Grafos de flujo y la regla de Mason
Cuando los lazos se enredan, reducir paso a paso cansa y se presta a errores de signo. Mason da la respuesta de una: caminos arriba, lazos abajo, y un par de reglas para los lazos que no se tocan.
⏱ 50 minutos- EcuacionesCon lazos que se cruzan, el profe sigue escribiendo una ecuación por sumador y despeja; Mason es el atajo para el mismo resultado.
- ChequeoNumerador = caminos directos; denominador = 1-\sum(\text{lazos})+\ldots. Si las dos rutas no coinciden, revisa un signo.
1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Úsalo cuando el diagrama tenga lazos que se cruzan (como el de H_2 en el taller 3), o varios caminos de la entrada a la salida. Tu profesor tiene un tipo de diagrama favorito, el «sistema con interacciones»: dos integradores que se cruzan señales en diagonal. Por bloques eso exige mover puntos; por Mason sale en cinco renglones.
También es el mejor chequeo de una reducción por bloques: dos métodos distintos que dan lo mismo.
- Lista todos los caminos de la entrada a la salida (sin pasar dos veces por un nodo). Su ganancia es el producto de las ramas.
- Lista todos los lazos, con el signo metido en la ganancia.
- Mira qué lazos no se tocan (no comparten ningún nodo).
- Arma \Delta, cada \Delta_k, y divide.
2 El simulador: el cazador de caminos y lazos
Escoge un ejemplo y toca cada camino o lazo: se resalta en el grafo con una franja clara y el panel te da su ganancia. El último botón junta todo en la fórmula.
desliza el grafo →
Círculo = señal (nodo). Flecha = bloque (rama), con su ganancia escrita al lado. Franja clara = lo que está resaltado.
3 La fórmula, pieza por pieza
- T(s)
- la función de transferencia total, de la entrada a la salida [las de Y ÷ las de R]
- Y(s),\ R(s)
- la salida y la entrada (referencia), vistas en Laplace [las de cada señal]
- k
- el número del camino: 1, 2, 3… La suma de arriba recorre todos los caminos [sin unidades]
- i,\ j
- los números de los lazos [sin unidades]
- P_k
- ganancia del camino k [las de T]
- L_i
- ganancia del lazo i, con su signo [sin unidades]
- \Delta,\ \Delta_k
- el determinante del grafo y el cofactor del camino k [sin unidades]
- \textstyle\sum
- suma de todos los términos de ese tipo
Si escribes L_1 = -G_1H_1 (con el menos del sumador), entonces \Delta = 1 - L_1 = 1 + G_1H_1. El error es escribir L_1 = -G_1H_1 y además poner \Delta = 1 + L_1: da 1 - G_1H_1, que es un lazo positivo que no existe. Con G_1H_1 = 4: la respuesta correcta tiene \Delta = 5 y la equivocada \Delta = -3.
4 Del diagrama de bloques al grafo
5 Resueltos
El de tres lazos (el del taller 3), por Mason
El sistema con interacciones de Mojica
Dos integradores 1/s. El primero tiene realimentación -3 sobre sí mismo y recibe con − la salida del segundo; el segundo tiene realimentación -2 sobre sí mismo. La entrada u entra a los dos sumadores con +, y la salida es y = a\,x_1 + x_2. En el parcial pedían variables de estado; aquí sacamos Y/U, que es lo mismo que tendrías que comprobar al final.
- u,\ U(s)
- la entrada, en el tiempo y en Laplace [las de la entrada]
- x_1,\ x_2
- los estados: lo que sale de cada integrador (X_1 y X_2 en Laplace) [las de cada estado]
- \dot x_1,\ \dot x_2
- las derivadas de los estados: lo que entra a cada integrador, o sea, lo que sale de cada sumador [las del estado por 1/s]
- \dfrac1s
- un integrador [s]
- a
- la ganancia con que x_1 entra a la salida; es el parámetro que el parcial deja libre [sin unidades]
- y,\ Y(s)
- la salida, y = a\,x_1 + x_2 [las de la salida]
- -3,\ -2
- las realimentaciones de cada integrador sobre sí mismo; ponen los polos en -3 y -2 [1/s]
Con a = 1 el cero en -2 se come al polo en -2 y queda 2/(s+3): el modo del segundo integrador no se ve en la salida. Por eso en el parcial de 2024 la matriz de observabilidad dio determinante cero, y en el de 2025 pedían un a distinto de 1. Mason te lo dice antes de armar ninguna matriz.
6 Ahora tú
7 Ponte a prueba
8 La receta para el día del parcial
- Pasa el diagrama a grafo: una señal, un nodo; un bloque, una rama; el signo del sumador va en la rama.
- Caminos: sal de la entrada y llega a la salida de todas las formas posibles sin repetir nodos.
- Lazos: cada vuelta cerrada, con su signo adentro.
- Haz la tabla «¿se tocan?» para cada pareja de lazos.
- \Delta = 1 - \sum L + \sum(parejas que no se tocan) - \dots
- Cada \Delta_k: borra los lazos que toca el camino k.
- Chequea con un valor de s, o contra la reducción por bloques.
«Caminos arriba, lazos abajo; lo que no se toca, se multiplica.»
Responde las siete preguntas para cerrar el taller.
Siguiente: lazo cerrado y sensibilidad →