← Volver Control · Parcial 1 · Taller 8
0 / 8
Taller 8 · Control

Ess y el tipo del sistema

Cuando todo se calma, ¿cuánto le falta a la salida para llegar a la referencia? La respuesta la decide cuántos integradores tiene el lazo y qué tan grande es su ganancia. Una tabla de nueve casillas, de las que solo hay que calcular tres.

⏱ 60 minutos
De dónde sale esto. Dorf & Bishop, Sistemas de Control Moderno 10.ª ed., secciones 4.5 (error en estado estable de un sistema realimentado) y 5.7 (error en estado estable y tipo del sistema). Problemas: preguntas 1, 5, 7 y 8 del Parcial 1 de 2025-I, el punto 1(d) del Parcial 1 de Mojica-Nava (30/09/2025) y los ejercicios E4.3, E4.4, E4.8 y P5.3 de la lista de preparación. Todos los números salieron de verif/v08.py.
🧑‍🏫 Así lo hace el profe
  1. E primeroE=\dfrac{R}{1+GH} sale de las ecuaciones del sumador y del bloque.
  2. Límitee_{ss}=\lim_{s\to0}sE(s); al final solo queda evaluar en s=0: e_{ss}=\dfrac{A}{1+G(0)H(0)} ante un escalón.
  3. EstableAntes del límite, Routh sobre \Delta(s). Ejemplo de clase: el vehículo de Marte pedía K=147 para el 2 %, pero solo es estable con K<32.
Verlo con tus apuntes de clase (taller 15) →
En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

En el Parcial 1 de 2025 cayó en los dos puntos: «(d) ¿Cuál es el error en estado estacionario?» y «(a) Encuentre el error en estado estacionario ante una perturbación…». En el de 2025-I fueron tres preguntas de diez: error en posición, controlador para un error de posición del 20 % y controlador para un error de velocidad del 5 %.

El error en estado estacionario e_{ss} es la brecha que queda al final entre lo que pediste y lo que obtuviste. El transitorio del taller 7 es el camino; esto es el destino.

Ruta para cualquier pregunta de E_{ss} (antes de la primera cuenta)
  1. ¿La realimentación es unitaria? Si no, primero el taller 6.
  2. ¿El lazo cerrado es estable? Si no lo es, no hay E_{ss} y se acabó.
  3. Cuenta las s del denominador de G(s)H(s): ese es el tipo.
  4. Mira la entrada. Tipo y entrada te dicen si el error es 0, \infty o un número; si es un número, calcula la constante (K_p, K_v o K_a).
Lo que te llevas

Primero la estabilidad, después el tipo, después un número. En ese orden, siempre.

2 El simulador: agrega integradores y mira la brecha

El controlador trae 0, 1 o 2 integradores (cada uno con su cero en −0,5, como un PI) y la planta tiene tres polos. Escoge cuántos integradores, qué entrada y cuánta ganancia. La tabla de abajo se va llenando con cada combinación que pruebas.

Integradores (tipo) 0
Ganancia K 10,0
Entrada
El lazo abierto

La tabla, llenándose

Qué significa cada símbolo
r,\ y
la referencia (lo que pides) y la salida (lo que obtienes) [las de la salida]
e
el error, r-y: la brecha [las de la salida]
u
la señal de control: lo que el controlador le manda a la planta [las del actuador]
C(s),\ G(s)
el controlador y la planta [salida ÷ entrada de cada bloque]
K
la ganancia del controlador [las de u ÷ las de e]
K_p,\ K_v,\ K_a
las constantes de error de posición, velocidad y aceleración (sección 6) [sin unidades, 1/s y 1/s²]
Qué tienes que notar

Con la rampa, pasa de 0 a 1 integrador: la brecha deja de crecer y se queda fija. Pasa a 2: se cierra. Ahora sube K con 2 integradores: más allá de K \approx30 el lazo se vuelve inestable y ya no hay error que calcular. Cada integrador arregla una entrada pero le quita margen a la ganancia.

3 El error, escrito en Laplace

Con realimentación unitaria el error de seguimiento es la salida del sumador: E(s) = R(s) - Y(s). Como Y = L\,E, con L(s) = G(s)H(s) el lazo abierto:

E = R - L\,E \;\Rightarrow\; E(s) = \frac{R(s)}{1 + L(s)} el error es la entrada «dividida» por uno más la vuelta completa
Qué significa cada símbolo
R(s),\ Y(s),\ E(s)
la referencia, la salida y el error, vistos en Laplace [las de cada señal, por s]
L(s)
el lazo abierto, G(s)H(s): la vuelta completa [sin unidades]
G,\ H
el camino directo (controlador y planta) y el sensor [salida ÷ entrada de cada bloque]
s
la variable de Laplace; s\to 0 mira el final de la respuesta [1/s]

Qué significa: si L es enorme donde importa, el error es pequeño. Y lo que importa al final es s \to 0 (frecuencias bajas, tiempos largos). Un integrador hace L(0) = \infty; por eso los integradores matan el error.

Esto vale con H = 1

Con un sensor H \ne 1 lo que sale del sumador es R - HY, no el error real R - Y, y toda la tabla de este taller deja de aplicar tal cual. Cómo se trata ese caso (E4.11 de Dorf: el sumador dice 0,3 y el error real es 0,7) está en el taller 6.

4 El teorema del valor final y su condición

No hace falta la respuesta completa en el tiempo para saber adónde llega:

e_{ss} = \lim_{t\to\infty} e(t) = \lim_{s\to 0} s\,E(s)
Qué significa cada símbolo
e_{ss}
el error en estado estacionario: lo que queda cuando todo se calma (ss = steady state) [las de la salida]
e(t)
el error en el tiempo, r(t)-y(t) [las de la salida]
E(s)
el mismo error visto en Laplace [las de e, por s]
t
el tiempo [s]
Solo si s\,E(s) no tiene polos en el semiplano derecho ni sobre el eje imaginario

Si la condición no se cumple, e(t) no tiene límite (crece u oscila) y la fórmula igual te devuelve un número que parece razonable y es mentira. Pregunta 5 de 2025-I: G_o = 9/(s^2+9), polos en \pm j3. Aplicado a ciegas, \lim_{s\to 0} s\cdot\tfrac{1}{s}\cdot\tfrac{9}{s^2+9} = 1. Pero la salida es y(t) = 1 - \cos 3t: oscila entre 0 y 2 para siempre. La respuesta correcta era «ninguna de las anteriores»: no hay valor final.

La línea punteada es lo que «da» el teorema aplicado sin revisar los polos. La curva nunca se queda ahí.

Chequeo que siempre funciona Antes de tomar el límite, saca las raíces del denominador de 1 + L(s) (el del lazo cerrado). Todas con parte real negativa: adelante. Una sola en cero, en el eje imaginario o a la derecha: escribe «no existe estado estacionario» y explica por qué. Con un polinomio de grado 3 o más, el criterio de Routh-Hurwitz te lo dice sin sacar raíces.

5 El tipo: cuántos integradores hay en el lazo

Escribe el lazo abierto con los factores a la vista:

G(s)H(s) = \frac{K\,(s + z_1)(s + z_2)\cdots}{s^{\,N}\,(s + p_1)(s + p_2)\cdots} N = número de polos en s = 0 = tipo del sistema
Qué significa cada símbolo
K
la ganancia del lazo, con los factores escritos así [depende del tipo]
z_1,\ z_2,\dots
los ceros del lazo abierto están en s=-z_i [1/s]
p_1,\ p_2,\dots
los polos que no están en el origen: s=-p_i [1/s]
N
el tipo: cuántos integradores (polos en s=0) tiene el lazo [sin unidades, es un conteo]
Mnemotecnia «Cuenta las eses del sótano.» El tipo es cuántas s sueltas hay en el denominador de G(s)H(s): cuántos polos quedan en s = 0. Cada s en el sótano es un integrador. Se comprueba con la válvula del parcial: G = 50/[s\,(0{,}006s + 0{,}0706)] tiene una: tipo 1, y por eso su error ante el escalón fue 0.
Dos formas de contar mal

1. Contar en T(s) en vez de en G(s)H(s). El lazo cerrado de la válvula, 50/(0{,}006s^2 + 0{,}0706s + 50), no tiene ninguna s suelta, y sin embargo el sistema es tipo 1.

2. No simplificar. En s\,(s+1)/[s^3(s+2)] hay tres eses abajo pero una arriba se cancela: quedan dos, tipo 2. Lo seguro es contar las raíces en cero de numerador y denominador después de simplificar.

6 Kp, Kv, Ka y la tabla de nueve casillas

Mete cada entrada de prueba en e_{ss} = \lim s\,R(s)/(1+L(s)):

Escalón A/sRampa A/s^2Parábola A/s^3
Tipo 0\frac{A}{1+K_p}\infty\infty
Tipo 10\frac{A}{K_v}\infty
Tipo 200\frac{A}{K_a}

K_p = \lim_{s\to0} GH · K_v = \lim_{s\to0} s\,GH · K_a = \lim_{s\to0} s^2\,GH. Realimentación unitaria y lazo cerrado estable.

Qué significa cada símbolo
A
el tamaño de la entrada: altura del escalón, pendiente de la rampa o aceleración de la parábola A\,t^2/2 [las de la salida, ÷ s en la rampa y ÷ s² en la parábola]
K_p
constante de error de posición [sin unidades]
K_v
constante de error de velocidad [1/s]
K_a
constante de error de aceleración [1/s²]
e_{ss}
el error final que queda en cada casilla [las de la salida]
Mnemotecnia «Ceros abajo, infinitos arriba, el número en la diagonal.» Tipos bajando, entradas hacia la derecha. Debajo de la diagonal todo es 0, encima todo es \infty, y en la diagonal está el único número que hay que calcular. No hay que memorizar nueve casillas: hay que memorizar una diagonal. Compruébalo con el botón «Llenar toda la tabla» del simulador.
Mnemotecnia «Cada integrador te sube un escalón.» Tipo 0 aguanta el escalón con error. Tipo 1 se come el escalón (error 0) y aguanta la rampa con error. Tipo 2 se come la rampa y aguanta la parábola. Un integrador más, un peldaño más. Se comprueba en la tabla: bajar una fila corre el número una columna a la derecha.
El peldaño no es gratis

Cada integrador hace que el lazo reaccione más tarde (integra antes de actuar), y eso puede volverlo inestable. En el taller de diseño del curso (Design criteria 2) se probó C = 1/s^2 con G = 2{,}5/(0{,}9s+1) para tener error de velocidad cero. La ecuación característica queda 0{,}9s^3 + s^2 + 2{,}5 = 0: le falta el término en s, así que tiene raíces a la derecha (0{,}39 \pm j1{,}15) y el error de la simulación se disparó. Con C = (s^2+3s+1)/s^2 los ceros le devuelven la estabilidad y el error sí se va a cero. En el simulador pasa lo mismo: con 2 integradores, K \gt30{,}15 ya es inestable.

7 Cómo lo escriben en los parciales

La solución oficial de 2025-I no usa K_p ni K_v: trabaja directo con el lazo cerrado G_o(s) = T(s). Es lo mismo, dicho de otra forma.

Error de posición: e_p\% = |1 - T(0)|\cdot 100

Con realimentación unitaria, E/R = 1 - T. Con un escalón unitario, e_{ss} = \lim s\cdot\tfrac{1}{s}(1-T) = 1 - T(0). En porcentaje:

\begin{gathered}e_p\% = |1 - T(0)|\cdot 100 \\[4pt] \text{y para tipo 0:}\quad 1 - T(0) = \frac{1}{1+K_p}\end{gathered}

Error de velocidad: e_v = |T'(0)|

Con una rampa unitaria, e_{ss} = \lim_{s\to 0} (1 - T(s))/s. Si T(0) = 1 es un cociente 0/0 y, por L'Hôpital, vale -T'(0):

\begin{gathered}e_v = |T'(0)| = \frac{1}{K_v} \\[4pt] (\text{sistemas tipo 1 o más})\end{gathered} la solución de 2025-I lo escribe como |G_o'(0)|
Qué significa cada símbolo
T(s)
la función de transferencia de lazo cerrado, Y/R (el parcial la llama G_o) [sin unidades]
T(0)
la ganancia DC: a qué fracción de la referencia llega la salida [sin unidades]
e_p\%
el error de posición (ante un escalón), en porcentaje de la referencia [%]
T'(0)
la derivada de T respecto a s, evaluada en cero [s]
e_v
el error de velocidad: la brecha final ante una rampa de pendiente 1 [las de la salida]
Los dos caminos tienen que coincidir Pregunta 1 de 2025-I: T = 5/(s+8) da |1 - 5/8| = 37{,}5\ \%, y con la tabla K_p = 5/3, 1/(1 + 5/3) = 3/8 = 37{,}5\ \% ✓.

8 Problemas de parciales y del libro, resueltos

Parcial 1 de 2025-I

Esquema de todas las preguntas: r \to e \to C(s) \to u \to (+d) \to G(s) \to y, realimentación unitaria.

Dorf E4.4: el disco duro

Dorf E4.3: el recolector de fruta

Dorf P5.3: el láser que marca una línea

Dorf E4.8: tracción en las cuatro ruedas, respuesta a A/s

y(t)/A del E4.8. La cola lenta es el polo en −0,78; el polo en −19,2 se apaga en unas décimas de segundo.

9 Ahora tú

Tres ejercicios. Intenta cada uno antes de abrir la primera pista.

10 Ponte a prueba

11 La receta para el día del parcial

  1. ¿H = 1? Si no, lleva el diagrama a realimentación unitaria o usa el error real (taller 6).
  2. Escribe el denominador del lazo cerrado y revisa estabilidad (raíces o Routh). Inestable o marginal: no hay E_{ss}. Escríbelo así.
  3. Cuenta las eses del sótano de G(s)H(s), simplificado: ese es el tipo.
  4. Ubica la casilla: fila del tipo, columna de la entrada. Abajo de la diagonal 0, arriba \infty.
  5. En la diagonal: A/(1+K_p), A/K_v o A/K_a, con la constante evaluada en s \to 0.
  6. Si te piden diseñar (C para un error dado), despeja la constante y vuelve al paso 2 con el valor que salió.
  7. Si el enunciado habla de «e_p\%» o «e_v», usa |1 - T(0)| y |T'(0)|: dan lo mismo.
Si solo te llevas tres frases

1. «Cuenta las eses del sótano.»

2. «Ceros abajo, infinitos arriba, el número en la diagonal.»

3. «Cada integrador te sube un escalón.»

Responde las ocho preguntas para cerrar el taller.

Siguiente: perturbaciones →

← Volver a Control