R, E, Y: quién es quién
El enunciado dice «el error» y tú tienes que saber cuál: lo que sale del sumador o la distancia real entre lo que pediste y lo que obtuviste. Con H=1 son la misma señal. Con H\ne 1, no, y ahí se pierde el punto.
⏱ 50 minutos- E primeroEscribe E=R-HY y Y=GE y despeja: E=\dfrac{R}{1+GH}. Con H\ne1 esa E es la señal actuante, no R-Y.
- LímiteDespués e_{ss}=\lim_{s\to0}sE(s), revisando antes que el lazo sea estable.
1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
En un diagrama de lazo hay por lo menos cuatro señales con nombre y el enunciado te pide una sola. Si calculas la otra, la cuenta puede estar perfecta y el punto sale malo. Las que se confunden:
- Subraya en el enunciado la señal que piden: ¿salida, lo que sale del sumador, el error de seguimiento o la señal de control?
- Mira H. Si es 1, E_a y E son la misma. Si no, son dos señales distintas.
- Escribe la función de transferencia de esa señal respecto a R: directo hasta esa señal, sobre uno más la vuelta completa.
- Revisa los polos y después sí: valor final (s \to 0) o valor inicial (s \to \infty).
2 El simulador: el mismo lazo con H = 1 y con H ≠ 1
La planta es G(s) = K/(s+2) y el sensor tiene ganancia h. Toca una flecha o un bloque (o los botones) y se ilumina con su explicación. Después cambia el interruptor a H \ne 1: aparece arriba, punteado, el comparador que no existe en el diagrama y que calcularía el error de verdad.
Las señales en el tiempo (escalón unitario en R)
Celeste punteada: R. Verde: Y. Morada: lo que vuelve, H\,Y. Las cotas son las dos brechas finales.
Los dos «errores»
Oro continua: E_a=R-H\,Y (la que sale del sumador). Oro punteada: E=R-Y (el error de verdad).
- K
- la ganancia de la planta G(s)=K/(s+2) [las de Y ÷ las de E_a, por 1/s]
- h
- la ganancia del sensor: cuántas unidades entrega por cada unidad de salida (por ejemplo, V por metro) [las de R ÷ las de Y]
- y_{ss}
- el valor donde se asienta la salida (ss = estado estacionario) [las de la salida]
- E_{a,ss}
- el valor final de lo que sale del sumador, 1-h\,y_{ss} [las de R]
- e_{ss}
- el valor final del error de verdad, 1-y_{ss} [las de la salida]
- s
- la variable de Laplace; el polo es el valor de s que anula el denominador [1/s]
3 Tres señales, tres funciones de transferencia
Toda señal del lazo tiene su propia función de transferencia respecto a R, y todas comparten el mismo denominador 1 + GH (los polos son del lazo, no de la señal). Lo que cambia es el numerador: el camino directo de R hasta esa señal.
| Señal | Respecto a R | Camino directo | Con H=1 |
|---|---|---|---|
| Y | \dfrac{G}{1+GH} | pasa por G | \dfrac{G}{1+G} |
| E_a=R-HY | \dfrac{1}{1+GH} | no pasa por nada | \dfrac{1}{1+G} |
| E=R-Y | \dfrac{1+GH-G}{1+GH} | 1-T, no es una flecha | \dfrac{1}{1+G} |
| U=C\,E_a | \dfrac{C}{1+CGH} | pasa por C | \dfrac{C}{1+CG} |
- R,\ Y
- la referencia y la salida [las de cada señal]
- E_a
- la señal actuante: lo que sale del sumador [las de R]
- E
- el error de seguimiento, R-Y [las de la salida]
- U
- la señal de control: lo que el controlador le manda a la planta [las del actuador]
- G,\ H,\ C
- la planta, el sensor y el controlador [salida ÷ entrada de cada bloque]
- T
- la función de transferencia de lazo cerrado, Y/R [las de Y ÷ las de R]
- GH
- la vuelta completa (con controlador, CGH) [sin unidades]
La diferencia entre los dos errores sale restando:
desliza el diagrama →
Izquierda: el sumador compara R con Y. Derecha: el sumador compara R con H\,Y, y el error de verdad hay que calcularlo aparte.
Es la fórmula de E_a, no la de E. En el E4.11 con K = 10 eso da 0{,}3, cuando el error de seguimiento de verdad es 0{,}7: más del doble. La fórmula del error real es 1 - T, siempre.
4 La señal de control y el valor inicial
A veces lo que preguntan no es a dónde llega la salida sino cuánto le toca dar al actuador: la señal de control u. En el Parcial 1 de 2025-I el esquema era este, con realimentación unitaria:
Esquema del Parcial 1 de 2025-I: G = 1/(s+3), C = 5.
El valor final se saca con s \to 0. El valor en el primer instante, con el teorema del valor inicial, que es el espejo:
- u(t)
- la señal de control en el tiempo [las del actuador]
- U(s)
- la misma señal vista en Laplace [las de u, por s]
- u(0^+)
- el valor de u justo después de que entra el escalón [las de u]
- s
- la variable de Laplace; s\to\infty mira el arranque y s\to 0 mira el final [1/s]
- G_{ur}(s)
- la función de transferencia de la referencia a la señal de control, U/R [las de u ÷ las de r]
5 Llevar H ≠ 1 a realimentación unitaria
La tabla de K_p, K_v, K_a y del tipo de sistema (está completa en el taller 8) solo vale cuando la realimentación es unitaria, porque está construida sobre E = R/(1+G). Con H \ne 1 hay que dibujar primero un sistema equivalente que tenga la misma T(s) pero realimentación unitaria (Dorf 5.8).
- G_{eq}
- el camino directo del sistema equivalente con realimentación unitaria [las de Y ÷ las de R]
- T
- la función de transferencia de lazo cerrado del sistema original; el equivalente tiene la misma [las de Y ÷ las de R]
- G,\ H
- la planta y el sensor del sistema original [salida ÷ entrada de cada bloque]
- K_p
- la constante de error de posición: G_{eq}(0) [sin unidades]
- e_{ss}
- el error de seguimiento final ante un escalón unitario, 1/(1+K_p) [las de la salida]
desliza el diagrama →
Las dos cajas tienen la misma T(s). En la de la derecha, lo que sale del sumador sí es el error de verdad.
Con H \ne 1, el tipo que decide el error de seguimiento es el de G_{eq}, no el de GH. En el E4.11, GH(0) = 7/3 daría (con la tabla mal usada) 1/(1 + 7/3) = 0{,}3; con G_{eq}, K_p = 3/7 y e_{ss} = 1/(1 + 3/7) = 0{,}7, que es lo que da la simulación. Y no te asustes si G_{eq} tiene polos raros (en el E4.11 tiene dos con parte real positiva): lo que tiene que ser estable es el lazo cerrado.
G_{eq} = \dfrac{G}{1 + GH - G}, o más fácil: G_{eq} = T/(1-T). Con eso la tabla del taller 8 vuelve a servir.
6 El ruido del sensor: seguir R contra rechazar N
El sensor no mide perfecto: a lo que mide se le suma un ruido N(s). Ese ruido entra en el camino de vuelta, justo donde entra Y, así que el lazo no lo puede distinguir de la salida.
desliza el diagrama →
Figura E4.10 de la 10.ª ed. en español (E4.12 en inglés). N entra con + antes del sensor H.
- N
- el ruido que se le suma a la medida [las de la salida]
- Y
- la salida [las de la salida]
- G_c
- el controlador [las del actuador ÷ las de E_a]
- G
- la planta [las de Y ÷ las del actuador]
- H
- el sensor [las de R ÷ las de Y]
- L=G_cGH
- la vuelta completa (ganancia de lazo) [sin unidades]
Compáralo con la perturbación del taller 9: subir la ganancia aplasta una perturbación que entra en la planta, pero con el ruido del sensor hace lo contrario. Si G_cGH es grande, Y/N \to -1: el ruido pasa entero a la salida.
| Ganancia de lazo | Seguir R | Protegerse de cambios en G | Ruido del sensor |
|---|---|---|---|
| Grande | Bien | Bien: S=1/(1+GH) pequeña | Mal: pasa casi entero |
| Pequeña | Solo si se calibra | Mal: S casi 1 | Bien: casi no pasa |
La receta «sube la ganancia» es para perturbaciones que entran en el camino directo. Con el E4.12, si subes a K_1 = 50 y K_2 = 4{,}9 (que sigue dando T(0) = 1), un escalón de ruido mueve la salida -0{,}98: casi todo. Con K_2 = 0{,}5 y K_1 = 10/9, solo -0{,}1.
7 Problemas del libro y del parcial, resueltos
E4.11 · realimentación no unitaria (E4.9 en tu libro)
G(s) = \dfrac{K}{s+10} en el camino directo, H(s) = \dfrac{14}{s^2+5s+6} en la realimentación (entra con −), y una perturbación T_d(s) que se suma a la salida. El error de seguimiento es E = R - Y. (a) T(s). (b) e_{ss} ante un escalón unitario. (c) Y/T_d y su efecto final ante un escalón unitario. (d) S_K^T. Usa K = 10 para los números.
Figura E4.9 de la 10.ª ed. en español.
Parcial 1 2025-I · preguntas 2 y 3
El esquema de la sección 4, con G = 1/(s+3) y C = 5. (2) ¿Cuál es la función de transferencia G_{yd} de la perturbación a la salida? (3) Con r escalón unitario y d = 0, ¿cuánto vale u(0^+)?
E4.12 · ruido en la medida (E4.10 en tu libro)
En el diagrama de la sección 6, G(s) = \dfrac{100}{s+100}, G_c(s) = K_1, H(s) = \dfrac{K_2}{s+5}. (a) T(s) y el error de seguimiento final con R = 1/s, N = 0. (b) Y/N y el error final con N = 1/s, R = 0 (la salida deseada es cero). (c) ¿Cómo escoger K_1 y K_2 para seguir la entrada y a la vez rechazar el ruido?
8 Ahora tú
9 Ponte a prueba
10 La receta para el día del parcial
- Subraya qué señal piden: Y, lo que sale del sumador (E_a), el error de seguimiento (E = R - Y) o la de control (U).
- Mira H. Si H = 1, E_a = E = R/(1+G). Si no, son distintas.
- Función de transferencia de la señal pedida: el directo hasta esa señal, sobre 1 + GH.
- Error de verdad: E/R = 1 - T. Nunca 1/(1+GH) si H \ne 1.
- ¿Vas a usar la tabla de K_p, K_v, K_a? Primero G_{eq} = T/(1-T).
- Polos antes de cualquier límite. Valor final: s \to 0. Valor inicial: s \to \infty.
- Chequea: E_a = R - h\,y y e = r - y con tus propios números; u(0^+) = C\cdot r(0^+) si la planta no pasa nada instantáneo.
- Ruido en el sensor: Y/N = -L/(1+L); ganancia grande lo deja pasar.
1. «El sumador no siempre te dice el error»: con H=1 sí; con H\ne 1 lo que sale es R-HY.
2. «El final se mira en s=0; el arranque, en s=\infty.»
Responde las ocho preguntas para cerrar el taller.
Siguiente: respuesta transitoria →