Cinemática 3D del cuerpo rígido

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

Sirve para cualquier máquina donde algo gira montado sobre otra cosa que gira: el disco de una pulidora en un brazo robótico, la hélice de un avión que vira, una antena que rota mientras se inclina. En el parcial lo reconoces por tres señales en el enunciado.

La herramienta para el punto ya la tienes: son los cinco términos del taller de ejes en rotación y Coriolis, ahora con tres componentes en vez de dos. Lo que cambia respecto al movimiento plano del taller de cuerpo rígido es esto:

2 El simulador: muévelo antes de leer

Es el montaje del Parcial 2 de 2023-II. Un eje vertical gira con \Omega y carga un brazo OA de 0,75 m. En la punta del brazo hay un disco de radio 0,15 m que gira sobre sí mismo con \omega_s. El punto C está en el borde del disco. Todos los vectores del tablero están escritos en los ejes x', y', z que van pegados al brazo.

Haz tres cosas: pulsa Animar y mira la brújula; después baja \Omega a cero y mira qué le pasa a la flecha roja; y por último mueve la posición de C y fíjate cuándo Coriolis se apaga.

La animación va en cámara lenta (al 15 %) y con las rapideces fijas. El brazo y el disco están dibujados a escala; las flechas de la brújula no (cada una tiene la suya).

3 Los giros se suman como vectores

Cada giro se representa con una flecha a lo largo de su eje, con el sentido de la regla de la mano derecha: los dedos se enrollan como gira el cuerpo y el pulgar marca la flecha. La velocidad angular total del cuerpo cargado es la suma de las dos flechas.

En el simulador, con el brazo en la posición del parcial: \Om = 6\,\kk rad/s y \ws = 12\,\ii' rad/s. Entonces:

4 La sorpresa: la aceleración angular no es cero

La aceleración angular es la derivada de \w. Un vector puede cambiar por dos razones: porque cambia de tamaño o porque cambia de dirección. En el plano solo existía la primera. Aquí \ws va montado en el brazo, y el brazo lo va girando.

Ese «arco = radio por ángulo, perpendicular a los dos» es exactamente lo que hace un producto cruz. Por eso la derivada de cualquier vector que va montado en un marco que gira se escribe así:

Aquí \dot{\omega}_s es qué tan rápido crece el giro propio y \hat u_s es el vector unitario a lo largo de su eje (los dos están en el recuadro de abajo).

Y la aceleración angular total del cuerpo, derivando \w = \Om + \ws:

Con los datos del parcial 2023-II (\dot\Omega = 3 rad/s², \dot\omega_s = 6 rad/s²):

El cruz se hace con la rueda: \kk\times\ii' = +\jj' (va hacia adelante) y 6 \times 12 = 72.

El término nuevo (72) es doce veces más grande que el mayor de los datos. Quien lo olvida pierde casi toda la aceleración angular.

5 Velocidad de un punto: tres términos

El marco móvil va pegado al que carga, con origen en un punto A que sepas mover. La velocidad de cualquier punto C del cuerpo cargado es:

Es la misma ecuación del taller de Coriolis; no la deducimos otra vez. Lo único nuevo es que cada producto cruz tiene tres componentes. Para hacerlos sin determinante, usa la rueda \ii \to \jj \to \kk \to \ii término por término: casi siempre cada vector tiene una o dos componentes, y sale más rápido.

6 Aceleración de un punto: cinco términos

El otro camino: el cuerpo cargado como un solo cuerpo rígido

Si ya tienes \w y \al de las secciones 3 y 4, puedes olvidarte del marco:

Da exactamente lo mismo (en la sección 7 está hecho con números). Úsalo como chequeo, o como camino principal cuando el enunciado también pide \al.

7 Dos parciales reales, resueltos

Problema 1 · Parcial 2 de 2023-II, punto 2

El eje vertical OB gira con \omega_p = 6 rad/s y aceleración angular \dot\omega_p = 3 rad/s². En ese instante, el disco montado en la punta del brazo OA gira sobre su eje con \omega_s = 12 rad/s, que aumenta a razón de 6 rad/s². El brazo mide 750 mm y el radio del disco, 150 mm. Halla la velocidad y la aceleración del punto C, el más alto del disco.

La figura es la del simulador: pulsa Ir al instante del parcial en la sección 2 y déjala a la vista. Aquí \Omega es el \omega_p del enunciado.

Problema 2 · Parcial 2 de 2022-I, punto 1

Un disco de 100 mm de radio gira sobre su propio eje a \omega_s = 240 rpm. El brazo acodado que lo sostiene gira alrededor del eje fijo y con \Omega = \pi rad/s y aceleración angular \dot\Omega = 1 rad/s². Halla la velocidad y la aceleración del punto D del borde del disco.

8 Ahora tú

Práctica 1 · con el simulador de árbitro

Mismo montaje de la sección 2, sin aceleraciones angulares: \Omega = 4 rad/s, \omega_s = 10 rad/s, y el punto C en \varphi = 90^\circ (un cuarto de vuelta después de estar arriba). Calcula a mano \v_C, \al y \a_C. Después pon esos valores en el simulador y compara con el tablero.

Práctica 2 · Parcial 2 de 2024-II, punto 1

El collarín A sube por el eje vertical con velocidad constante de 8 in/s. La barra AB mide 5 in y su extremo B se desliza dentro de una ranura radial del disco, que gira con \Omega = 2 rad/s constante. Cuando el collarín está en z = 3 in, halla la velocidad absoluta de B y la velocidad angular de la barra. Bono: su aceleración angular.

Inténtalo 20 minutos antes de abrir la primera pista. Ábrelas de a una.

9 Ponte a prueba

10 La receta para el día del parcial

1. Unidades. Pasa rpm a rad/s (\times\,2\pi/60) y milímetros a metros antes de escribir un solo vector.
2. ¿Quién carga a quién? Marca \Om (el eje fijo al suelo) y \ws (el giro propio). Marco pegado al que carga, origen en un punto fácil: sobre el eje fijo si se puede.
3. Escribe los vectores en un renglón: \Om,\ \dot{\Om},\ \ws,\ \dot\omega_s y los dos vectores de posición (desde el eje del marco y desde el centro del disco).
4. Velocidad: \v_A + \Om\times\r + \v_{rel}. Guarda \v_{rel}: va para Coriolis.
5. Aceleración: tabla de cinco filas y tres columnas. Suma por columnas.
6. Si piden \al: \dot{\Om} + \dot\omega_s\,\hat u_s + \Om\times\ws.
7. Chequeo: la centrípeta de cada giro tiene que apuntar hacia su eje. Y si sobra tiempo, repite con \a_A + \al\times\r + \w\times(\w\times\r).