Preparcial: segundo orden y error, combinados
Los siete ejercicios del capítulo 5 que faltaban de la guía del profesor. Ya sabes leer polos (taller 7), calcular e_{ss} (taller 8) y meter prefiltros o perturbaciones (taller 9, taller 10). Aquí ese conocimiento se usa de verdad: una ganancia K que a la vez fija el sobreimpulso y el error, una perturbación que no puede mover más del 5 % la salida, un prefiltro que corrige lo que el lazo dejó corto.
⏱ 95 minutos- ComparaEmpareja T(s) con la forma estándar: \omega_n^2 y 2\zeta\omega_n.
- FórmulasT_p, \%PO, T_s=4/(\zeta\omega_n); y el error con E=R/(1+GH) y \lim_{s\to0}sE.
1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Hasta ahora cada taller te enseñó una pregunta a la vez: «¿cuánto se sobrepasa?» (taller 7) o «¿cuánto error queda?» (taller 8). Un parcial de verdad casi nunca separa las dos. La rueda de Chicago de este taller (E5.12) pide primero una ganancia que garantice un error, y con esa misma ganancia pregunta qué tan fuerte le pega una perturbación. El láser (P5.3) te da una sola ecuación de error para dos incógnitas. La celda solar (P5.8) tiene un integrador y un derivador en el mismo lazo. Son los ejercicios donde se nota si de verdad entendiste o solo memorizaste una fórmula.
- Cierra el lazo. Si hay perturbación, apaga R y saca el camino de la perturbación a la salida, con su signo (taller 9).
- Decide qué piden primero: si piden una ganancia a partir de una especificación (de e_{ss} o de \%PO), plantea la ecuación con la ganancia como incógnita antes de meter números.
- Revisa el tipo del sistema (cuántas s hay en el origen del lazo abierto) antes de usar las fórmulas de K_p, K_v o K_a (taller 8).
- Si el resultado queda en función de dos incógnitas (como en P5.3), no es un error tuyo: hay una familia de soluciones. Dilo con todas sus letras y da un ejemplo numérico razonable.
- Verifica con los polos que el valor final que usaste tenía derecho a existir.
No hay matemática nueva en este taller: es taller 7 + taller 8 + taller 9 aplicados al mismo problema, en el orden que te pide el enunciado y no el que te resulte más cómodo.
2 El simulador: la rueda de Chicago (E5.12)
Este es el ejercicio que mezcla todo: un controlador K/(s+9), una planta de segundo orden (s+6)/((s+2)(s+4)) y una perturbación de torque T_d(s) que entra con signo menos justo antes de la planta. Mueve K y mira dos cosas a la vez: qué tan cerca de la velocidad deseada llega la rueda, y cuánto la mueve la perturbación.
desliza el diagrama →
- K
- ganancia del controlador: lo que mueves con el deslizador [1/s², para que L sea adimensional]
- L(s)
- lazo abierto: controlador por planta, todo lo que encuentra la señal dando la vuelta [sin unidades]
- T_d
- perturbación de torque que entra con signo menos antes de la planta [N·m, aquí escalón unitario]
- K_p = L(0) = K/12
- constante de error de posición: el lazo abierto evaluado en s=0 [sin unidades]
- e_{ss}
- error en estado estacionario: la brecha que queda cuando ya pasó el transitorio [fracción del escalón, en %]
- G_p(0) = 0{,}75
- ganancia en DC de la planta: 6/(2\cdot 4) [sin unidades]
Sube K desde 12: el error ante R baja, cruza el 5 % justo en K = 228 y sigue bajando. El error ante la perturbación también baja con la misma K, porque K está antes del punto por donde entra T_d — es la misma regla del taller 9: «la perturbación le teme a lo que está antes de ella». En K = 228 las dos cosas ya están resueltas en estado estacionario con la misma ganancia. Ojo con el transitorio: con la perturbación, el primer bajón (7,47 % a los 0,13 s) sí pasa del 5 % por un instante, antes de asentarse en 3,75 %. La franja verde de la gráfica es el ±5 % permitido. El sistema es estable en todo el rango del deslizador (polos siempre a la izquierda), así que el valor final que ves siempre tiene derecho a existir.
3 La ruta para combinar especificación de error y de transitorio
Cuando un ejercicio pide una ganancia a partir de un número (un e_{ss}, un \%PO, un t_s), el orden que evita enredarte es: deja la ganancia como letra, arma la ecuación con esa letra, y solo al final metes el número del dato. Es la diferencia entre E5.12 (fácil: el error en estado estacionario es lineal en K) y E5.7 (la ecuación de \zeta en función de K es una cuadrática que, aquí, no tiene solución real).
Cuando la ecuación de la especificación no tiene solución real (como en E5.7, donde \zeta \ge 0{,}707 siempre y no hay K que dé \zeta = 0{,}646: al plantearlo sale K^2-1{,}34K+1=0, con discriminante -2{,}21; la cuenta completa está en E5.7, sección 4), el error típico es forzar un resultado «parecido» en vez de parar y mirar por qué no hay solución. Aquí la razón es que la fórmula pura de segundo orden ignora el cero del numerador; el cero sí puede dar el 7 % que la fórmula no alcanza. Repasa el taller 7, sección 6 si no recuerdas por qué un cero cercano cambia el sobreimpulso real.
4 Los siete problemas, resueltos
Enunciado
Realimentación unitaria negativa, L(s) = G_c(s)G(s) = \dfrac{2(s+8)}{s(s+4)}. (a) T(s)=Y(s)/R(s). (b) respuesta temporal y(t) ante un escalón r(t)=A. (c) sobreimpulso porcentual. (d) valor en estado estacionario de y(t) por el teorema del valor final.
Simulación de T(s) ante r(t)=1: pico de 1,0348 a 1,00 s, dentro del 2 % desde 1,33 s.
Enunciado
Control de bomba de insulina: lazo con ganancia K (bomba) en serie con (s+2)/(s(s+1)) (cuerpo humano), sensor unitario. Calcula K para que el sobreimpulso del escalón sea P.O.=7\,\%.
\%PO simulado (con el cero) contra K. La recta del 7 % se cruza en K = 1{,}10 y K = 4{,}39; la fórmula pura de segundo orden (línea punteada) nunca pasa de 4,32 %.
Enunciado
Control de velocidad de una rueda de Chicago (Figura E5.12): controlador K/(s+9) en serie con (s+6)/((s+2)(s+4)), realimentación unitaria, perturbación T_d entra con signo − antes de la planta. (a) Halla K para que la velocidad en estado estacionario quede dentro del 5 % de la deseada. (b) Con esa K, halla y grafica el error de seguimiento ante una perturbación escalón unitario (R=0) — ¿cambia la velocidad más del 5 %?
El simulador de la sección 2 ya tiene esta K cargada con el botón «Cargar la K del punto (a)»: muévelo y compara las dos entradas.
Enunciado
Un sistema tiene un prefiltro K antes de un lazo cerrado con G(s) y realimentación unitaria. Con K=1 la respuesta al escalón se asienta en 0,8 en vez de 1,0 (Figura E5.18b). Halla K para error en estado estacionario cero.
Enunciado
Control de cabeceo de cámara (Dynalens), Figura P5.1(b): giróscopo de tasa K_g/(s\tau_g+1) → suma (+,−) → amplificador K_a → motor K_m/(s\tau_m+1) → salida V_b, realimentado por un tacómetro K_t. Con K_g=K_t=1, \tau_g despreciable, movimiento de escaneo esperado de 25 °/s. (a) Error del sistema E(s). (b) Ganancia de lazo K_aK_mK_t para e_{ss} \le 1^{\circ}/\text{s}. (c) Con \tau_m=0{,}40 s, ganancia de lazo para T_s\le 0{,}03 s.
Enunciado
Control de un haz láser: lazo cerrado K/(s(s+K_1)), realimentación unitaria. Calcula las ganancias K y K_1 para un error en estado estacionario de 5 mm con r(t)=t mm (rampa).
Ejemplo con K_1=0{,}5, K=0{,}1: la salida corre detrás de la rampa con una brecha que se queda fija en 5 mm.
Enunciado
Control de potencia de una celda solar: integrador 1/s en la trayectoria directa, perturbación T_d entra con signo − antes de la planta G(s)=K/(s+40) con K=40, realimentado por un derivador s. (a) función de transferencia en lazo cerrado. (b) tiempo de asentamiento (2 %) de la respuesta a una perturbación escalón unitario.
Primer orden puro, polo en -80: cae a -0{,}5 y entra al 2 % a los 0,05 s (la simulación da 0,049 s, que es \ln 50/80; la regla 4\tau redondea a 0,05 s).
5 Ahora tú
Tres ejercicios con la misma mezcla. Intenta cada uno antes de abrir la primera pista.
6 Ponte a prueba
7 La receta para el día del parcial
- Cierra el lazo. Si hay perturbación o ruido, es una entrada aparte: apaga las otras y súmalas al final (taller 9).
- Si piden una ganancia a partir de un dato (e_{ss}, \%PO, t_s): deja la ganancia como letra, arma la ecuación completa y solo al final metes el número.
- Antes de usar K_p, K_v o K_a, cuenta las s en el origen del lazo abierto (taller 8).
- Si la ecuación de \%PO no tiene solución real, mira si hay un cero cerca: puede que la fórmula pura no alcance pero el sistema real sí llegue al dato (taller 7).
- Si la ecuación de error te deja una relación entre dos ganancias, no inventes una segunda ecuación: dilo como familia de soluciones y da un ejemplo numérico razonable.
- Antes del valor final, revisa los polos. Si hay uno en el eje imaginario o a la derecha, no hay valor final que calcular.
- Si un problema ya lo resolviste en otro taller (prefiltro, tacómetro), no lo repitas: ve directo al resultado y verifica que entiendes de dónde salió.
1. «Primero la letra, después el número.»
2. «La perturbación le teme a lo que está antes de ella — y por eso la misma K que arregla el error también aplasta la perturbación.»
Responde las preguntas para cerrar el taller.
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