Ángulos de Euler y eje instantáneo de rotación

1 Para qué sirve esto y cuándo se usa

Sirve para describir cualquier cuerpo que tiene un punto quieto y gira como quiera alrededor de él: un trompo apoyado en su punta, un giroscopio, una antena sobre una rótula, un cono o una rueda cónica que rueda sin deslizar. En el enunciado lo reconoces por tres señales.

En el taller 14 ya aprendiste que dos giros se suman como vectores y que la aceleración angular aparece aunque las rapideces sean constantes («el que carga cruza al cargado»). Aquí no se repite eso: se usa. Lo nuevo son tres ideas.

2 El simulador: muévelo antes de leer

Un disco de radio 0,10 m va en la punta de un eje de 0,24 m. El otro extremo del eje es una rótula fija O. El eje del disco está inclinado un ángulo \theta respecto a la vertical Z. El conjunto hace dos cosas a la vez: el eje da vueltas alrededor de la vertical (precesión, \fp) y el disco gira sobre su propio eje (giro propio, \pp). El punto P es el más bajo del borde.

Haz tres cosas. Primero pulsa Animar y mira la línea morada punteada: es el eje instantáneo, y da vueltas alrededor de Z. Después pulsa Que ruede sin deslizar y mira dónde queda esa línea y cuánto vale \v_P. Por último lleva un deslizador de rapidez a cero y mira la flecha roja.

La animación va en cámara lenta (al 25 %). El eje y el disco están a escala; las flechas no (las de giro tienen una escala y la roja otra). Los ejes x, y, z del tablero son los de Euler, que se explican en la sección 6: z es el eje del disco y x es la línea horizontal punteada que pasa por O.

3 Un punto fijo: los giros grandes no se pueden sumar

Cuando un cuerpo tiene un punto fijo O, cada uno de sus puntos se mueve sobre una esfera con centro en O (porque el cuerpo es rígido y la distancia a O no cambia). El teorema de Euler dice algo fuerte sobre ese movimiento:

Uno pensaría entonces que los giros se suman como vectores, igual que los desplazamientos. Con giros grandes no. Haz la prueba con un libro: gíralo 90° alrededor de X y después 90° alrededor de Y; vuelve a empezar y hazlo en el otro orden.

Una suma de vectores da lo mismo en cualquier orden. Como aquí el orden importa, las rotaciones finitas no son vectores. Pero mira qué pasa cuando los giros se hacen pequeños (los números salen de multiplicar las matrices de rotación en los dos órdenes):

Cada vez que el giro se hace diez veces más pequeño, la diferencia se hace cien veces más pequeña: es proporcional al producto de los dos ángulos. Para giros infinitesimales d\vec\theta_1 y d\vec\theta_2 esa diferencia es de segundo orden y desaparece, así que el orden deja de importar:

4 El eje instantáneo y los dos conos

Si en cada instante el movimiento es un solo giro d\vec\theta alrededor de un eje que pasa por O, ese eje es el eje instantáneo de rotación, y \w va a lo largo de él. La velocidad de cualquier punto del cuerpo es:

De esa fórmula sale lo que define al eje: si \r es paralelo a \w, el producto cruz vale cero. Todos los puntos del cuerpo que están sobre el eje instantáneo tienen velocidad cero en ese instante. Es la versión 3D del centro instantáneo del taller de cuerpo rígido en el plano: allá era un punto, aquí es una línea completa que pasa por O.

Los dos conos

El eje instantáneo no se queda quieto. Visto desde el suelo, va barriendo una superficie con vértice en O: el cono del espacio, que está fijo. Visto por alguien montado en el cuerpo, la misma línea barre otra superficie: el cono del cuerpo, que se mueve con él. En cada instante los dos conos se tocan a lo largo del eje instantáneo, y como los puntos de esa línea tienen velocidad cero, el cono del cuerpo rueda sin deslizar sobre el cono del espacio.

En el simulador, con los valores iniciales (\theta = 45^\circ, \fp = 2, \pp = 5 rad/s), el tablero dice que el eje instantáneo está a 32,57° de Z y a 12,43° del eje del disco. Esos son los semiángulos de los dos conos: el del espacio tiene 32,57° alrededor de Z, el del cuerpo 12,43° alrededor de z, y 32{,}57^\circ + 12{,}43^\circ = 45^\circ = \theta. Los círculos delgados del dibujo (azul y naranja) son un corte de cada cono: se tocan justo sobre la línea morada.

5 La aceleración angular no va por el eje instantáneo

La aceleración angular es la derivada de la velocidad angular:

Piensa en la punta de la flecha morada. Mientras el cuerpo se mueve, esa punta viaja por el borde del cono del espacio. \al es la «velocidad» de esa punta, así que apunta hacia donde la punta se está yendo, no hacia donde la flecha señala. Solo irían juntas si \w cambiara nada más de tamaño, que es lo que pasa en el plano.

Cuando la precesión es estable (\theta, \fp y \pp constantes), la flecha \w no cambia de tamaño: solo da vueltas alrededor de Z con la rapidez de precesión. Su derivada es entonces la de cualquier vector que gira (la regla del taller 14, «el que carga cruza al cargado»):

Un producto cruz es perpendicular a sus dos factores. Entonces, en precesión estable, \al es perpendicular a \w (por eso el tablero marca 90° en todo el rango de los deslizadores) y también a Z: es horizontal. Con los valores iniciales del simulador mide \fp\,\pp\,\sin\theta = 2 \times 5 \times \sin 45^\circ = 7{,}07 rad/s².

6 Los ángulos de Euler

Para decir cómo está orientado un cuerpo con un punto fijo hacen falta tres ángulos. Se parte con los ejes del cuerpo encima de los ejes fijos X, Y, Z, y se hacen tres giros en este orden (ya sabes por la sección 3 que el orden importa):

Cómo se arma \w

Son tres giros, cada uno una flecha sobre su eje, y se suman:

El problema es que \KK es del marco fijo y los otros dos son de los ejes de Euler. Hay que escribir \KK en los ejes x, y, z. El eje Z es perpendicular a x (no tiene componente ahí) y forma el ángulo \theta con z, así que:

Se reemplaza y se agrupa por componentes:

Con los valores iniciales del simulador: \omega_x = 0, \omega_y = 2\sin 45^\circ = 1{,}41 y \omega_z = 2\cos 45^\circ + 5 = 6{,}41 rad/s. Es lo que muestra el tablero, y |\w| = \sqrt{1{,}41^2 + 6{,}41^2} = 6{,}57 rad/s.

Cómo se arma \al

Hay que derivar \w, que está escrito en ejes que se mueven. Los ejes de Euler giran con la precesión y la nutación, pero no con el giro propio. Su velocidad angular es:

La derivada de un vector escrito en ejes que giran tiene dos partes: lo que cambian sus componentes, y lo que el giro de los ejes le cambia la dirección:

Primera parte: se deriva cada componente de \w con la regla del producto (recuerda que \theta también depende del tiempo, así que la derivada de \sin\theta es \tp\cos\theta y la de \cos\theta es -\tp\sin\theta):

Segunda parte: como \w = \Om + \pp\,\kk y un vector cruzado consigo mismo da cero, solo queda \Om\times\pp\,\kk. Con \ii\times\kk = -\jj y \jj\times\kk = \ii:

Sumando las dos partes:

7 Tres problemas resueltos

Problema 1 · El disco que rueda sin deslizar (tipo Hibbeler 20.1)

El eje OC mide 0,24 m y tiene su extremo O en una rótula fija a ras del piso. En C lleva un disco de radio 0,10 m, perpendicular al eje, que rueda sin deslizar sobre el piso horizontal. El eje da la vuelta alrededor de la vertical Z a 2 rad/s constantes, en sentido antihorario visto desde arriba. Halla la velocidad angular del disco, su aceleración angular, y la velocidad y la aceleración del punto B, el más alto del borde.

Problema 2 · El trompo con precesión estable (tipo Hibbeler 21.5)

El mismo eje con disco del simulador se usa ahora como trompo, apoyado en la rótula O sin tocar el piso. En el instante mostrado \theta = 30^\circ, la precesión es \fp = 3 rad/s y el giro propio \pp = 12 rad/s, los tres constantes. Halla \w, la dirección del eje instantáneo, \al, y la velocidad y la aceleración del centro A del disco, que está sobre el eje a 0,24 m de O.

La figura es el simulador: pulsa Datos del problema 2 en la sección 2 y compara el tablero con cada paso.

Problema 3 · Los tres ángulos cambian a la vez

Un giroscopio gira alrededor de su punto fijo O. En cierto instante \theta = 60^\circ, \fp = 2 rad/s (constante), \tp = 1{,}5 rad/s (constante) y \pp = 6 rad/s, que está aumentando a razón de \ddot\psi = 4 rad/s². Halla \w y \al en los ejes de Euler.

8 Ahora tú

Práctica 1 · con el simulador de árbitro

Mismo montaje de la sección 2, con \theta = 50^\circ, \fp = 4 rad/s y \pp = -3 rad/s (el disco gira al revés). Calcula a mano \w, su magnitud, el ángulo del eje instantáneo con Z, y \al. Después pon esos valores en el simulador y compara con el tablero.

Práctica 2 · El cono que rueda (tipo Hibbeler 20.2)

Un cono recto tiene semiángulo de 30° en el vértice y su generatriz (el lado inclinado, del vértice al borde de la base) mide 0,30 m. Rueda sin deslizar sobre el piso, con el vértice O fijo, y su eje da la vuelta alrededor de la vertical a 1,5 rad/s constantes, en sentido antihorario visto desde arriba. Halla \w, \al, y la velocidad y la aceleración del punto A, el más alto del borde de la base.

Inténtalo 20 minutos antes de abrir la primera pista. Ábrelas de a una.

9 Ponte a prueba

10 La receta para el día del parcial

1. Punto fijo y ejes. Marca O, el eje fijo Z y el eje del cuerpo z. El ángulo entre los dos es \theta.
2. Nombra las rapideces: \fp (precesión, en Z), \tp (nutación, en la línea de nodos x) y \pp (giro propio, en z). Escribe también las que valen cero.
3. Si rueda sin deslizar: el eje instantáneo es la línea de O al punto de contacto. Exige que \w vaya por ahí y despeja la rapidez que falta.
4. Velocidad angular: \omega_x = \tp, \omega_y = \fp\sin\theta, \omega_z = \fp\cos\theta + \pp. La magnitud, con Pitágoras; nunca sumando rapideces.
5. Aceleración angular: en precesión estable, \al = \Om\times\w con \Om = \fp\,\KK, y mide \fp\,\pp\sin\theta. Si algo más cambia, usa las tres fórmulas completas de la sección 6.
6. Puntos: \v = \w\times\r y \a = \al\times\r + \w\times(\w\times\r), con \r desde O.
7. Chequeo: \al perpendicular a \w en precesión estable; y un punto del eje del cuerpo se mueve en círculo alrededor de Z, así que su aceleración debe ser \fp^{\,2} por el radio de ese círculo, hacia Z.