Preparcial: sensibilidad, perturbación y error
Ocho ejercicios del capítulo 4 de Dorf, los mismos que escogió el profesor para prepararte el primer examen. Mezclan sensibilidad (taller 5), perturbaciones (taller 9) y error en estado estacionario (taller 8) en el mismo problema, que es justo lo que hace un parcial de verdad. Aquí los resuelves todos, uno por uno, con la misma ruta de siempre.
⏱ 110 minutos- ApagaUna entrada a la vez: R=0 para la perturbación, D=0 para la referencia.
- EcuaciónSumador con sus signos y bloques; despeja E o Y según lo que pidan.
- DerivaSensibilidad con la regla de la cadena: S_K^T=S_G^T\,S_K^G.
1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Un parcial casi nunca pregunta solo «saca la función de transferencia». Pregunta «¿qué tan sensible es esto a que ese parámetro cambie?» (sensibilidad, taller 5), «¿cuánto se mueve la salida si algo externo empuja el sistema?» (perturbación, taller 9) y «¿se queda corto o llega exacto en el estado final?» (error, taller 8). Los ocho ejercicios de este taller son esas tres preguntas aplicadas, una y otra vez, a plantas distintas: un amplificador de audio, un panel solar, un brazo robot, un disco duro, una rueda, un submarino, un lazo con sensor imperfecto y un lazo con ruido.
- Dibuja (o reconoce) el lazo y cuenta las entradas: referencia, perturbación, ruido. Si hay más de una, son problemas separados que se suman al final (taller 9).
- Arma T(s) = Y/R con la regla del lazo: directo sobre uno más la vuelta completa. Si la realimentación no es unitaria, la vuelta completa lleva H(s) (taller 3).
- Si piden sensibilidad: S_K^T = \dfrac{\partial T}{\partial K}\cdot\dfrac{K}{T} (taller 5).
- Si piden el efecto de una perturbación: apaga R, saca Y/D con el camino desde D hasta Y (con su signo) sobre el mismo 1+L.
- Revisa los polos antes de usar el valor final, y suma los efectos de cada entrada (taller 8).
- T(s)
- función de transferencia de lazo cerrado, salida sobre referencia unidades de Y sobre unidades de R
- S_K^T
- sensibilidad de T al parámetro K: qué porcentaje cambia T por cada uno por ciento que cambia K sin unidades
- \partial T/\partial K
- derivada de T respecto al parámetro, con todo lo demás fijo unidades de T sobre unidades de K
- D(s)
- perturbación: una entrada que nadie pidió las de la señal a la que se suma
- L(s)
- ganancia de la vuelta completa del lazo, G(s)H(s) sin unidades
- s
- variable compleja de Laplace s⁻¹
2 El simulador: el submarino de E4.9, dos lazos anidados
Este es el ejercicio con el diagrama más enredado de los ocho: dos sumadores y dos realimentaciones (una de posición con el sensor, una local de velocidad con K_2). Antes de derivarlo a mano, juega con él. Fijas K = 2 y K_2 = 3 (como pide el enunciado) y mueves K_1 entre 1 y 10.
desliza el diagrama →
El lazo es de primer orden (un solo polo, en p = -(K_2+K_1K)): nunca hay sobreimpulso, solo una curva que se acerca más rápido o más despacio. Sube K_1 de 1 a 10 y mira cómo el polo se aleja del origen: la respuesta siempre es más rápida con el K_1 más grande permitido. Mira también dónde se queda la curva: con R escalón la profundidad no llega a 1, sino a T(0) = 2K_1/(3+2K_1) (0{,}571 con K_1 = 2, 0{,}870 con K_1 = 10), porque la realimentación local K_2 le quita al integrador su efecto de tipo 1. Con la perturbación pasa lo mismo al revés: K_1 grande también aplasta el efecto de T_d, porque K_1 aparece en el denominador de Y/T_d pero no en su numerador.
- R(s),\ Y(s)
- profundidad pedida y profundidad real del submarino m
- K
- ganancia del sensor de profundidad (y de la entrada, para que las dos se comparen igual) sin unidades
- K_1
- ganancia del controlador, la que mueves con el deslizador s⁻¹
- K_2
- ganancia de la realimentación local s⁻¹
- T_d(s)
- perturbación; entra antes del integrador, así que es una velocidad vertical m/s
- p
- polo del lazo cerrado, -(K_2+K_1K) s⁻¹
- \tau,\ t_s
- constante de tiempo y tiempo de asentamiento (banda del 2 %) s
3 E4.1 · Sistema de audio digital
Enunciado
Un sistema de audio digital se diseña para minimizar el efecto de las perturbaciones (Figura E4.1). V_{in} entra a un sumador que resta V_o (realimentación unitaria); el error pasa por un amplificador K_1; un segundo sumador le suma (+) el ruido de disturbio T_d(s); de ahí G(s) = K_2 (una aproximación) y sale V_o. (a) Sensibilidad de T a K_2. (b) Efecto de T_d sobre V_o. (c) ¿Qué K_1 escoger para minimizar ese efecto?
desliza el diagrama →
Con K_2 = 10 fijo (el libro lo deja en letras; aquí se le pone un número para verlo en la gráfica). Curva: V_o/T_d = K_2/(1+K_1K_2) contra K_1.
Pensar que subir cualquier ganancia del lazo ayuda porque «todo se divide por 1+K_1K_2». Con K_1=1 fijo, subir K_2 de 10 a 1000 sube el efecto de V_o/T_d de 0{,}909 a 0{,}999: empeora, porque K_2 también aparece arriba (en el camino de T_d a V_o) y se cancela con la de abajo.
4 E4.2 · Seguimiento solar
Enunciado
Un sistema en lazo cerrado sigue al sol para sacarle el máximo de potencia a un panel fotovoltaico. Realimentación unitaria y G_c(s)G(s) = \dfrac{100}{\tau s+1}, con \tau = 3 s nominal. (a) Sensibilidad del sistema ante un cambio pequeño de \tau. (b) Constante de tiempo de la respuesta en lazo cerrado.
La roja es la planta sola (\tau = 3\ \text{s}, lenta). La verde es el lazo cerrado con realimentación unitaria: mismo tipo de curva, pero con \tau_{lc} = 3/101 s.
La realimentación con ganancia alta (100) no solo sigue al sol: también acelera la planta cien veces y la hace casi insensible a \tau en estado estable. Es el mismo efecto que ves en el taller 5 con la sensibilidad a la ganancia de la planta.
5 E4.3 · Brazo robot con cámara
Enunciado
Un brazo robot con cámara recoge fruta (Figura E4.3). La cámara cierra el lazo hacia un microcomputador que controla el brazo. Realimentación unitaria, planta G(s) = \dfrac{K}{(s+5)^2}. (a) Error en estado estacionario esperado del gripper ante un comando escalón A, en función de K. (b) Nombra una señal de perturbación posible para este sistema.
e_{ss} = 25A/(25+K) con A=1: baja rápido al principio y después cada vez cuesta más subir K para ganar lo mismo (tipo 0: nunca llega a cero).
Contar las s del denominador sin factorizar y decir «hay dos eses, tipo 2». (s+5)^2 no tiene ninguna raíz en s=0: es tipo 0. El tipo cuenta las raíces en el origen, no el grado del polinomio.
El peso de la fruta en el gripper: un par de gravedad variable que cambia con cada fruta que se recoge, igual que el viento en una antena o el agua que sale del tanque del taller 9. Entra como un torque que se suma (o resta) en algún punto de la cadena mecánica, normalmente a la salida del controlador y antes de la dinámica del brazo.
6 E4.4 · Disco magnético
Enunciado
Una unidad de disco magnético necesita un motor que posicione una cabeza de lectura/escritura sobre las pistas de un disco giratorio (Figura E4.4). Motor y cabeza: G(s) = \dfrac{10}{s(\tau s+1)}, con \tau=0{,}001 s. El controlador multiplica el error por una ganancia K, realimentación unitaria. (a) Error de posición en estado estacionario ante un cambio escalón en la posición deseada. (b) K para un error en estado estacionario de 0,1 mm con una entrada rampa de 10 cm/s.
Arriba, la rampa completa (milímetros, segundos). Abajo, la lupa de la brecha final: con K=100 la cabeza se queda 0,1 mm detrás del punto pedido, para siempre.
7 E4.8 · Velocidad de rueda, tracción 4×4
Enunciado
Los vehículos de tracción en las cuatro ruedas son comunes en zonas con hielo y nieve. Un sistema antibloqueo usa un sensor para mantener cada rueda girando y conservar la tracción (Figura E4.8). Realimentación unitaria, GH(s) = \dfrac{5(s+3)}{s(s+15)}. Encuentra la respuesta completa del sistema en lazo cerrado cuando R(s) = A/s.
Sin sobreimpulso: los dos polos son reales (sistema sobreamortiguado). La curva es la suma de dos exponenciales que se restan a 1 en t=0.
8 E4.9 · Submarino: control de profundidad
Enunciado
Los submersibles con casco de plástico transparente podrían revolucionar el buceo turístico. Uno de estos vehículos tiene el sistema de control de profundidad de la Figura E4.9: la referencia R(s) (profundidad deseada) pasa por un bloque K y entra con + a un primer sumador; ese sumador resta la salida del sensor, también K, que mide Y(s); el error E(s) pasa por K_1 y entra con + a un segundo sumador; ese sumador resta la perturbación T_d(s) y resta una realimentación local de velocidad, K_2, tomada de la misma salida; el resultado entra a un integrador 1/s y sale Y(s) (profundidad real). (a) T(s)=Y/R. (b) S_{K_1}^T y S_K^T. (c) Error en estado estacionario por T_d(s)=1/s. (d) y(t) para R(s)=1/s con K=2, K_2=3, 1<K_1<10; escoge K_1 para la respuesta más rápida.
El diagrama y el simulador ya están en la sección 2. Aquí se deriva todo a mano, paso por paso.
9 E4.11 · Realimentación NO unitaria
Enunciado
Lazo cerrado de la Figura E4.11, con G(s)=\dfrac{K}{s+10} y H(s)=\dfrac{14}{s^2+5s+6} (realimentación no unitaria). (a) T(s)=Y/R. (b) Define el error de seguimiento como E(s)=R(s)-Y(s); calcula E(s) y el error en estado estacionario ante R(s)=1/s. (c) Y(s)/T_d(s) y el error en estado estacionario de la salida ante una perturbación escalón unitario. (d) S_K^T.
Compara con la curva de E4.3 (realimentación unitaria): ahí e_{ss}\to 0 al subir K. Aquí no: la curva se frena y, antes de bajar de 0{,}602, el lazo se vuelve inestable en K = 390/7 \approx 55{,}71 (zona roja). La asíntota 4/7\approx 0{,}571 solo existe en el papel.
Pensar que subiendo K mucho el error de seguimiento se va a cero, como en todos los ejercicios de realimentación unitaria. No pasa, por dos razones. Primera: con H\ne 1, la fórmula da T(0)\to 6/14=3/7 cuando K\to\infty (el límite lo fija H, no K), así que e_{ss}\to 1-3/7=4/7. Segunda, y más grave: el denominador s^3+15s^2+56s+60+14K deja de ser estable en K = 390/7 \approx 55{,}71 (Routh, paso 2), así que ni el 4/7 se alcanza: lo mejor, rozando el borde, es 0{,}602. Con K=10: T(0)=0{,}3, error real 0{,}7, pero la señal actuante (lo que en verdad ve el controlador, E_a=R-HY) está en estado estable en 0{,}3: son números distintos y el enunciado puede preguntar por cualquiera de los dos.
10 E4.12 · Ruido de medición
Enunciado
Lazo cerrado con ruido de medición N(s) (Figura E4.12): G(s)=\dfrac{100}{s+100}, G_c(s)=K_1, H(s)=\dfrac{K_2}{s+5}; el sumador de realimentación suma H(s)Y(s) con N(s) y esa suma se resta de R(s) en el sumador de entrada. El error de seguimiento se define como E(s)=R(s)-Y(s). (a) T(s)=Y/R y el error en estado estacionario ante R(s)=1/s, con N=0. (b) Y(s)/N(s) y el error en estado estacionario ante N(s)=1/s, con R=0 (en ese caso la salida deseada es cero). (c) Si la meta es seguir la referencia rechazando el ruido, ¿cómo escoger K_1 y K_2?
desliza el diagrama →
Con K_1=5 fijo. Gris: e_{ss,R}=1-T(0) (qué tanto falla al seguir la referencia). Roja: |y_{ss,N}|=|T(0)| (cuánto ruido se cuela a la salida). Donde una baja, la otra sube exactamente lo mismo.
11 Ahora tú
Tres ejercicios con la misma ruta. Intenta cada uno antes de abrir la primera pista.
12 Ponte a prueba
13 La receta para el día del parcial
- Identifica el lazo: ¿realimentación unitaria o con H(s)? ¿Una entrada o varias (referencia, perturbación, ruido)?
- Arma T(s)=Y/R: directo sobre uno más la vuelta completa. Con H\ne 1, el error E=R-Y no se va a cero aunque subas la ganancia, y antes de subirla revisa con Routh hasta dónde aguanta estable (en E4.11, solo hasta K \approx 55{,}7).
- Para sensibilidad: deriva T respecto al parámetro y multiplica por «parámetro sobre T». Simplifica antes de reemplazar números.
- Para cada entrada extra (perturbación, ruido): apaga las otras, saca el camino de esa entrada a la salida con su signo, mismo denominador de siempre.
- Revisa los polos (parte real negativa) antes de usar el valor final. Si no es estable, dilo: no hay e_{ss}.
- Si piden «elige la ganancia más rápida» o «minimiza el efecto de…»: la ganancia que está antes del punto que te preocupa es la que manda. Confírmalo con el polo o con la sensibilidad, no solo con la intuición.
- Si dos entradas llegan al mismo sumador (como R y N en E4.12), ninguna ganancia constante las separa: lo que mejora el seguimiento empeora el rechazo del ruido, y al revés. Dilo así en el parcial, con la identidad Y/N = -T.
1. «La perturbación solo le teme a lo que está antes de ella.»
2. «Con H \ne 1, ni el infinito en K te regala error cero» (y casi nunca aguanta estable hasta allá).
3. «Antes del valor final, los polos.»
Responde las preguntas para cerrar el taller.
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