Perturbaciones: dos entradas, dos problemas
Cuando al lazo le entra algo que nadie pidió (agua que sale, viento, nubes), el sistema tiene dos entradas. Se resuelve como dos problemas separados que al final se suman. Y la pregunta que siempre cae: cuánto error deja la perturbación y qué ganancia hay que subir para aplastarlo.
⏱ 70 minutos- ApagaR=0 y escribe la ecuación del sumador donde entra D, con su signo.
- DespejaE en función de D y e_{ss}=\lim sE; atajo: evalúa G(0), H(0).
- Sumay_{ss}=y_{ss}\big|_{R=0}+y_{ss}\big|_{D=0}. Si D entra en el sensor, ninguna ganancia la corrige.
1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
En el parcial del año pasado, el punto que más pesaba era un tanque: tú pides un nivel r, un controlador abre la válvula de entrada, y por abajo alguien saca agua (q_s) sin avisar. La pregunta (a) era «¿cuánto error queda?». Quien no separa las dos entradas no sabe ni por dónde empezar.
Úsalo cada vez que el diagrama tenga una flecha que entra desde afuera en medio del lazo, además de la referencia. Suele llamarse D(s), T_d(s), d(t) o, como en el parcial, un caudal. Si el enunciado dice «perturbación», «ruido de carga», «par de carga» o «ráfaga», es esto.
- Cuenta las entradas. La referencia y cada perturbación. Si hay dos, son dos problemas.
- Apaga la perturbación (ponla en cero) y saca Y/R, como siempre.
- Apaga la referencia y saca Y/D: arriba lo que hay entre D y la salida, con el signo de su flecha; abajo, el mismo 1 + L de siempre.
- Revisa los polos y solo entonces usa el valor final en cada pedazo. Suma.
2 El simulador: el tanque del parcial con sus dos entradas
Pides un nivel de 1 m (escalón) y al mismo tiempo sale un caudal fijo q_s = 0{,}1\ \text{m}^3/\text{s}. Mueve B (la ganancia del controlador) y mira las tres curvas: lo que haría el tanque solo con la referencia, lo que haría solo con la perturbación, y la suma, que es lo que de verdad pasa.
desliza el diagrama →
La segunda gráfica es una lupa del último tramo: la brecha es de centímetros o milímetros y en la gráfica grande casi no se ve, así que aquí está ampliada con su cota.
- r
- el nivel que pides (la referencia) [m]
- h
- el nivel real del tanque (la salida) [m]
- e
- el error, r-h: lo que le falta al nivel [m]
- q_e
- el caudal de entrada: lo que manda el controlador [m³/s]
- q_s
- el caudal que sale sin avisar: la perturbación [m³/s]
- B
- la ganancia del controlador K(s)=B/(s+10), el número que ajustas [m²/s²]
- A
- el área de la base del tanque, 0{,}78 en el parcial [m²]
- t_s
- el tiempo de asentamiento: desde cuándo la respuesta ya no se sale de la banda del 2 % [s]
Con D a la entrada del tanque, la curva roja se queda abajo en -1/B y arrastra la verde: subir B achica la brecha pero dispara el sobreimpulso. Pásala a la salida y la brecha desaparece para cualquier B. Y fíjate en los polos: son los mismos para las dos entradas y para los dos puntos de entrada.
3 Superposición: apaga una, resuelve, apaga la otra
El sistema es lineal: todos sus bloques multiplican y todos sus círculos suman. Eso garantiza una cosa muy útil: la respuesta a dos entradas juntas es la suma de las respuestas a cada una por separado. Por eso puedes partir el problema en dos.
desliza el diagrama →
- H(s)
- el nivel visto en Laplace [m·s]
- R(s)
- la referencia en Laplace [m·s]
- Q_s(s)
- el caudal de salida (la perturbación) en Laplace [m³]
- H/R
- la función de transferencia de la referencia al nivel, con q_s=0 [sin unidades]
- H/Q_s
- la de la perturbación al nivel, con r=0 [s/m²]
«Apagar» q_s borrando también el segundo círculo o el bloque del tanque. El círculo se queda (ahora suma q_e - 0) y el tanque se queda. Si borras el tanque, el problema 1 da H/R = K/(1+K), que con B = 39 vale 0{,}796 en DC en vez de 1: le quitaste el integrador que hace que el nivel llegue.
Dos entradas son dos problemas del mismo tamaño que ya sabes resolver. Nunca uno más difícil.
4 La función de la perturbación sale distinta, y depende de dónde entra D
Para sacar Y/D se usa la misma regla del lazo del taller 3, «directo sobre uno más la vuelta completa», pero ahora el «directo» es el camino desde donde entra D hasta la salida, no desde R. La vuelta completa no cambia: es el mismo lazo.
desliza el diagrama →
| Dónde entra D | Camino de D a Y | Y/D | Con el tanque |
|---|---|---|---|
| Entrada de la planta (entre C y P) | P | \dfrac{P}{1 + CP} | \dfrac{-(s+10)}{0{,}78s^2+7{,}8s+B} |
| Salida (sumada a Y) | 1 | \dfrac{1}{1 + CP} | \dfrac{-0{,}78\,s(s+10)}{0{,}78s^2+7{,}8s+B} |
| Referencia (para comparar) | C\,P | \dfrac{CP}{1 + CP} | \dfrac{B}{0{,}78s^2+7{,}8s+B} |
- C
- el controlador: todo lo que hay entre el error y el punto donde entra la perturbación [las del actuador ÷ las del error]
- P
- la planta: lo que hay después, hasta la salida [las de la salida ÷ las del actuador]
- D
- la perturbación: una entrada que nadie pidió [depende de dónde entra]
- Y,\ R
- la salida y la referencia [las de la salida]
- L = C\,P
- la vuelta completa del lazo (aquí el sensor vale 1) [sin unidades]
El signo con el que entra
En el parcial q_s llega al círculo con −, porque el agua que sale le resta a la que entra. Ese menos pasa entero a la función de transferencia: H/Q_s = -(s+10)/(\dots). Qué significa: más caudal de salida, menos nivel. Con + (una manguera que echa agua) sería la misma fracción con signo positivo y el nivel quedaría por encima. El tamaño de la brecha es el mismo; cambia el lado.
Copiar la Y/D «de memoria» como G/(1+GH) con signo + cuando en el dibujo D entra con −. En el tanque con B = 39 eso dice que el nivel termina en 1 + 1/39 = 1{,}026\ \text{m} cuando de verdad termina en 1 - 1/39 = 0{,}974\ \text{m}. Mueve el botón de signo del simulador y mira cómo la roja cambia de lado.
Arriba cambia (el camino desde D, con su signo); abajo no (el lazo). Por eso los polos son los mismos.
5 El error ante la perturbación: el mismo valor final de siempre
Con la referencia apagada (r = 0) el nivel ideal es cero, así que todo lo que la perturbación mueve la salida es error: E = R - Y = -Y. El valor final se usa igual que en el taller 8:
- e_{ss,D}
- el error que deja la perturbación cuando todo se calma (ss = steady state) [las de la salida]
- E_D(s)
- ese mismo error en Laplace, con la referencia apagada [las de la salida, por s]
- D(s)
- la perturbación en Laplace; si es un escalón de tamaño d_0, D(s)=d_0/s [las de la perturbación, por s]
- s
- la variable de Laplace; s\to 0 mira el final de la respuesta [1/s]
El teorema solo vale si el lazo es estable. Aquí el denominador es 0{,}78s^2 + 7{,}8s + B: con los tres coeficientes positivos (o sea, B > 0) las dos raíces tienen parte real negativa, y se puede usar. Si alguien pone B = -5, la fórmula sigue escupiendo 1/B = -0{,}2, pero el tanque se desborda o se vacía: el número es mentira.
6 Dónde poner la ganancia para aplastar la perturbación
Toma el esquema de los parciales: r \to C \to (+d) \to P \to y con realimentación unitaria. Con r = 0 y d escalón de tamaño d_0, el valor final es:
- y_{ss}
- el valor final de la salida cuando solo actúa la perturbación [las de la salida]
- d_0
- el tamaño del escalón de perturbación [las de la perturbación]
- C(0)
- la ganancia en estado estable de lo que está antes de la perturbación (C(s) evaluada en s=0) [las del actuador ÷ las del error]
- P(0)
- la ganancia en estado estable de lo que está después [las de la salida ÷ las del actuador]
Lee la segunda forma. En el denominador está C(0), la ganancia que hay antes de donde entra d, sumando entera. La planta P(0), que está después, aparece como 1/P(0): si la subes, ese término se va a cero y lo que queda es d_0/C(0). Subir lo de antes aplasta la perturbación hasta cero; subir lo de después se estanca en d_0/C(0).
Con d_0 = 1. Roja: subir C(0) con P(0) = 1/3 fijo. Gris punteada: subir P(0) con C(0) = 5 fijo; nunca baja de 1/5 = 0{,}2.
Con el tanque se ve la regla completa: q_s entra entre el controlador y el tanque. Lo de antes es C(0) = B/10; lo de después es el tanque, que integra (1/P(0) = 0). Entonces e_{ss} = 0{,}1/(B/10) = 1/B exacto. El integrador del tanque está después de q_s: le sirve a la referencia, no a la perturbación. Si D entra a la salida, lo de antes es CP completo, integrador incluido, y el error se va a cero: es lo que viste con el botón «a la salida».
Mucha gente dice «el efecto de la perturbación se divide por 1 + CP, entonces cualquier ganancia del lazo ayuda». Eso es cierto solo si D entra a la salida. Si entra a la entrada de la planta, arriba también aparece P, y la P de arriba se cancela con la de abajo cuando es grande. En el ejercicio del audio (sección 7) subir K_2 de 10 a 1000 con K_1 = 1 sube el efecto de la perturbación de 0{,}91 a 0{,}999.
Para aplastar una perturbación, sube la ganancia (o mete un integrador) antes del punto donde entra.
7 Problemas de parciales y del libro, resueltos
Parcial 1 de 2025, punto 2 (60 %)
Control de nivel (Figura 3): r entra a un círculo (+) que resta el nivel medido (−, sensor ideal); el error pasa por K(s) = B/(s+10) y sale q_e; un segundo círculo hace q_e - q_s; eso pasa por 1/(As) con A = 0{,}78\ \text{m}^2 y sale h. (a) Error en estado estacionario con q_s = 0{,}1/s y r escalón unitario. (b) Sensibilidad de T a B. (c) ¿Cómo escoger B?
Dorf E4.1 · audio digital (en tu libro en español es el E4.2, Figura E4.2)
V_{in} entra a un círculo (+) que resta V_o; el error pasa por un amplificador K_1; un segundo círculo suma (+) la perturbación D(s); de ahí G(s) = K_2 y sale V_o. (b) Efecto de la perturbación sobre V_o. (c) ¿Qué K_1 escoger para minimizarlo? Las ecuaciones las armaste en la práctica del taller 1; aquí se interpretan.
Dorf E5.12 · la rueda de la fortuna (en tu libro, E5.11, Figura E5.11)
Control de velocidad: R (+) menos Y (−) da E; controlador K/(s+9); un círculo donde la salida del controlador entra con + y la perturbación D con −; dinámica de la rueda (s+6)/((s+2)(s+4)); sale la velocidad Y. (a) K para que el error ante un escalón quede dentro del 5 %. (b) Con ese K, error ante D = 1/s con R = 0. ¿Pasa del 5 %?
Dorf P5.8 · celda solar
Una referencia (la pendiente de la curva de potencia en el máximo) entra a un círculo (+); se le resta (−) dp/dt, que viene de un diferenciador H(s) = s sobre la salida. El error pasa por un integrador 1/s; después un círculo donde el integrador entra con + y la perturbación D (nubes) con −; luego G(s) = K/(s+10) con K = 20, y sale la potencia p. (a) Constante de tiempo del lazo cerrado. (b) Tiempo de asentamiento (2 %) cuando hay perturbaciones.
Parcial 2 de 2021 (Cortés), punto (d)
Esquema de los parciales (d entra con + a la entrada de la planta), G(s) = \dfrac{Y/10}{s\,(s + Y/10)}, donde Y es una cifra de tu documento. Con r = 0 y d escalón unitario, encuentra el control proporcional C = k_p que deja el mismo y_{ss} que el controlador C = (s+a)/(s+2) del punto (c). Para tener números usamos un ejemplo: Y = 40 y a = 3 (tu Y y tu a salen de tu documento y de tu punto (c)).
8 Ahora tú
Tres ejercicios. Intenta cada uno antes de abrir la primera pista.
9 Ponte a prueba
10 La receta para el día del parcial
- Cuenta las entradas: referencia y cada perturbación. Anota con qué signo entra cada una.
- Escribe el lazo L (la vuelta completa) y el denominador 1 + L. Sirve para todas las entradas.
- Apaga D: Y/R = camino de R a Y sobre 1 + L.
- Apaga R: Y/D = camino de D a Y (con el signo de D) sobre el mismo 1 + L.
- Revisa los polos (todos con parte real negativa) antes de usar el valor final.
- Valor final en cada pedazo: e_{ss} = e_{ss,R} + e_{ss,D}, con e_{ss,D} = -y_{ss,D}.
- Si te piden reducir el efecto de D: sube la ganancia (o pon un integrador) antes de donde entra D, y di qué le pasa al sobreimpulso.
1. «Apaga una, resuelve, apaga la otra, resuelve, suma.»
2. «La perturbación solo le teme a lo que está antes de ella.»
Responde las ocho preguntas para cerrar el taller.
Siguiente: prefiltro y lazos internos →