Taller 7 · Control

Respuesta en el tiempo: primer y segundo orden

Dónde están los polos decide cómo se mueve la salida: cuánto se pasa, cuándo llega al pico y cuándo se queda quieta. Aquí se ve primero en el plano s y después se deduce cada fórmula, hasta resolver completo el punto que valía el 40 % del parcial pasado.

⏱ 70 minutos

De dónde sale esto. Dorf & Bishop, Sistemas de Control Moderno 10.ª ed., secciones 4.3 (respuesta transitoria), 5.2 (señales de prueba), 5.3 (segundo orden), 5.4 (efecto de un tercer polo y de un cero), 5.5 (estimación de \zeta) y 5.6 (el plano s). Problemas: punto 1 del Parcial 1 de Mojica-Nava (30/09/2025), preguntas 4, 5, 6 y 9 del Parcial 1 de 2025-I y los ejercicios E5.4 y E5.7 de la lista de preparación. Todos los números salieron de verif/v07.py.

🧑‍🏫 Así lo hace el profe

ComparaPone T(s) encima de \dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2} y empareja: \omega_n=\sqrt{\text{término independiente}}, \zeta\omega_n=\tfrac12(\text{coef. de }s).
FórmulasT_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}, \%PO=100e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}, T_s=\dfrac{4}{\zeta\omega_n}.
Ojo0<\zeta<1 es subamortiguado (oscila); \zeta>1 es sobreamortiguado. Y revisa T(0): si el numerador no es \omega_n^2, el valor final no es 1.

Verlo con tus apuntes de clase (taller 15) →

En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

El punto 1(c) del parcial de 2025 decía: «una señal constante (step) V_i = 10\ \text{V} fue aplicada… Estime el tiempo de asentamiento t_s [seg] y el sobrepaso máximo [%]». Y el Parcial 1 de 2025-I tuvo cuatro preguntas (40 % de la nota) sobre lo mismo: \omega_d, valor final, t_s y dibujar la respuesta. Este taller es el que más puntos da por minuto estudiado.

Todo sale de la función de transferencia en lazo cerrado T(s). Si todavía no te sale cerrar el lazo, vuelve primero al taller 5: aquí se da por hecho que ya tienes T(s) y solo se lee.

Ruta para cualquier pregunta de transitorio (antes de la primera cuenta)

Cierra el lazo y escribe T(s). Mira solo el denominador.
Divide todo por el coeficiente de s^2 para que quede s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2.
Saca \omega_n (raíz del término sin s) y después \sigma = \zeta\omega_n (mitad del término del medio).
Mira si hay un cero o un tercer polo cerca. Si no, usa las fórmulas; si sí, dilo y simula o corrige.

Lo que te llevas

Las preguntas de transitorio son preguntas sobre dónde quedaron los polos del lazo cerrado. No sobre la planta sola.

2 El simulador: mueve los polos, mira la respuesta

A la izquierda, los dos polos en el plano s. A la derecha, la salida cuando entra un escalón unitario. Arrastra el polo de arriba con el dedo o mueve los deslizadores. Las cotas de la derecha se miden sobre la curva simulada, no salen de fórmulas.

Plano s

Respuesta al escalón unitario

Los × son polos y el ○ es un cero; el × de arriba, dentro del círculo punteado, se arrastra. La franja verde es la banda del ±2 % alrededor del valor final.

\zeta 0,50

\omega_n\ [\text{rad/s}] 2,0

Sistema

La función de transferencia

Polos

Fórmula contra simulación

Qué significa cada símbolo

\zeta: coeficiente de amortiguamiento: cuánto se frena la oscilación [sin unidades]
\omega_n: frecuencia natural: la distancia de cada polo al origen [rad/s]
\sigma: la parte real del polo sin el signo, \zeta\omega_n: qué tan rápido se apaga [1/s]
\omega_d: la parte imaginaria del polo: la frecuencia con la que oscila [rad/s]
\theta: el ángulo del polo, medido desde el eje real negativo [grados]
m: cuántas veces \sigma está de lejos el cero o el tercer polo [sin unidades]
\%PO: sobreimpulso: cuánto se pasa la salida del valor final [% del valor final]
t_p: tiempo pico: cuándo llega al máximo [s]
t_s: tiempo de establecimiento: desde cuándo se queda dentro de la banda del ±2 % [s]

Qué tienes que notar

Arrastra el polo en vertical (\sigma fijo): cambia la oscilación pero la cota de t_s casi no se mueve. Arrástralo a lo largo de la línea de \zeta (ángulo fijo): la curva se estira o se encoge en el tiempo, pero el sobreimpulso no cambia. Después agrega un cero y acércalo (m pequeño): el sobreimpulso sube aunque los dos polos no se movieron.

Segunda vista: tres entradas, el mismo sistema

Los mismos \zeta y \omega_n de arriba, pero ahora miramos el final, no el arranque. Este sistema es el lazo cerrado de L(s) = \omega_n^2/[s\,(s + 2\zeta\omega_n)] con realimentación unitaria. Escoge la entrada y mira cuánto queda separada la salida de la referencia cuando todo se calma.

Entrada

Solo míralo; el cálculo es del taller 8

Con el escalón la brecha se cierra, con la rampa queda una brecha fija y con la parábola se abre sin parar. Cuánto vale esa brecha y por qué depende de los integradores del lazo es exactamente el taller 8.

3 Primer orden: un solo polo, un solo número

Un sistema de primer orden tiene un polo real en s = -1/\tau:

\begin{gathered}T(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \\[4pt] \xrightarrow{\ \text{escalón } A\ }\quad y(t) = K A\,\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr)\end{gathered} K es la ganancia DC (el valor final por unidad de entrada) y \tau la constante de tiempo, en segundos

Qué significa cada símbolo

T(s): la función de transferencia: salida entre entrada, en Laplace [las de la salida ÷ las de la entrada]
K: la ganancia DC: el valor final por cada unidad de entrada [las de la salida ÷ las de la entrada]
\tau: la constante de tiempo [s]
A: el tamaño del escalón que entra [las de la entrada]
y(t): la salida en el tiempo [las de la salida]
t: el tiempo, contado desde que entra el escalón [s]
s: la variable de Laplace; el polo es el valor de s que anula el denominador [1/s]

Respuesta de 1/(\tau s + 1) con el tiempo medido en constantes de tiempo. Vale para cualquier \tau.

Tres lecturas que salen de la curva, sin cuentas:

En t = \tau va en el 63,2 % del camino (1 - e^{-1} = 0{,}632).
En t = 4\tau va en el 98,2 %: ya está dentro de la banda del 2 %. Por eso t_s = 4\tau.
Nunca se pasa: un polo real no oscila. Sobreimpulso cero, siempre.

Esto ya lo viste como «cuatro tau y listo» en el taller 2. Lo nuevo es la conexión con el plano s: 1/\tau es la distancia del polo al eje imaginario. Esa misma distancia, en segundo orden, se va a llamar \sigma y va a hacer el mismo trabajo.

Chequeo con el taller 2 Con T = 5/(2s+1): \tau= 2\ \text{s}, valor final 5 y en t = 2\ \text{s} la salida vale 5\cdot 0{,}632 = 3{,}16. Si te da 3,16 en t = 1\ \text{s}, confundiste \tau con el polo (el polo está en -0{,}5, y \tau es su inverso).

4 Segundo orden: la forma estándar

Casi todos los sistemas del parcial, una vez cerrado el lazo, quedan así:

T(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n\,s + \omega_n^2} \omega_n frecuencia natural [rad/s] · \zeta coeficiente de amortiguamiento [sin unidades]

Con la fórmula de la cuadrática, los polos son

s = -\underbrace{\zeta\omega_n}_{\sigma} \;\pm\; j\,\underbrace{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}_{\omega_d} \sigma: qué tan rápido se apaga · \omega_d: a qué frecuencia oscila mientras se apaga

Qué significa cada símbolo

T(s): la función de transferencia de lazo cerrado, con ganancia DC 1 [sin unidades]
\omega_n: frecuencia natural [rad/s]
\zeta: coeficiente de amortiguamiento [sin unidades]
\sigma: la parte real del polo sin el signo, \zeta\omega_n [1/s]
\omega_d: frecuencia amortiguada: la parte imaginaria del polo [rad/s]
j: la unidad imaginaria, j^2=-1 [sin unidades]
s: la variable de Laplace [1/s]

El signo menos de -\sigma es lo que hace estable al sistema: el polo está a la izquierda del eje imaginario, así que su pedazo de respuesta e^{-\sigma t} se apaga. Según \zeta hay cuatro comportamientos:

\zeta= 0Sin amortiguamiento Polos en \pm j\omega_n, sobre el eje imaginario. Oscila para siempre y no tiene valor final. Es la pregunta 5 de 2025-I.

0 \lt\zeta\lt1Subamortiguado Par complejo. Se pasa, oscila y se calma. Es el único caso donde valen las fórmulas de \%PO, t_p y t_s.

\zeta= 1Crítico Un polo doble real en -\omega_n. Lo más rápido que se puede llegar sin pasarse.

\zeta\gt1Sobreamortiguado Dos polos reales distintos. No se pasa y el polo más cercano al origen lo vuelve lento. Pruébalo en el simulador con \zeta= 1{,}5.

El error de este paso

Sacar \omega_n sin dividir antes por el coeficiente de s^2. En el parcial de 2025 el denominador era 0{,}006\,s^2 + 0{,}0706\,s + 50. Si tomas \omega_n = \sqrt{50} = 7{,}07 te equivocas por un factor de 13: lo correcto es \sqrt{50/0{,}006} = 91{,}29 rad/s.

5 De dónde sale cada fórmula

Los polos del E5.4 de Dorf: -3 \pm j2{,}65.

\omega_n es la distancia del polo al origen

El polo, su pie sobre el eje real y el origen forman un triángulo rectángulo. Por Pitágoras:

\sigma^2 + \omega_d^2 = \zeta^2\omega_n^2 + \omega_n^2(1-\zeta^2) = \omega_n^2

Así que la hipotenusa es \omega_n. Todos los polos con el mismo \omega_n están sobre un círculo centrado en el origen.

\zeta es el coseno del ángulo

Mide el ángulo \theta desde el eje real negativo hasta la línea que va al polo. El lado pegado al ángulo es \sigma y la hipotenusa es \omega_n:

\cos\theta = \frac{\sigma}{\omega_n} = \frac{\zeta\omega_n}{\omega_n} = \zeta

Mnemotecnia «\zeta es el coseno del ángulo del polo.» Se comprueba con el E5.4: \theta = \arctan(2{,}65/3) = 41{,}4^\circ y \cos 41{,}4^\circ = 0{,}75 = 3/4 = \sigma/\omega_n ✓. Polo pegado al eje real: \theta\approx0, \zeta\approx1, no oscila. Polo pegado al eje imaginario: \theta\approx90^\circ, \zeta\approx0, oscila mucho.

t_s: la envolvente que se apaga

La respuesta subamortiguada al escalón es

y(t) = 1 - \frac{e^{-\sigma t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\,\sin(\omega_d t + \theta)

El seno oscila entre −1 y 1; lo que decide cuándo se calma es la envolvente e^{-\sigma t}. Para quedar dentro del 2 %:

\begin{gathered}e^{-\sigma t_s} = 0{,}02 \;\Rightarrow\; t_s = \frac{\ln 50}{\sigma} = \frac{3{,}9}{\sigma} \\[4pt] t_s \approx \frac{4}{\sigma} = \frac{4}{\zeta\omega_n}\end{gathered} criterio del 2 %, el que usa Dorf y el que usó Mojica

Es el mismo «4\tau» del primer orden, con \tau = 1/\sigma. Si el criterio fuera del 1 %: \ln 100 = 4{,}6, y sale t_s \approx 4{,}6/\sigma. De ahí el 4{,}5/\sigma que usó el profesor de 2025-I (sección 7).

t_p: medio periodo de la oscilación

El pico es el primer máximo, así que se deriva y(t) y se iguala a cero. Al derivar (regla del producto, y usando \cos\theta = \zeta) los dos términos se juntan en uno solo:

\frac{dy}{dt} = \frac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}\,e^{-\sigma t}\,\sin(\omega_d t)

La exponencial nunca vale cero, así que la derivada se anula cuando \sin(\omega_d t) = 0. En t = 0 es el arranque; la primera vez después de eso es \omega_d t = \pi:

t_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}

\%PO: la envolvente evaluada en el pico

Se reemplaza t = t_p en y(t). Como \omega_d t_p = \pi, el seno queda \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta, y del triángulo \sin\theta = \omega_d/\omega_n = \sqrt{1-\zeta^2}, que se cancela con el denominador:

\begin{gathered}y(t_p) = 1 - \frac{e^{-\sigma t_p}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\,\bigl(-\sqrt{1-\zeta^2}\bigr) \\[4pt] = 1 + e^{-\sigma t_p}\end{gathered}

Lo que se pasa de 1 es el sobreimpulso. Con t_p = \pi/\omega_d:

\begin{gathered}\%PO = 100\,e^{-\sigma\pi/\omega_d} \\[4pt] = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\end{gathered} depende solo de \zeta, es decir, solo del ángulo \theta

Qué significa cada símbolo

y(t): la salida ante un escalón unitario [las de la salida]
\theta: el ángulo del polo desde el eje real negativo, con \cos\theta=\zeta [rad dentro del seno]
t_s: tiempo de establecimiento, criterio del 2 % [s]
t_p: tiempo pico [s]
\%PO: sobreimpulso [% del valor final]
\sigma,\ \omega_d: la parte real (sin signo) y la parte imaginaria del polo [1/s y rad/s]

Al revés: te dan el \%PO y piden \zeta

Pasa en diseño («que no se pase más del 7 %»). Llama L = \ln(\%PO/100), que es un número negativo. De la fórmula de arriba, L = -\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}. Eleva al cuadrado, pasa la raíz a multiplicar y junta los \zeta^2:

\begin{gathered}L^2\,(1-\zeta^2) = \pi^2\zeta^2 \\[4pt] \Rightarrow\; \zeta = \frac{-L}{\sqrt{\pi^2 + L^2}}\end{gathered}

Con 7 %: L = \ln 0{,}07 = -2{,}659 y \zeta = 2{,}659/\sqrt{9{,}870 + 7{,}072} = 2{,}659/4{,}116 = 0{,}646. Con 10 % sale \zeta = 0{,}591. Los dos números se usan más abajo.

Mnemotecnia «t_s lo manda la parte real; la oscilación, la imaginaria.» t_s = 4/\sigma no tiene \omega_d, y t_p = \pi/\omega_d no tiene \sigma. Compruébalo en el simulador: arrastra el polo en vertical y mira que t_s se queda casi quieto mientras el pico se corre.

Chequeo sin repetir la cuenta Mismo ángulo, mismo \%PO; mismo \sigma, mismo t_s. Si dos respuestas tuyas tienen los polos en la misma recta desde el origen y te dan sobreimpulsos distintos, una está mal.

6 Polos dominantes: cuándo valen las fórmulas

Las fórmulas son exactas para dos polos y nada más, con 0 < \zeta < 1. Si T(s) tiene un cero o un tercer polo, las fórmulas siguen sirviendo solo si esos elementos están lejos de los dos polos principales. A esos dos se les llama polos dominantes: los que están más cerca del eje imaginario, porque su pedazo de respuesta es el que más tarda en apagarse.

Para ver cuánto es «lejos», se tomó \zeta = 0{,}5, \omega_n = 1 (\sigma= 0{,}5) y se agregó un polo o un cero en -m\,\sigma, dejando la ganancia DC en 1:

m	3.^er polo: \%PO	3.^er polo: t_s	cero: \%PO	cero: t_s
sin nada	16,3 % · 8,08 s		16,3 % · 8,08 s
1	0 %	9,14 s	69,9 %	7,38 s
2	8,1 %	6,64 s	29,8 %	7,51 s
5	14,8 %	8,38 s	18,0 %	7,74 s
10	15,9 %	8,26 s	16,7 %	7,89 s

Valores simulados (criterio del 2 %). La fórmula da 16,3 % y 4/\sigma= 8\ \text{s}.

Dos lecciones de la tabla:

Un cero cerca aumenta el sobreimpulso (le mete un empujón de derivada a la entrada).
Un polo cerca lo reduce y frena la subida (es un filtro más en la cadena). Con m = 1 el polo real está tan cerca como \sigma y la respuesta ni siquiera se pasa.

La regla de Dorf (sección 5.4)

Un tercer polo se puede despreciar si su parte real es al menos 10 veces \zeta\omega_n. Con 5 veces la tabla muestra que el error en \%PO ya es de 1,5 puntos. Un cero hay que mirarlo con más cuidado: con m = 2{,}67 (el E5.4) mueve el \%PO de 2,84 % a 3,48 %.

El error de este paso

Leer \zeta y \omega_n del denominador y aplicar la fórmula sin mirar el numerador. En el E5.4, T = (2s+16)/(s^2+6s+16): el denominador da \zeta= 0{,}75 y la fórmula 2,84 %, pero el cero en −8 sube el sobreimpulso real a 3,48 %. Si el enunciado pide «el sobreimpulso», la respuesta honesta es 3,48 % y hay que decir por qué.

Lo que te llevas

Antes de usar una fórmula de segundo orden, mira el numerador y los otros polos. Si están a más de 10\sigma, adelante. Si no, di que es una aproximación.

7 Problemas de parciales y del libro, resueltos

Parcial 1 de 2025, punto 1 (40 %): la válvula con motor

Enunciado

El modelo que relaciona el ángulo de la válvula \theta(t) [rad] con el voltaje del motor v_i(t) [V] es

\frac{K_mK_a}{R}\,v_i - \frac{K_mK_b}{R}\,\frac{d\theta}{dt} = J\,\frac{d^2\theta}{dt^2}

con K_m = 10, K_a = 50, K_b = 0{,}0706, J = 0{,}006, R = 10. (a) Función de transferencia en lazo abierto. (b) Con realimentación unitaria: función en lazo cerrado, \omega_n y \zeta. (c) Con un escalón de 10 V: t_s y sobreimpulso. (d) Error en estado estacionario.

Qué significa cada símbolo

\theta(t): ángulo de la válvula: la salida (aquí \theta no es el ángulo del polo) [rad]
v_i(t): voltaje que se le aplica al motor: la entrada [V]
K_m: constante de par del motor [N·m/A]
K_a: ganancia del amplificador [sin unidades (V/V)]
K_b: constante de fuerza contraelectromotriz [V·s/rad]
J: momento de inercia de lo que gira [kg·m²]
R: resistencia del motor [Ω]

Simulación del lazo cerrado con 10 V. Pico de 18,16 rad en 0,0345 s; dentro del 2 % desde 0,66 s.

El t_s= 23{,}37\ \text{s} de la hoja resuelta que circula

En esa hoja se lee: «\tau= \zeta\omega_n= 0{,}064\cdot91{,}29 = 5{,}84» y después «t_s= 4\tau= 23{,}37». El error está en la primera igualdad: \zeta\omega_n no es \tau, es \sigma= 1/\tau. La constante de tiempo es \tau = 1/5{,}88 = 0{,}17 s, y t_s = 4\tau = 4/\sigma = 0{,}68 s. Multiplicó en vez de dividir.

Cómo atraparlo sin repetir la cuenta: por unidades, \zeta\omega_n está en rad/s, así que 4\zeta\omega_n tiene unidades de 1/s, no de segundos. Y por orden de magnitud: la válvula oscila con periodo 2\pi/\omega_d = 69 ms. En 23,37 s cabrían 339 oscilaciones; la envolvente e^{-5{,}88\,t} ya vale 1,8 % a los 0,68 s, o sea, unas 10 oscilaciones. La hoja tenía bien el sobreimpulso (81,75 % con \zeta redondeado a 0,064; 81,6 % con 0,0644).

Parcial 1 de 2025-I, preguntas 4, 5, 6 y 9

Las cuatro usan G_o(s) = k\omega_n^2/(s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2) = N(s)/D(s) con k = 1.

Dorf E5.4: cuando el cero sí importa

Dorf E5.7: control de insulina con \%PO = 7\ \%

8 Ahora tú

Tres ejercicios. Intenta cada uno antes de abrir la primera pista.

9 Ponte a prueba

10 La receta para el día del parcial

Cierra el lazo. Escribe T(s) y mira el denominador.
Divide por el coeficiente de s^2. Ahora sí: \omega_n = \sqrt{\text{término sin } s} y \sigma = \zeta\omega_n = \tfrac{1}{2}(\text{término en } s).
Si \zeta \ge 1: no hay sobreimpulso ni pico. Si \zeta= 0 o hay polos en el eje imaginario: no hay valor final.
t_s = 4/\sigma (2 %) · t_p = \pi/\omega_d · \%PO = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}. Escribe qué criterio usaste.
Mira el numerador y los otros polos. Si hay algo a menos de 10\sigma, dilo: la fórmula es una aproximación.
Chequea unidades (t_s en segundos, no en 1/s) y orden de magnitud: t_s son unas pocas veces 1/\sigma, no cientos.
La amplitud del escalón no cambia t_s, t_p ni \%PO: solo escala la curva.

Si solo te llevas dos frases

1. «\zeta es el coseno del ángulo del polo.»

2. «t_s lo manda la parte real; la oscilación, la imaginaria.»

Responde las ocho preguntas para cerrar el taller.

Siguiente: Ess y el tipo del sistema →

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