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Taller 10 · Control

Prefiltro, realimentación de velocidad y lazos internos

Tres piezas que aparecen «de más» en los diagramas del parcial. Cada una cambia unas cosas y deja otras quietas. Saber qué cambia y qué no antes de hacer cuentas te ahorra la mitad del problema.

⏱ 60 minutos
De dónde sale esto. Dorf & Bishop 10.ª ed., capítulos 4 y 5 (lazos internos, realimentación de velocidad, error en estado estacionario). Los problemas son de la lista de preparación de Mojica-Nava para el primer examen: E5.18, P5.1 y E4.9 (numeración de la edición en inglés; en tu libro en español son E5.17, P5.1 y E4.7). Todo número se comprobó en verif/v10.py con sympy y python-control.
🧑‍🏫 Así lo hace el profe
  1. EcuaciónTacómetro: el sumador recibe dos realimentaciones, E=R-KsY-Y.
  2. Lazo internoReduce primero el de velocidad: \dfrac{100/s^2}{1+100K/s}=\dfrac{100}{s^2+100Ks}, luego cierra el de afuera.
  3. ComparaCon la forma estándar: \omega_n=10, \zeta=5K. Prefiltro: E=KR-Y, cambia el valor final pero no los polos.
Verlo con tus apuntes de clase (taller 15) →
En este taller

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

Hasta ahora el lazo era «controlador, planta, y vuelve la salida». En los problemas reales aparecen tres agregados:

Los tres cambian la respuesta, pero no las mismas cosas. En el parcial te piden cosas como «¿qué K hace que el error sea cero?» o «¿qué efecto tiene el tacómetro sobre el amortiguamiento?». Si sabes qué toca cada pieza, sabes qué cuenta hacer.

Ruta para un diagrama con piezas de más
  1. Marca qué está dentro del lazo y qué está fuera. Lo que está antes del primer círculo no pertenece al lazo.
  2. Cierra primero los lazos internos (de adentro hacia afuera) y reemplázalos por su bloque equivalente.
  3. Con el lazo externo ya simple, saca T(s): sus polos dicen la forma (%PO, t_s).
  4. Multiplica por lo de afuera (prefiltro) solo al final: eso mueve el valor final, nada más.

2 El simulador: enciende piezas y mira qué cambia

El lazo base es K en serie con un motor 1/(s(s+1)) y realimentación unitaria. Enciende las piezas una por una. La curva punteada es siempre el lazo base con el mismo K; la verde es tu configuración. La tabla se llena sola y marca en amarillo lo que cambió.

desliza el diagrama →

Piezas
K 4,0
Kₜ 1,5
kᵢ 2,0
lazo base (punteada) tu configuración referencia r = 1
La función de transferencia, en vivo
Prueba esto

1) Enciende solo el prefiltro: no pasa nada (el lazo base ya termina en 1). 2) Enciende el lazo interno: la curva baja a 0,667 y el tipo pasa a 0. 3) Ahora el prefiltro: vuelve a 1, pero la forma es idéntica. 4) Apaga todo y enciende el tacómetro: el sobreimpulso cae de 44 % a 8 %, y K_v baja de 4 a 1,6.

3 El prefiltro está fuera del lazo

Un bloque G_p antes del primer círculo no está en ninguna vuelta: la señal pasa una vez por él y nunca regresa. Entonces se escribe como una serie con el lazo cerrado:

\frac{Y}{R} = G_p \cdot \underbrace{\frac{G}{1 + GH}}_{T_{\text{lazo}}}

Leído pieza por pieza: los polos de Y/R son los de T_{\text{lazo}} (si G_p es una constante no trae polos). La estabilidad, el sobreimpulso y el tiempo de asentamiento no cambian. El valor final sí: se multiplica por G_p(0).

E5.18 con una planta de ejemplo G = 4/(s^2+s+1) (el libro no la da; esta produce la curva de su figura). Misma forma, otro final.

Mnemotecnia «El prefiltro corrige el número, no la forma.» Se verifica en la gráfica: con K = 1 y con K = 1{,}25 los polos son los mismos (-0{,}5 \pm j2{,}18), el sobreimpulso es 48,6 % en los dos y el asentamiento 7,56 s en los dos. Solo el final pasa de 0,8 a 1. Si te piden «menos sobreimpulso», el prefiltro no es la respuesta.
El error de este paso: creer que el prefiltro arregla el error para siempre

El prefiltro de E5.18 vale 1/0{,}8 = 1{,}25 porque G(0) = 4. Si la planta envejece y G(0) baja a 3, el lazo termina en 3/4 = 0{,}75 y con el prefiltro en 1{,}25 \cdot 0{,}75 = 0{,}9375: vuelve un error de 6 %. Un integrador dentro del lazo no tiene ese problema. Y ante una perturbación el prefiltro no hace nada: no está en el camino de D (taller 9).

Lo que te llevas

Fuera del lazo: multiplica el final, no toca los polos.

4 La realimentación de velocidad (tacómetro)

Un tacómetro mide \dot y. En Laplace eso es s\,Y(s), así que su bloque es K_t\,s. En el simulador vuelve a un círculo interno, entre el controlador y el motor.

K = 4ζ%POts simuladoKvess con rampa unitaria
Sin tacómetro0,25044,4 %7,06 s40,25
Kₜ = 1,50,6258,1 %2,99 s1,60,625
Mnemotecnia «El tacómetro frena, pero cobra en rampa.» Frena: suma K_t al término de s y sube \zeta = (1+K_t)/(2\sqrt K). Cobra: K_v = K/(1+K_t) baja, y el error ante una rampa crece. Con los números de la tabla: el sobreimpulso cae de 44 % a 8 % y el error de rampa sube de 0,25 a 0,625 (las dos cosas comprobadas simulando). Ante un escalón no cobra nada: sigue siendo tipo 1, error cero.
Dónde entra el tacómetro cambia la fórmula

Si la señal del tacómetro no va al círculo interno sino al primero (antes de K), pasa por el controlador y queda T = K/(s^2 + (1 + K K_t)s + K): con K = 4 y K_t = 1{,}5 el término de s es 7, no 2,5. Y ahí lo que sale del primer círculo es R - (1 + K_t s)Y, que no es el error: la realimentación no es unitaria (taller 6). Antes de usar una fórmula, mira a qué círculo llega la flecha del tacómetro.

5 Lazos internos: se cierran primero

Un lazo interno es una vuelta completa que no pasa por el primer círculo. La regla del taller 3 es cerrarlo antes que el de afuera: queda un bloque equivalente, y con ese bloque el lazo externo es uno simple. Si el lazo interno está enredado con el externo (toma la señal en un punto raro), primero se mueve un punto pagando el peaje, como se explica allá.

PiezaPolos y estabilidad%PO y tsValor final (escalón)Tipo y Kv
Prefiltro (fuera del lazo)no cambianno cambianse multiplica por Gp(0)no cambian
Tacómetro (lazo interno de velocidad)cambianbaja %POno cambia (sigue tipo 1)Kv baja
Lazo interno proporcional kᵢcambiancambianK/(K+kᵢ)tipo 1 → 0
Chequeo: cuenta las s del sótano después de cerrar el lazo interno El tipo se cuenta en el bloque equivalente, no en el dibujo original. El motor 1/(s(s+1)) tiene una s abajo; con el lazo k_i cerrado queda 1/(s^2+s+k_i), que en s = 0 vale 1/k_i, finito: el integrador se lo comió el lazo interno. Con el tacómetro, en cambio, queda 1/(s(s+1+K_t)): la s sigue ahí.
Lo que te llevas

Adentro hacia afuera. El bloque equivalente es el que decide polos, tipo y error.

6 Problemas del libro, resueltos

Dorf E5.18 (E5.17 en tu libro): el prefiltro K

Enunciado

R \to K \to (+/-) \to G(s) \to Y con realimentación unitaria. Con K = 1 la respuesta al escalón unitario se asienta en 0,8 (Figura E5.17(b)). ¿Qué K hace que el error en estado estacionario sea cero?

Dorf P5.1: cámara con tacómetro

Enunciado

La velocidad de giro de la cámara v_c entra por K_g/(s\tau_g + 1) a un círculo (+); se le resta (−) la medida del tacómetro K_t; sigue un amplificador K_a y el motor K_m/(s\tau_m + 1), que da la velocidad de los fuelles v_b. Movimiento máximo de 25 °/s, K_g = K_t = 1, \tau_g despreciable. (a) El error E(s). (b) La ganancia de lazo K_aK_mK_t para un error de 1 °/s. (c) Con \tau_m = 0{,}4\ \text{s}, la ganancia para que t_s (2 %) sea como mucho 0,03 s.

Dorf E4.9 (E4.7 en tu libro): control de profundidad de un submarino

Enunciado

R pasa por un bloque K y entra a un círculo (+) que resta (−) la profundidad medida por un sensor K; sale E(s), que entra a un segundo círculo (+) que resta (−) K_2Y (lazo interno); sigue K_1; un tercer círculo suma la salida de K_1 (+) y resta la perturbación T_d (−); luego 1/s y sale Y. (a) T(s). (c) Error por T_d = 1/s. (d) y(t) ante escalón con K = 2, K_2 = 3, 1 < K_1 < 10, y el K_1 de respuesta más rápida. (Tu libro en español usa K = K_2 = 1; al final está ese caso.)

desliza el diagrama →

7 Ahora tú

Tres ejercicios. Los tres se pueden comprobar en el simulador de la sección 2.

8 Ponte a prueba

9 La receta para el día del parcial

  1. Encierra en un recuadro lo que está fuera del lazo (antes del primer círculo): eso es prefiltro.
  2. Marca cada lazo interno y a qué círculo llega. Mira el signo.
  3. Cierra los lazos internos de adentro hacia afuera; escribe cada bloque equivalente.
  4. Cuenta las s del sótano en el bloque equivalente del camino directo: ese es el tipo.
  5. Saca T_{\text{lazo}}: de su denominador salen \omega_n, \zeta, %PO y t_s.
  6. Multiplica por el prefiltro. Valor final: G_p(0)\,T_{\text{lazo}}(0).
  7. Si te piden «error cero» y el lazo es tipo 0: o subes el tipo (integrador) o ajustas el prefiltro a 1/T_{\text{lazo}}(0), y dices que eso último depende de conocer bien la planta.
Si solo te llevas dos frases

1. «El prefiltro corrige el número, no la forma.»

2. «El tacómetro frena, pero cobra en rampa.»

Y para mover puntos al desenredar lazos, la del taller 3: «Si te saltas un bloque, pagas peaje».

Responde las siete preguntas para cerrar el taller.

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