en el paralelo: el signo con que la segunda rama entra al sumador
- \mp
- en el lazo: el signo contrario al del sumador (sumador −, denominador +)
El porqué de la fórmula del lazo (de dónde sale ese 1 + GH) está desarmado en el taller 5. Aquí se usa como herramienta.
Cerrar un lazo positivo con 1 + GH. En el simulador, H_1 entra con +: el lazo da G_3G_4/(1 - G_3G_4H_1). Con los números del chequeo, en s = 1: G_3G_4 = \tfrac14\cdot\tfrac23 = \tfrac16, así que es \tfrac{1/6}{1 - 1/6} = 0{,}2 y no \tfrac{1/6}{1+1/6} = 0{,}143. Un 40 % de diferencia por un signo.
4 Mover puntos sin cambiar nada: el peaje
Cuando dos lazos están enredados, hay que mover un punto de bifurcación o un sumador al otro lado de un bloque. La idea de fondo es una sola: cada camino tiene que seguir multiplicando lo mismo que antes.
desliza el diagrama →
| Qué mueves | Hacia dónde | El peaje | Por qué |
|---|---|---|---|
| Punto de bifurcación | Adelante (a favor de la señal) | \div G en la rama | Ahora toma la señal ya multiplicada por G; hay que quitársela |
| Punto de bifurcación | Atrás (contra la señal) | \times G en la rama | Ahora toma la señal antes de G; hay que ponérsela |
| Sumador | Adelante (a favor) | \times G en la entrada lateral | Lo que entra por el lado ahora no pasa por G; hay que ponérselo |
| Sumador | Atrás (contra) | \div G en la entrada lateral | Lo que entra por el lado ahora sí pasa por G; hay que quitárselo |
- X
- la señal que entra al bloque [las de esa señal]
- G
- el bloque que te saltas al mover el punto o el sumador [salida ÷ entrada]
- G\,X
- la señal que sale del bloque [las de X por las de G]
- D
- una señal que entra por el lado de un sumador (por ejemplo, una perturbación) [las del punto donde entra]
- \div G,\ \times G
- el peaje: un bloque 1/G o G que se agrega en el camino que cambió [las inversas de G, o las de G]
«A favor de la señal se divide, contra la señal se multiplica» es cierto solo para puntos de bifurcación. Con sumadores es al revés (mira la tabla). Por eso la regla buena es la del camino: no depende de qué estás moviendo.
5 Dos reducciones completas
El de tres lazos, en símbolos
El tanque del Parcial 1
En la Figura 3 del parcial, con la perturbación apagada (q_s = 0), queda un lazo simple con K(s) = B/(s+10) y la planta 1/(As), A = 0{,}78\ \text{m}^2.
- K(s)
- el controlador: convierte el error de nivel en caudal de entrada [m²/s]
- B
- la ganancia del controlador, el número que se ajusta [m²/s²]
- A
- área de la base del tanque [m²]
- \dfrac{1}{A\,s}
- la planta (el tanque): convierte caudal en nivel. La 1/s es un integrador: el tanque acumula [s/m²]
- G(s)
- el camino directo completo: controlador por planta [sin unidades (m/m)]
- T(s)
- nivel real ÷ nivel pedido, con el lazo cerrado [sin unidades (m/m)]
- q_s
- caudal de salida, la perturbación; aquí está apagada [m³/s]
6 El chequeo que no repite la cuenta
Tienes la maraña y tu resultado T(s). Escoge un número cómodo, por ejemplo s = 1, y evalúa cada bloque del diagrama original en ese número: todos se vuelven números. Resuelve el diagrama de números (es aritmética) y compáralo con T(1).
Dos expresiones distintas pueden coincidir por casualidad en un valor. Si tienes tiempo, prueba un segundo valor (s = 2 da 0{,}2632). Dos coincidencias ya no son casualidad.
7 Ahora tú
8 Ponte a prueba
9 La receta para el día del parcial
- Copia el diagrama con los signos. Marca cada lazo con un color distinto.
- Junta primero lo que ya está limpio: serie y paralelo.
- Cierra el lazo más interno. Mira el signo de su sumador: − da 1+GH, + da 1-GH.
- Si dos lazos se cruzan, mueve un punto y paga el peaje: que el camino que cambió siga multiplicando lo mismo.
- Redibuja después de cada regla. Sí, cada una.
- Chequea en s = 1 (y en s = 2 si hay tiempo).
1. «Serie multiplica, paralelo suma, lazo divide.»
2. «Si te saltas un bloque, pagas peaje: que cada camino siga cobrando lo mismo.»