Principios de Estática 2016640 · UNAL Bogotá · Parcial 2: equilibrio y estructuras

Corta, toma momentos, tensión o compresión.

Todo para el Parcial 2 del sábado 31 de octubre, sacado de nueve parciales 2 reales (2018-II a 2026-I) y ordenado según el programa: equilibrio en el plano y en el espacio, armaduras por nodos y por secciones, marcos y máquinas. Arriba va el plan hasta las 11:00; abajo, el simulacro con solución completa.

23:30 → 11:00

1 Plan de la noche, de largo hasta las 11:00

Noche de largo, en bloques de 30 a 45 minutos con 10 minutos entre uno y otro: agua, teléfono lejos y una línea con la meta del bloque. Lo más difícil va antes de las 3:00, cuando la cabeza todavía está fresca; lo de la madrugada es practicar y repetir. Si a las 4:00 se te cierran los ojos, una siesta de 20 minutos con alarma rinde más que pelearla. Marca cada bloque al terminarlo.

Ingeniería inversa de 9 parciales

2 Qué va a salir

Se revisaron uno por uno nueve parciales 2 del curso y el solucionario 2026-I con su supletorio. Esta es la frecuencia de cada tema. Es una frecuencia, no una promesa, pero el patrón es muy estable.

Parcial	Cuerpo rígido 3D	Armadura por secciones	Armadura por nodos o carga máx.	Marco con polea	Máquina	Parte conceptual

● aparece · ○ no aparece · ◌ del 2026-I solo vi la Parte A, el punto 5 y el supletorio; los puntos 2 a 4 no venían en el PDF.

Predicción para el sábado

Un marco o máquina (salió en 9 de 9). Casi siempre trae un elemento de dos fuerzas (cilindro hidráulico, eslabón, puntal) o una polea. El montacarga salió igualito en 2020-II y en el supletorio 2026-I: el profesor repite problemas.
Una armadura (8 de 9). Viene en una de dos versiones: «halle las fuerzas en las barras X, Y, Z» (secciones) o «halle la carga máxima si la tensión admisible es… y la compresión admisible es…» (nodos).
Un cuerpo rígido en 3D (7 de 9): rótula o bisagras más uno o dos cables. Vale mucho: en 2026-I fueron 10 puntos.
Probable Parte A conceptual como la de 2026-I: dibujar DCL, identificar barras de fuerza cero y verdadero/falso sobre marcos.

No estudies centroides esta noche. El programa los ve en la semana 8, pero delimita el parcial 2 como «equilibrio y estructuras», y en 9 parciales no apareció ni una vez.

Cómo pregunta el profesor (y cómo se gana el punto)

«Justifique plenamente… respuestas sin justificación NO son válidas.» Así arranca la Parte A del 2026-I. En la V/F no basta marcar: escribe una línea con la razón (qué tipo de elemento es, qué regla de nodo aplicaste).
«Indique si están en tensión o compresión.» Aparece en casi todas las armaduras. Un número sin (T) o (C) pierde parte del punto.
Los datos vienen en la figura, acotados, y a veces sobra uno (en la red de pesca te dan \(\vec T_{AC}\) completo: con él sobran ecuaciones y se usan para verificar).
Unidades mezcladas entre puntos: kN en uno, N o kgf en otro, lb en los de libro. Si te dan masa, multiplica por 9.81.
Ejes que cambian: z arriba en unos, y arriba en otros (2026-I). Antes de escribir una coordenada, mira la figura.
Partes encadenadas: en marcos, el inciso b) usa la fuerza del a). Encierra cada resultado y verifica con la ecuación que sobra antes de seguir.
Repite montajes: el montacarga salió dos veces; la armadura con carga admisible, tres.

Lo que no entendías

3 El método de secciones, desde cero

La idea en una imagen Piensa en una cuerda tensa de la que cuelga una lámpara. Si la cortas con unas tijeras y no quieres que la lámpara caiga, tienes que agarrar los dos extremos cortados y jalar con la misma fuerza que tenía la cuerda. Esa fuerza que pones con la mano es la fuerza interna de la cuerda.

El método de secciones es exactamente eso, aplicado a una armadura: pasas una sierra imaginaria por la estructura, te quedas con un pedazo, y en cada barra cortada pones «la mano», que es una fuerza a lo largo de la barra. Como el pedazo sigue quieto, cumple \(\sum F_x=0\), \(\sum F_y=0\), \(\sum M=0\). Tres ecuaciones, así que puedes cortar como máximo tres barras desconocidas.

Memotecnia del método de secciones

Corta, tapa, jala, gira y suma.

Cinco verbos, cinco pasos. Dilo en voz alta antes de cada armadura del parcial.

Para el signo

Tensión tira (+) · Compresión choca (−)

Siempre dibujas la barra jalando. Si sale positivo, de verdad tira. Si sale negativo, en realidad choca contra el nodo.

La diferencia con nodos: en nodos revisas la armadura nudo por nudo, como si buscaras a alguien revisando casa por casa desde la esquina. En secciones vas directo a la casa que te importa. Por eso, cuando el enunciado pide «las fuerzas en las barras BC, CH» en mitad de la armadura, secciones es lo rápido.

Si el enunciado dice…	Usa	Por qué
«Determine las fuerzas en las barras CD, CJ y DJ»	Secciones	Un corte por esas tres barras y listo.
«Determine la fuerza en todos los elementos»	Nodos	Necesitas todas; empieza por un nodo con 2 incógnitas.
«Carga máxima si la tensión admisible es… y la compresión…»	Nodos (o mixto)	Necesitas encontrar la barra más cargada, y suelen ser las de los extremos.
«¿Hay elementos de fuerza cero?»	Inspección	Dos reglas de nodos, sin cuentas (más abajo).

La receta, en orden

Reacciones primero, con la armadura completa. \(\sum M\) en el pasador, \(\sum F_y\), \(\sum F_x\). A veces no hacen falta todas: si te quedas con el lado del rodillo, solo necesitas la reacción del rodillo.
Pasa el corte por las barras que te piden, máximo 3 desconocidas, y que el corte parta la armadura en dos pedazos completos.
Quédate con el lado que tenga menos fuerzas. El otro lado lo tapas con la mano. No existe para ti.
Dibuja cada barra cortada en tensión: la flecha sale del pedazo, alejándose del corte, como la mano jalando la cuerda. No adivines el sentido. El signo de la respuesta te lo dirá: + tensión, − compresión.
\(\sum M\) en el punto donde se cruzan dos de las incógnitas. Esas dos pasan por el punto y su momento es cero, así que la ecuación tiene una sola incógnita. Repite con otro cruce.
La última con \(\sum F_y\) o \(\sum F_x\), y verifica con la ecuación que no usaste.

Frase del paso «gira»

Donde se cruzan dos, sale la tercera.

Por qué funciona el paso 5 Una puerta no gira si empujas justo en la bisagra. Una fuerza cuya línea de acción pasa por el punto de momentos tiene brazo cero. Si escoges el punto donde se cruzan dos barras cortadas, esas dos desaparecen de la ecuación y queda una sola incógnita. Ese punto no tiene que estar en el pedazo; puede estar en el aire, fuera de la armadura.

Regla de signos para momentos (la que usa el profesor: antihorario +)

Imagina una llave de tuercas en el punto de momentos. Empujar hacia la derecha por encima del punto la gira en sentido horario (−). Empujar hacia la derecha por debajo la gira antihorario (+). Una fuerza hacia arriba a la izquierda del punto gira horario (−); hacia abajo a la izquierda gira antihorario (+). Con esas cuatro te alcanza para todo.

Para más ejercicios con figura que se mueve: Taller 09 · Armaduras, que trae la de 2022-I resuelta por secciones.

Ejemplo resuelto: el supletorio 2026-I, ahora con un corte

Es el punto 1 del supletorio 2026-I. El profesor lo resolvió por nodos (A, C, B, E, G). Aquí sacamos tres barras centrales con un solo corte y comprobamos que da lo mismo.

Armadura del supletorio 2026-I, figura 1: nodos A, B, D arriba, C, E abajo y G a la derecha, carga F en C y 2F en E — Fig. 1 del supletorio 2026-I. Cada tramo mide 1 m; altura 1 m. A es pasador, G rodillo.

Paso 1. Reacciones (las mismas del solucionario):

\[\sum M_A=0:\;\; 3G_y-2(2F)-1(F)=0\;\Rightarrow\; G_y=\tfrac{5}{3}F \qquad \sum F_y=0:\;\; A_y+G_y-3F=0\;\Rightarrow\; A_y=\tfrac{4}{3}F \qquad A_x=0\]

Paso 2. Corte a–a entre x = 1 m y x = 2 m. Corta BD, BE y CE (tres incógnitas). Me quedo con el lado izquierdo: nodos A, B, C. Las tres barras van dibujadas en tensión, saliendo del pedazo.

Abajo va la misma solución escrita, para copiarla en el cuaderno.

Paso 3. \(\sum M_E=0\). BE y CE se cruzan en E, así que no aparecen. Fuerzas que quedan en el pedazo izquierdo:

\(A_y=\tfrac43F\) hacia arriba, 2 m a la izquierda de E: arriba a la izquierda gira horario, signo −.
\(F\) hacia abajo en C, 1 m a la izquierda de E: abajo a la izquierda gira antihorario, signo +.
\(F_{BD}\) hacia la derecha en B, 1 m por encima de E: derecha por encima gira horario, signo −.

\[\sum M_E = -\tfrac{4}{3}F(2)+F(1)-F_{BD}(1)=0 \;\Rightarrow\; F_{BD}=-\tfrac{8}{3}F+F=-\tfrac{5}{3}F=-1.667F\]

Salió negativa: la barra no jala, empuja. BD está en compresión, 1.667F.

Paso 4. \(\sum M_B=0\). BD y BE se cruzan en B.

\(A_y\) arriba, 1 m a la izquierda de B: −.
\(F\) en C está justo debajo de B: brazo horizontal cero, no cuenta.
\(F_{CE}\) hacia la derecha en C, 1 m por debajo de B: derecha por debajo gira antihorario, +.

\[\sum M_B=-\tfrac{4}{3}F(1)+F_{CE}(1)=0\;\Rightarrow\;F_{CE}=+\tfrac{4}{3}F=+1.333F\]

CE en tensión, 1.333F.

Paso 5. \(\sum F_y=0\) (arriba +). BD y CE son horizontales, no aportan. BE en tensión jala desde B hacia E, es decir hacia abajo a la derecha a 45°, así que su componente vertical es \(-F_{BE}\sin45^\circ\).

\[\sum F_y=\tfrac{4}{3}F-F-F_{BE}\sin45^\circ=0\;\Rightarrow\;F_{BE}=\frac{F/3}{0.7071}=+0.4714F\]

BE en tensión, 0.471F. Verificación con \(\sum F_x\):

\[F_{BD}+F_{BE}\cos45^\circ+F_{CE}=-1.667F+0.333F+1.333F=0\;\checkmark\]

Barra	Por secciones (1 corte)	Solucionario del profesor (nodos)
BD	−1.667F	−1.6666F
CE	+1.333F	+1.3333F
BE	+0.471F	+0.4714F

Y la pregunta real del supletorio: la carga máxima

Pedía el F máximo si la tensión admisible es 5 kN y la compresión 3 kN. Aquí necesitas todas las barras (nodos), porque no sabes cuál es la más cargada. Resultados en función de F:

AB	AC	BC	BD	BE	CE	DE	DG	EG
−1.333	+1.886	−0.333	−1.667	+0.471	+1.333	+1.667	−2.357	+1.667

\[\text{Tensión máx: } 1.886F\le 5\Rightarrow F\le2.652\text{ kN}\qquad \text{Compresión máx: } 2.357F\le3\Rightarrow F\le 1.273\text{ kN}\]

Frase de la carga máxima

Todo con F = 1, divide el límite, el más débil manda.

F_máx = 1.273 kN (gana el menor de los dos). Las críticas fueron AC y DG, las de los extremos, que salen con un solo nodo cada una (A y G) porque ahí ya conoces la reacción.

Pregúntate antes de seguir

1. ¿Por qué para hallar F_BD tomé momentos en E y no en C?

En C se cruzan CE y la barra BC, pero BC no está cortada; las que se cruzan entre las cortadas son BE y CE, y eso pasa en E. En C solo desaparece CE, y te quedarían BD y BE juntas.

2. Si hubieras supuesto BD en compresión (flecha hacia el pedazo), ¿qué habría salido?

+1.667F. El número es el mismo; el signo solo te dice si tu suposición era correcta. Por eso conviene suponer siempre tensión: el signo se lee directo.

Para que lo veas moverse

4 Laboratorio de cortes

Armadura Pratt de 6 tramos de 2 m, altura 1.5 m (las diagonales miden 2.5 m: triángulo 3-4-5, por eso \(\sin\theta=0.6\), \(\cos\theta=0.8\)). Escoge en qué tramo cortar, cambia las cargas y mira cómo salen las tres ecuaciones. Las barras se pintan verde tensión y rojo compresión, calculadas por nodos para que compares.

Corte en el tramo:

Cargas (kN):

tensióncompresiónfuerza cerocorte y punto de momentos

Predice primero, luego comprueba Con las cinco cargas iguales, pasa el corte del tramo 3 al tramo 4. ¿La diagonal cortada cambia de tensión a compresión? ¿Por qué el cordón inferior del tramo 3 y el del tramo 4 dan igual? Piensa la respuesta y luego mueve el corte. Pista: en el centro de la armadura el «cortante» \(A_y-\sum P\) cambia de signo.

Reglas del ojo: quién tira y quién choca

Ojo: casi todo el mundo lo recuerda al revés

La cercha sonríe: arriba aprieta, abajo estira.

Apoyada en sus dos extremos y con las cargas hacia abajo, la armadura se dobla como una viga, en sonrisa. Lo de arriba se aprieta: compresión. Lo de abajo se estira: tensión. Piensa en un colchón cuando te acuestas en el centro: la tela de abajo se estira. En un voladizo es al revés.

Regla	Qué esperar	Cuándo falla
Cordón de arriba, armadura apoyada en los extremos	compresión	En un voladizo o con cargas hacia arriba
Cordón de abajo, armadura apoyada en los extremos	tensión	Igual que arriba
Voladizo que sale de un muro	arriba tensión, abajo compresión	Si la carga empuja hacia arriba
Barras de los extremos que bajan al apoyo (los «hombros»)	compresión, y de las más cargadas	Casi nunca con cargas hacia abajo
Diagonales que bajan hacia el centro (Pratt)	tensión; los montantes chocan	Cuando las cargas no son simétricas, revisa cerca del centro
Diagonales que suben hacia el centro (Howe)	compresión; los montantes tiran	Igual
Cordones paralelos (puente)	Lo más cargado está en el centro	Con una sola carga cerca de un apoyo
Techo triangular	Lo más cargado está junto a los apoyos	Con cargas muy desiguales
Barras de fuerza cero	Existen y valen 0 con esta carga: están para dar rigidez, evitar que una barra larga se pandee y aguantar si la carga cambia	Si cambias de nudo la carga, dejan de ser cero

Cómo usarlas en el parcial: para revisar el signo cuando termines, nunca para reemplazar la cuenta. Si en un puente apoyado te sale el cordón de arriba en tensión, algo está mal: casi siempre la dirección de la flecha o un seno por coseno. El profesor pide la (T) o la (C) calculada.

Parte A del 2026-I

5 Nodos, fuerza cero y las preguntas conceptuales

Memotecnia de nodos

Nodo con dos, por ahí voy.

Solo puedes resolver un nodo que tenga máximo dos barras desconocidas: dos ecuaciones, dos incógnitas. Empieza en un apoyo.

Método de nodos en una línea: escoge un nodo con máximo dos incógnitas, dibuja las barras en tensión (saliendo del nodo), \(\sum F_x=0\), \(\sum F_y=0\). Pasa al siguiente nodo usando lo que ya sabes. Siempre empieza en un apoyo.

Regla 1 · nodo con dos barras, sin carga

Si las dos barras no son colineales, las dos valen cero. Ninguna puede equilibrar a la otra.

Regla 2 · tres barras, dos colineales, sin carga

La barra que no es colineal vale cero, y las dos colineales son iguales. Es la que más sale.

Fuerza cero en dos frases

Dos solas sin carga: cero las dos.
Dos en línea y una suelta: la suelta es cero.

Y luego: «borra el cero y mira al vecino», porque los ceros caen como fichas de dominó.

Las reglas se encadenan: cuando una barra da cero, la borras, y entonces el nodo vecino puede cumplir una regla que antes no cumplía. Eso es lo que pasó en el 2026-I.

Armadura del punto A2 del parcial 2026-I con carga P en H — Parcial 2026-I, A.2. Respuesta del solucionario: sí, FG, EF, DE y CD.

La cadena: en G llegan tres barras, dos colineales y sin carga, así que FG = 0. Al borrar FG, el nodo F queda con dos colineales y EF, entonces EF = 0. Sigue igual en E (DE = 0) y en D (CD = 0). Cuatro ceros por efecto dominó, sin una sola cuenta.

Las verdaderas y falsas del 2026-I, explicadas

«En el análisis de un armazón (marco)»:

Cómo dibujar un DCL que no te cueste puntos

Punto A1 del parcial 2026-I: dos situaciones y sus DCL resueltos — Parcial 2026-I, A.1, con los DCL del solucionario.

Aísla el cuerpo: dibújalo solo, sin piso, sin pared, sin cables.
Peso en el centro (barra uniforme: a la mitad).
Cada contacto que quitaste se vuelve fuerza según su tipo: pasador \(A_x, A_y\); rodillo o superficie lisa, una normal perpendicular a la superficie; cable, tensión a lo largo del cable alejándose del cuerpo; elemento de dos fuerzas, una fuerza a lo largo de la línea entre sus pasadores.
Pon las cotas que vas a usar para momentos.
Cuenta: en el plano, máximo 3 incógnitas por cuerpo si quieres resolverlo solo.

En el segundo DCL el solucionario pone \(B_x\) y \(B_y\) en B porque ahí se une otra pieza con un pasador. Si esa pieza tiene solo dos pasadores y nada en medio, puedes cambiar \(B_x, B_y\) por una sola fuerza en la dirección de la pieza y te ahorras una incógnita.

9 de 9 parciales

6 Marcos y máquinas

La idea en una imagen Unas tijeras: aprietas los mangos con poca fuerza y en la hoja sale una fuerza grande. Una máquina recibe una fuerza por un lado y la entrega transformada por otro. Un marco es lo mismo pero quieto, sosteniendo algo. En ambos casos hay al menos una pieza con tres o más fuerzas, y esa pieza no trabaja solo a tensión o compresión: también se dobla. Por eso no puedes usar nodos; tienes que desarmar.

Memotecnia de marcos y máquinas

Las 4 D: Dos fuerzas, DCL total, Desarma, Devuelve.

Dos fuerzas: encuentra las piezas de dos pasadores. DCL total: el conjunto completo primero. Desarma: pieza por pieza. Devuelve: lo que una pieza recibe en un pasador, la otra lo recibe al revés.

Poleas

La polea no cobra peaje: la misma T entra y la misma T sale.

La receta

Busca los elementos de dos fuerzas antes de cualquier cuenta. Pieza recta o curva con solo dos pasadores y nada en medio: su fuerza va en la línea que une los pasadores. Los cilindros hidráulicos y los eslabones casi siempre lo son. Cada uno te ahorra una incógnita.
DCL de todo el conjunto. Si quedan 3 incógnitas externas, resuélvelas ya. Si quedan 4, saca las que puedas (un momento en un pasador suele dar una).
Desarma. En cada pasador que separes, las fuerzas son iguales y opuestas en las dos piezas (si en una pieza \(C_x\) va a la derecha, en la otra va a la izquierda). Usa el mismo nombre en ambas.
Poleas: el cable tiene la misma tensión T a los dos lados (polea ideal). Truco: deja la polea pegada al pasador y pon directamente las dos tensiones del cable, o separa la polea y en su pasador pon la suma de las dos tensiones.
Empieza por la pieza con menos incógnitas y toma momentos en el pasador que tenga más incógnitas.
Verifica con una ecuación que no usaste, idealmente del conjunto completo.

Para practicar desarmando con el dedo: Taller 10 · Marcos y máquinas, con el marco con polea de 2019-II completo.

Ejemplo resuelto: el montacarga (2020-II y supletorio 2026-I)

Salió en dos semestres distintos, cambiando solo W (5 kN y 10 kN). Apréndetelo de memoria.

Montacarga con horquilla, eslabón AB, palanca CDE y cilindro hidráulico DF — Fig. 2 del supletorio 2026-I. W = 10 kN en la horquilla.

Identifica: AB es un eslabón con dos pasadores: elemento de dos fuerzas, fuerza vertical. El cilindro DF también: su fuerza va a lo largo de DF, inclinada \(\alpha=\tan^{-1}(0.2/0.3)=33.69^\circ\) respecto a la vertical. La horquilla (con B, C y la carga W) es la pieza de tres fuerzas.

Horquilla. Momentos en B elimina la fuerza del eslabón. C está a 0.2 m de B y W a 0.2 + 0.7 = 0.9 m:

\[\sum M_B=0:\;\;0.2F_C-0.9W=0\;\Rightarrow\;F_C=4.5W=45\text{ kN}\] \[\sum F_y=0:\;\;F_{BA}+F_C-W=0\;\Rightarrow\;F_{BA}=10-45=-35\text{ kN}\]

El signo menos dice que el eslabón empuja la horquilla hacia abajo en B: 35 kN.

Palanca CDE (pivote fijo en E). En C actúa \(F_C\) en sentido contrario (acción y reacción). Momentos en E elimina \(E_x, E_y\). Ambos brazos valen 0.15 m:

\[\sum M_E=0:\;\;-F_{DF}\cos\alpha\,(0.15)+F_C(0.15)=0\;\Rightarrow\;F_{DF}=\frac{45}{\cos33.69^\circ}=54.08\text{ kN}\] \[\sum F_y=0:\;\;F_{DF}\cos\alpha+E_y-F_C=0\Rightarrow E_y=0 \qquad \sum F_x=0:\;\;E_x=F_{DF}\sin\alpha=30\text{ kN}\]

Cilindro DF: 54.08 kN · F_C = 45 kN · eslabón AB: 35 kN · E_x = 30 kN, E_y = 0

Todo es lineal en W. Con W = 5 kN (2020-II) todo sale a la mitad: C = 22.5 kN, F_DF = 27.04 kN, E_x = 15 kN.

7 de 9 parciales · 10 puntos en 2026-I

7 Equilibrio del cuerpo rígido en 3D

La idea en una imagen Un cuerpo en el espacio se puede mover de seis maneras: tres desplazamientos (x, y, z) y tres giros (alrededor de x, y, z). Equilibrio es bloquear las seis: \(\sum\vec F=\vec 0\) y \(\sum\vec M=\vec 0\), seis ecuaciones escalares. Cada apoyo bloquea algunas, y cada movimiento que bloquea es una incógnita.

Apoyo	Incógnitas	Qué bloquea
Cable	1	Tensión T a lo largo del cable, alejándose del cuerpo: \(\vec T=T\,\dfrac{\vec r_{\text{destino}}-\vec r_{\text{origen}}}{\|\cdots\|}\)
Superficie lisa / bola	1	Normal perpendicular a la superficie
Rótula (bola y cuenca)	3	\(O_x,O_y,O_z\); deja girar en todo sentido
Bisagra o cojinete	2 a 5	Dos fuerzas perpendiculares al eje. Si hay dos bisagras bien alineadas, solo fuerzas (no pares). Si el enunciado dice «no ejerce fuerza axial», quita la del eje.
Empotramiento	6	3 fuerzas y 3 pares

Memotecnia de 3D

PUMS: Puntos, Unitarios, Momento en la rótula, Suma.

Y para cada cable: «destino menos origen», saliendo del cuerpo. Para la rótula: «gira libre, no frena giros»: 3 fuerzas, 0 pares.

La receta

Lee los ejes de la figura. Ojo: en 2026-I y era vertical; en otros parciales z es vertical. El peso va en el eje vertical de esa figura.
Coordenadas de todos los puntos y vectores unitarios de cada cable (destino menos origen).
\(\sum\vec M=\vec 0\) en el apoyo con más incógnitas (la rótula: borra 3 de golpe). Producto cruz por determinante, componente por componente.
Si dos apoyos están sobre una línea (bisagras de una puerta), toma momento respecto a ese eje: \(\hat u\cdot(\vec r\times\vec F)\). Desaparecen todos los apoyos de esa línea.
\(\sum\vec F=\vec 0\) para las reacciones que falten.

Para momentos respecto a un eje (puertas y tapas con bisagras): Taller 08 · Equilibrio en el espacio, con la tapa de 2022-I.

Ejemplo resuelto: la red de pesca (2026-I, punto 5)

Barra OA con rótula en O sostenida por cuerdas AB y AC; de A cuelga una red — Barra OA de 60 kg, red de 240 kg, \(\vec T_{AC}=-739.2\,\hat\imath+92.4\,\hat\jmath-1109\,\hat k\) N. Aquí y es vertical.

\[\vec r_{OA}=(2.4,\,1.8,\,0.6)\text{ m}\qquad \vec r_{AB}=(-1.2,3,1.5)-(2.4,1.8,0.6)=(-3.6,\,1.2,\,0.9)\] \[\hat e_{AB}=\frac{(-3.6,\,1.2,\,0.9)}{3.9}=(-0.9231,\;0.3077,\;0.2308)\] \[W_{red}=240(9.81)=2354.4\text{ N}\qquad W_{barra}=60(9.81)=588.6\text{ N en el punto medio}\]

Momentos en O borra \(O_x,O_y,O_z\). Truco del solucionario: el peso de la barra actúa en \(\vec r_{OA}/2\), así que \(\tfrac12\vec r_{OA}\times\vec W_b=\vec r_{OA}\times\tfrac12\vec W_b\), y todo queda multiplicado por el mismo \(\vec r_{OA}\):

\[\vec r_{OA}\times\left[T_{AB}\hat e_{AB}+\vec T_{AC}+\vec W_{red}+\tfrac12\vec W_b\right]=\vec 0\]

Queda una sola incógnita y tres ecuaciones (sobra información porque te dieron \(\vec T_{AC}\)). Usa una para despejar y las otras para verificar. La componente \(\hat\imath\) da \(T_{AB}\approx2003.8\) N, la \(\hat\jmath\) da 2002.4 N y la \(\hat k\) 2001.9 N; difieren por el redondeo de \(\vec T_{AC}\).

\[\sum\vec F=\vec 0:\;\;\vec O=-\left(T_{AB}\hat e_{AB}+\vec T_{AC}+\vec W_{red}+\vec W_b\right)\approx(2587,\;2235,\;647)\text{ N}\]

T_AB ≈ 2002 N · O ≈ 2587 î + 2235 ĵ + 647 k̂ N

Formato 2026-I · problemas nuevos

8 Simulacro del Parcial 2

Hazlo con cronómetro, en papel, sin abrir las soluciones hasta terminar (en el plan va de 6:15 a 8:15). Los cuatro puntos siguen exactamente el patrón de los parciales: Parte A conceptual, armadura por secciones, marco con polea y cuerpo rígido en 3D. Todos los resultados están verificados numéricamente.

2:00:00Sugerido: A 25 min · P1 30 min · P2 30 min · P3 35 min

Parte A · 8 puntos

Preguntas de respaldo con justificación

A.1 (2 pts) · Dibuja el DCL de la barra AB

La barra AB es uniforme, de peso W. En A está unida al piso con un pasador y en B descansa contra una pared vertical lisa. En C, a 3/4 de la longitud medida desde A, cuelga un bloque de peso Q de una cuerda.

Ver el DCL correcto

\(A_x\), \(A_y\) en el pasador.
\(N_B\) horizontal, perpendicular a la pared y alejándose de ella. Pared lisa, cero fricción, nada vertical en B.
\(W\) a la mitad, vertical hacia abajo.
\(Q\) en C: la cuerda transmite el peso del bloque. No dibujes el bloque en el DCL de la barra.

Tres incógnitas, tres ecuaciones: se puede resolver. Si te dan L = 4 m, θ = 60°, W = 400 N y Q = 600 N: \(\sum M_A:\;N_B(L\sin60^\circ)=W\tfrac L2\cos60^\circ+Q\tfrac{3L}4\cos60^\circ\Rightarrow N_B=375.3\) N, \(A_x=375.3\) N, \(A_y=1000\) N.

A.2 (2 pts) · ¿Hay elementos de fuerza cero?

La armadura Pratt tiene una sola carga de 20 kN en L3. Toca las barras que creas que valen cero y luego revisa.

Ver la justificación

U1L1, U3L3 y U5L5. En L1 llegan L0L1 y L1L2 (colineales) y U1L1, sin carga: regla 2, U1L1 = 0. Igual en L5. En U3 llegan U2U3 y U3U4 (colineales) y U3L3, sin carga: U3L3 = 0. Ojo: U2L2 y U4L4 no son cero, porque en L2 y L4 también llega una diagonal.

A.3 (4 pts) · Verdadero o falso

Punto 1 · armadura por secciones

Armadura de techo

La armadura soporta las cargas mostradas. A es un pasador y E un rodillo. Determine las fuerzas en las barras FG, FC y BC e indique si están en tensión o compresión. ¿Hay alguna barra de fuerza cero que se vea sin hacer cuentas?

Ver la solución paso a paso

Reacciones (A pasador, E rodillo):

\[\sum M_A=0:\;\;12E_y-12(3)-12(6)-12(9)-8(9)=0\;\Rightarrow\;E_y=\frac{288}{12}=24\text{ kN}\] \[\sum F_y=0:\;\;A_y=12+12+12+8-24=20\text{ kN}\qquad A_x=0\]

Corte entre x = 3 m y x = 6 m: corta FG, FC y BC. Me quedo con la izquierda (A, B, F), que tiene menos fuerzas. Geometría: FG y FC tienen pendiente 1.5/3, así que su unitario es \((2,\pm1)/\sqrt5\).

\(\sum M_C=0\): FC y BC pasan por C. Para el momento de \(F_{FG}\), deslízala por su línea hasta G, que está justo encima de C: su componente vertical pasa por C (brazo cero) y solo cuenta la horizontal, \(\tfrac{2}{\sqrt5}F_{FG}\), con brazo 3 m por encima de C (derecha por encima: −).

\[\sum M_C=-20(6)+12(3)-\tfrac{2}{\sqrt5}F_{FG}(3)=0\;\Rightarrow\;F_{FG}=\frac{-84\sqrt5}{6}=-31.30\text{ kN}\]

FG: 31.30 kN en compresión.

\(\sum M_F=0\): FG y FC pasan por F. \(A_y\) está 3 m a la izquierda (arriba a la izquierda: −); la carga de 12 kN está en F (brazo cero); \(F_{BC}\) jala a la derecha 1.5 m por debajo de F (+).

\[\sum M_F=-20(3)+1.5F_{BC}=0\;\Rightarrow\;F_{BC}=+40\text{ kN}\]

BC: 40 kN en tensión.

\(\sum F_x=0\): FG y FC apuntan hacia la derecha, BC también.

\[\tfrac{2}{\sqrt5}(-31.30)+\tfrac{2}{\sqrt5}F_{FC}+40=0\;\Rightarrow\;F_{FC}=-\tfrac{\sqrt5}{2}(40-28)=-13.42\text{ kN}\]

FC: 13.42 kN en compresión. Verificación con \(\sum F_y\):

\[20-12+\tfrac{1}{\sqrt5}(-31.30)-\tfrac1{\sqrt5}(-13.42)=8-14+6=0\;\checkmark\]

Fuerza cero: BF. En B llegan AB y BC (colineales) y BF, sin carga en B.

F_FG = 31.30 kN (C) · F_FC = 13.42 kN (C) · F_BC = 40 kN (T) · BF = 0

Punto 2 · marco con polea

Viga con puntal y polea

El marco está formado por la viga ABC y el puntal BD, unidos con pasadores a la pared en A y D. En C hay una polea de 0.25 m de radio. Un cable atado a la pared en E pasa horizontal por encima de la polea y sostiene una masa de 200 kg. Desprecie los pesos de los elementos. Determine: (a) la fuerza en el puntal BD y si es tensión o compresión, (b) las componentes de la reacción en A, (c) la fuerza total que la polea ejerce sobre el pasador C.

Ver la solución paso a paso

Identifica. BD tiene solo dos pasadores y nada en medio: elemento de dos fuerzas, su fuerza va a lo largo de BD. BD baja 1.5 m en 2 m de horizontal: largo 2.5 m, unitario de B hacia D \((-0.8,\,-0.6)\). ABC tiene tres puntos con fuerza: es la pieza que se desarma.

Polea. \(W=200(9.81)=1962\) N. Polea ideal: la tensión es 1962 N en todo el cable. Sobre la polea actúan 1962 N hacia la izquierda (el tramo horizontal que va a la pared) y 1962 N hacia abajo (el tramo de la masa). La polea se las pasa al pasador C:

\[\vec F_C=(-1962,\;-1962)\text{ N}\qquad |\vec F_C|=1962\sqrt2=2774.7\text{ N a }45^\circ\]

DCL de ABC: \(A_x, A_y\); \(F_{BD}\) en B supuesta en tensión (jala B hacia D); y \(\vec F_C\) en C.

\[\sum M_A=0:\;\;(-0.6F_{BD})(2)+(-1962)(3.5)=0\;\Rightarrow\;F_{BD}=-\frac{6867}{1.2}=-5722.5\text{ N}\]

Las componentes horizontales (de BD y de C) están a la altura de A: brazo cero. BD: 5.72 kN en compresión, el puntal empuja la viga hacia arriba.

\[\sum F_x=0:\;\;A_x-0.8F_{BD}-1962=0\;\Rightarrow\;A_x=1962-4578=-2616\text{ N}\] \[\sum F_y=0:\;\;A_y-0.6F_{BD}-1962=0\;\Rightarrow\;A_y=1962-3433.5=-1471.5\text{ N}\]

Verificación con todo el conjunto (marco + polea + cable). Externas: A, la fuerza de la pared sobre el puntal en D, \((4578,\,3433.5)\) N, el cable en E (1962 N hacia la izquierda a 3.25 m) y el peso (1962 N abajo en x = 3.75 m). Momentos en A: \(-(1.5-3)(4578)+(-(3.25-3))(-1962)+3.75(-1962)=6867+490.5-7357.5=0\). Cierra.

(a) F_BD = 5.72 kN (C) · (b) A_x = 2616 N ←, A_y = 1471.5 N ↓ · (c) 2774.7 N a 45°

Punto 3 · 10 puntos · cuerpo rígido en 3D

Aguilón con rótula y dos cables

El aguilón OA de 4 m pesa 600 N y está sostenido por una rótula en O, sobre la pared, y por los cables AB y AC. En A cuelga una carga de 3 kN. Ejes como en clase: z hacia arriba, y hacia la derecha a lo largo del aguilón, x hacia ti. Coordenadas en metros: O(0,0,0), A(0,4,0), B(−2,0,4), C(4,0,2). Determine las tensiones en AB y AC y la reacción en O.

Ver la solución paso a paso

Unitarios (destino menos origen, desde A):

\[\vec r_{AB}=(-2,-4,4),\;|\vec r_{AB}|=6\;\Rightarrow\;\hat e_{AB}=\left(-\tfrac13,-\tfrac23,\tfrac23\right)\qquad \vec r_{AC}=(4,-4,2),\;|\vec r_{AC}|=6\;\Rightarrow\;\hat e_{AC}=\left(\tfrac23,-\tfrac23,\tfrac13\right)\]

Momentos en O (borra \(O_x,O_y,O_z\)). Todas las fuerzas actúan sobre el eje y, en A (y = 4) o en el punto medio (y = 2). Para \(\vec r=(0,b,0)\): \(\vec r\times(F_x,F_y,F_z)=(b\,F_z,\;0,\;-b\,F_x)\).

Componentes de la suma de fuerzas en A: \(F_x=-\tfrac13T_B+\tfrac23T_C\), \(F_z=\tfrac23T_B+\tfrac13T_C-3000\).

\[\hat\imath:\;\;4\left(\tfrac23T_B+\tfrac13T_C-3000\right)+2(-600)=0\;\Rightarrow\;2T_B+T_C=9900\] \[\hat k:\;\;-4\left(-\tfrac13T_B+\tfrac23T_C\right)=0\;\Rightarrow\;T_B=2T_C\] \[\hat\jmath:\;\;0=0\]

La componente \(\hat\jmath\) es idénticamente cero: todas las fuerzas cortan el eje del aguilón, así que nada lo hace girar sobre sí mismo. Por eso 5 incógnitas alcanzan con 5 ecuaciones útiles.

\[5T_C=9900\;\Rightarrow\;T_C=1980\text{ N}\qquad T_B=3960\text{ N}\]

Suma de fuerzas:

\[O_x-\tfrac13(3960)+\tfrac23(1980)=0\Rightarrow O_x=0\] \[O_y-\tfrac23(3960)-\tfrac23(1980)=0\Rightarrow O_y=3960\text{ N}\] \[O_z+\tfrac23(3960)+\tfrac13(1980)-3000-600=0\Rightarrow O_z=300\text{ N}\]

\(O_y\) positivo: la pared empuja el aguilón hacia afuera porque los cables lo jalan hacia ella. El aguilón trabaja a compresión.

T_AB = 3960 N · T_AC = 1980 N · O = (0, 3960, 300) N

Para la madrugada

9 Dos ejercicios más

Ejercicio 1 · carga máxima admisible

En la armadura Pratt del laboratorio se ponen cinco cargas iguales P en L1 a L5. Las barras resisten 60 kN a tensión y 45 kN a compresión. Halla el P máximo. Pista: con cargas simétricas, las barras más cargadas están en el centro; un corte en el tramo 3 te da el cordón superior y el inferior de una vez.

Ver respuesta

Con P = 1: \(A_y=2.5\). Corte en el tramo 3: \(F_{L2L3}=+5.333P\) (máx. tensión) y \(F_{U2U3}=-6P\) (máx. compresión).

\[5.333P\le60\Rightarrow P\le11.25\text{ kN}\qquad 6P\le45\Rightarrow P\le7.5\text{ kN}\]

P_máx = 7.5 kN (manda la compresión en U2U3 y U3U4). Compruébalo en el laboratorio poniendo 7.5 en todas las cargas: U2U3 debe marcar −45.

Ejercicio 2 · el montacarga con otro W

Repite el montacarga completo, sin mirar arriba, con W = 8 kN. Halla la fuerza del cilindro DF, la fuerza en C, la del eslabón AB y la reacción en E.

Ver respuesta

F_C = 36 kN · F_AB = 28 kN (empuja hacia abajo en B) · F_DF = 43.27 kN · E_x = 24 kN, E_y = 0

Si te dio otra cosa, revisa el brazo de W: es 0.9 m desde B (0.2 + 0.7), no 0.7.

Lo último que lees antes de entrar

10 Hoja final

Las seis frases que te llevas

Corta, tapa, jala, gira y suma secciones
Donde se cruzan dos, sale la tercera el punto de momentos
Tensión tira, compresión choca el signo
Nodo con dos, por ahí voy nodos
Las 4 D marcos: Dos fuerzas, DCL total, Desarma, Devuelve
PUMS 3D: Puntos, Unitarios, Momento en la rótula, Suma

Ecuaciones

\[\text{2D: }\sum F_x=0,\;\sum F_y=0,\;\sum M_O=0\] \[\text{3D: }\sum\vec F=\vec0,\;\sum\vec M_O=\vec0\] \[\vec T=T\,\frac{\vec r_{dest}-\vec r_{orig}}{|\vec r_{dest}-\vec r_{orig}|}\] \[\vec r\times\vec F=\begin{vmatrix}\hat\imath&\hat\jmath&\hat k\\ r_x&r_y&r_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}\] \[M_{eje}=\hat u\cdot(\vec r\times\vec F)\]

Grados de libertad: \(2n\) ecuaciones de nodos \(=m+r\) (armadura plana determinada).

Decisiones rápidas

¿Barras sueltas en el centro? Secciones, momento en el cruce de dos.
¿Todas o carga máxima? Nodos, empieza en un apoyo.
¿Dos pasadores y nada en medio? Dos fuerzas, dirección conocida.
¿Polea? Misma T a ambos lados; pásalas al pasador.
¿3D con rótula? Momentos en la rótula.
¿Dos bisagras? Momento respecto al eje que las une.

Errores que cuestan puntos

Olvidar el peso propio de la barra (punto medio).
No poner (T) o (C) en la respuesta final.
Usar sen donde va cos: dibuja el triángulo de cada barra.
En marcos, poner \(C_x\) en el mismo sentido en las dos piezas.
Dibujar el bloque colgante dentro del DCL de la barra.
Asumir que z es vertical sin mirar la figura.

En el examen

Lee los 3 puntos. Empieza por el que más dominas.
DCL siempre, aunque parezca obvio: el profesor lo exige y da puntos.
Justifica cada respuesta de la Parte A; sin justificación no vale.
Encierra cada resultado con unidades y sentido.
Si te sobran 5 minutos, verifica con la ecuación que no usaste.

Fuentes: parciales 2 de Principios de Estática 2018-II, 2019-I, 2019-II, 2020-I, 2020-II, 2021-I, 2022-I, 2022-II y 2026-I con supletorio (con el solucionario 2026-I), y el programa 2026-2. Figuras de los ejemplos resueltos tomadas del solucionario 2026-I. Los números del simulacro y del laboratorio se verificaron en Python resolviendo cada estructura completa (verif/verif_taller_estatica_14.py).