La fórmula del lazo cerrado y la sensibilidad
De dónde sale G/(1+GH): sigues la señal mientras da la vuelta y la fórmula se escribe sola. Después, lo que compra esa vuelta: si la planta cambia, la salida cambia mucho menos.
⏱ 55 minutos- DespejaY=G(U-YH)\Rightarrow Y(1+GH)=GU\Rightarrow T=\dfrac{G}{1+GH}.
- DerivaSensibilidad: S_G^T=\dfrac{\partial T}{\partial G}\cdot\dfrac{G}{T}=\dfrac{1}{1+GH}.
- CadenaPara un parámetro K dentro de G: S_K^T=S_G^T\,S_K^G. Si K solo multiplica, S_K^G=1.
1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Cada vez que un problema dice «sistema en lazo cerrado» y te pide la función de transferencia, la respuesta empieza con esta fórmula. En el Parcial 1 de 2025 salió en los dos puntos: en el motor-válvula (realimentación unitaria) y en el tanque. Y en el punto 2(b) del tanque pedían la sensibilidad S_B^T, que es la segunda mitad de este taller.
En el taller 3 usaste G/(1+GH) como herramienta para reducir. Aquí la desarmas: por qué es un más abajo, qué pasa si el sumador suma en vez de restar, y qué gana uno al cerrar el lazo.
- Escribe una ecuación por pieza: la del sumador y la del bloque. Nada más.
- Mete una en la otra, junta todo lo que tenga Y a la izquierda y despeja.
- Mira el signo del sumador: decide si abajo va 1+GH o 1-GH, y eso decide los polos.
- Para la sensibilidad: deriva T respecto al parámetro y multiplica por parámetro sobre T. Si el parámetro está metido dentro de G, usa la regla de la cadena.
2 El simulador: la señal que da la vuelta
La planta es G(s) = \dfrac{K}{(s+1)(s+3)} y el sensor mide directo, H = 1. Toca «Siguiente paso»: se enciende la pieza que toca y el panel escribe su ecuación. Cuando llegues a la fórmula, cambia el signo del sumador y mueve K: mira qué les pasa a los polos y a la respuesta al escalón.
Franja clara = la pieza del paso actual. El signo rosado de abajo es el que cambia el interruptor.
Entra un escalón unitario en R. Verde: la salida y(t).
Con el −, subas lo que subas K, los polos se quedan en parte real -2: el lazo nunca se cae (con esta planta). Con el +, un polo camina hacia la derecha; en K = 3 llega al origen y desde ahí el sistema es inestable. Con K = 5: polos -2 \pm 2j con el −, y +0{,}45 y -4{,}45 con el +. Un signo, dos sistemas distintos.
3 La fórmula, pieza por pieza
Tres nombres que el profesor usa sin avisar:
Franja celeste: el camino directo (va arriba en la fracción). Franja morada: la vuelta completa (va abajo, sumada a 1).
La deducción, sin saltos
- T(s)
- la función de transferencia de lazo cerrado: salida sobre referencia [las de Y ÷ las de R]
- R(s)
- la referencia: lo que pides [las de la referencia]
- Y(s)
- la salida: lo que el sistema entrega [las de la salida]
- E(s)
- lo que sale del sumador y entra a G [las de R]
- B(s)
- lo que vuelve al sumador: B=H\,Y [las de R]
- G(s)
- el camino directo [las de Y ÷ las de E]
- H(s)
- la realimentación (el sensor) [las de B ÷ las de Y]
- G\,H
- la vuelta completa o ganancia de lazo [sin unidades]
- s
- la variable de Laplace [1/s]
De Y = GR - GHY hay que llevar -GHY a la izquierda, y llega como +GHY. Si lo dejas con −, te queda G/(1-GH): la fórmula de la realimentación positiva. En el simulador, con K = 5, eso convierte un sistema con polos en -2 \pm 2j en uno con un polo en +0{,}45. No es un detalle de álgebra: es otro sistema.
4 Negativa o positiva: qué cambia en los polos
Los polos del lazo cerrado son los ceros del denominador. Por eso a 1 \pm GH = 0 se le dice ecuación característica: ella sola decide si el sistema es estable. Con G = K/((s+1)(s+3)), multiplica por (s+1)(s+3):
| Sumador | Ecuación característica | Polos | Qué pasa al subir K |
|---|---|---|---|
| − (negativa) | s^2+4s+3+K=0 | -2\pm\sqrt{1-K} | Para K > 1 se vuelven complejos con parte real -2: más oscilación, siempre estable. |
| + (positiva) | s^2+4s+3-K=0 | -2\pm\sqrt{1+K} | Siempre reales. El de la derecha, -2 + \sqrt{1+K}, cruza el cero en K = 3: inestable desde ahí. |
- K
- la ganancia del camino directo: el número que tú escoges [sin unidades en este ejemplo]
- s
- la variable de Laplace; los polos son los valores de s que anulan el denominador [1/s]
- 1\pm GH = 0
- la ecuación característica: el denominador de T(s) igualado a cero
- -2\pm\sqrt{1\mp K}
- los dos polos del lazo cerrado; si lo de adentro de la raíz es negativo, salen complejos (aparece la j) [1/s]
- GH(0)
- la vuelta completa evaluada en s=0: cuánto se multiplica una señal constante al dar una vuelta [sin unidades]
La lectura física: con realimentación negativa, si la salida se pasa, lo que vuelve resta y la frena. Con positiva, lo que vuelve suma: si la salida crece, entra más, y crece más. Mientras la vuelta completa sea pequeña (GH(0) = K/3 < 1) el eco se apaga solo; cuando la vuelta completa llega a 1, el eco ya no se apaga.
Con el + y K = 5, la fórmula da T(0) = 5/(3-5) = -2{,}5. Ese número no es el valor final: el sistema tiene un polo en +0{,}45 y la salida se va al infinito. Antes de cualquier valor final, mira los polos. El simulador por eso no te muestra valor final cuando dice «inestable».
El signo del sumador no cambia un término: cambia la ecuación característica, y con ella los polos. Primero el signo, después la fórmula, después los polos, y solo al final el valor en s = 0.
5 Segundo simulador: la planta cambia, ¿cuánto cambia la salida?
Las plantas reales no se quedan quietas: un amplificador se calienta, un motor se desgasta, el tanque se ensucia. Aquí la planta es a/(s+1) con a_0 = 1 de diseño, y a se sale de su valor un x\,\%. Se comparan dos formas de manejarla:
Lazo abierto
Y=(a/a_0)\,R en DC
calibrado para dar 1 con a=a_0; nadie mira la salida
Lazo cerrado
T(0)=Ka/(1+Ka)
el sensor mide y el sumador corrige
- a
- la ganancia real de la planta, la que se sale de su valor [las de Y ÷ las de la entrada de la planta]
- a_0
- el valor de diseño de a (aquí 1) [las mismas de a]
- x
- cuánto se salió a de su valor: a=a_0(1+x/100) [%]
- K
- la ganancia del controlador en el lazo cerrado [sin unidades]
- Y,\ R
- la salida y la referencia [las de cada señal]
- T(0)
- la función de transferencia en s=0: el valor final ante un escalón unitario (si el sistema es estable) [sin unidades aquí]
Lazo abierto
Lazo cerrado
Punteada: planta de diseño (a=a_0). Continua: planta cambiada. La cota vertical es cuánto se movió el valor final.
6 La sensibilidad, desarmada
Dorf define la sensibilidad como el cambio relativo de T dividido por el cambio relativo del parámetro, para cambios pequeños:
Es un porcentaje sobre un porcentaje, así que no tiene unidades. En lazo abierto, T = G y S_G^T = 1: la salida hereda el cambio entero de la planta. La pregunta es qué hace el lazo con ese 1.
- S_\alpha^T
- la sensibilidad de T al parámetro \alpha (arriba lo que cambia como consecuencia, abajo el culpable) [sin unidades]
- T
- la función de transferencia que te importa (aquí, la de lazo cerrado) [las de Y ÷ las de R]
- \alpha
- el parámetro que cambia: una ganancia, un área, una constante de tiempo… [las suyas]
- \Delta T/T
- el cambio relativo de T; por 100 es un porcentaje [sin unidades]
- \Delta\alpha/\alpha
- el cambio relativo del parámetro [sin unidades]
- \dfrac{\partial T}{\partial\alpha}
- la derivada parcial: cuánto cambia T por cada unidad que cambia \alpha, dejando quieto todo lo demás [las de T ÷ las de α]
Sensibilidad a la planta: S_G^T
Sensibilidad al sensor: S_H^T
Ahora la variable es H y G se queda quieta. Escribe T=G\,(1+GH)^{-1} y deriva: baja el exponente, y por la regla de la cadena sale la derivada de lo de adentro, que es G. Queda \dfrac{\partial T}{\partial H}=-G\cdot\dfrac{G}{(1+GH)^2}. Después multiplica por \dfrac{H}{T}=\dfrac{H(1+GH)}{G}:
Cuando GH es grande, esto vale casi -1: un 5 % de error en el sensor pasa casi entero, y con el signo contrario, a la salida. Con GH(0) = 20: S_H^T = -20/21 = -0{,}95. El signo menos dice que si el sensor lee de más, la salida queda por debajo: el lazo cree que ya llegó.
La realimentación protege contra cambios en G, no contra cambios en H. El lazo corrige lo que el sensor le dice; si el sensor miente, el lazo obedece la mentira. Por eso el sensor es la pieza que se compra buena.
Un parámetro metido dentro de G: la regla de la cadena
Casi nunca te preguntan por G entera: te preguntan por una ganancia K, un área A, un B o una constante de tiempo \tau que está adentro de G. No hace falta derivar la fracción grande:
7 Problemas del libro y del parcial, resueltos
E4.2 · rastreador solar (E4.1 en tu libro en español)
Un lazo cerrado con H = 1 apunta un panel al sol, con G_c(s)G(s) = \dfrac{100}{\tau s + 1} y \tau = 3 s nominal. (a) Calcula la sensibilidad a un cambio pequeño en \tau. (b) Calcula la constante de tiempo del lazo cerrado.
E4.1 · amplificador de audio (E4.2 en tu libro)
El amplificador K_1 se cierra con realimentación unitaria alrededor de G(s) \approx K_2, y un ruido D(s) entra con + entre los dos. (a) Calcula la sensibilidad a K_2. (c) ¿Qué K_1 escogerías para que el ruido afecte lo menos posible a V_o?
Figura E4.2 de la 10.ª ed. en español, con los colores del taller.
Parcial 1 (30/09/2025), punto 2(b) · la sensibilidad del tanque
En el control de nivel (el diagrama del taller 1), K(s) = B/(s+10), la planta es 1/(As) con A = 0{,}78 y la realimentación es unitaria. Encuentra la sensibilidad S_B^T de la función de transferencia respecto a B.
E4.9 (b) · el submarino, si te alcanza (E4.7 en tu libro)
Control de profundidad: la referencia pasa por K, un lazo interno con K_2 rodea a K_1 y al integrador 1/s, y el sensor externo también vale K. Calcula S_{K_1}^T y S_K^T.
desliza el diagrama →
Figura E4.7 de la 10.ª ed. en español. La perturbación D entra con −.
8 Ahora tú
9 Ponte a prueba
10 La receta para el día del parcial
- Identifica el camino directo G (todo lo que hay de R a Y sin devolverse) y la realimentación H.
- Mira el signo de la flecha que vuelve al sumador. − → 1+GH; + → 1-GH.
- Escribe T = G/(1 \pm GH) y limpia la fracción multiplicando arriba y abajo por los denominadores de G y H.
- Iguala el denominador a cero: son los polos. Si alguno tiene parte real ≥ 0, no hay valor final.
- Chequea T(0) contra lo que esperas de la física.
- Sensibilidad a G: 1/(1+GH). A H: -GH/(1+GH).
- Parámetro metido en G: S_\alpha^T = S_G^T\cdot S_\alpha^G. Una ganancia en serie tiene S_K^G = 1.
- Interpreta: S(0) = 0 quiere decir que el valor final no depende de ese parámetro.
1. «Directo sobre uno más la vuelta completa», y el signo de abajo es el contrario del sumador.
2. «La realimentación divide la sensibilidad por 1+GH.»
Responde las siete preguntas para cerrar el taller.
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